HAVO WB, 2013 - II

 

Windenergie.
       

Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening gaan leveren. Men voorspelt dat in het jaar 2050 in Nederland 60000 gigawattuur (GWh) aan windenergie opgewekt zal worden. Dat zal dan 40% tot 50% van de totale behoefte aan elektrische energie in Nederland zijn.

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld.
       
3p. 1. Bereken deze voorspelde maximale totale behoefte.
       

In de figuur hieronder is voor de periode 1993 - 2011 de ontwikkeling van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen in megawatt (MW) weergegeven. In deze periode is dit vermogen (bij benadering) exponentieel gegroeid.
       

       

In 1993 was het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen 2900 MW. In 2011 was dit 239000 MW.
       
4p. 2.

Bereken in één decimaal nauwkeurig het jaarlijkse groeipercentage van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen dat uit de gegevens volgt.
     

 

Na 2011 wordt er een jaarlijkse groei van 22% van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen verwacht.
       
4p. 3.

Bereken in welk jaar dit vermogen zal zijn verdubbeld ten opzichte van het jaar 2011.
     

 

Afgeknotte Piramide
       

Gegeven is de piramide T.ABCD. Het grondvlak ABCD van deze piramide is een vierkant met zijde 6. De top T ligt recht boven D. De hoogte van de piramide is dus gelijk aan de lengte van DT. Deze is 8.
De piramide wordt afgeknot op hoogte 4. Hierdoor ontstaat de afgeknotte piramide ABCD.EFGH. Zie onderstaande figuur.
       

       
3p. 4.

Teken het bovenaanzicht van de afgeknotte piramide ABCD.EFGH. Zet de letters bij de hoekpunten.
     

 

6p. 5. Bereken de totale oppervlakte van de afgeknotte piramide ABCD.EFGH.
     

 

 

Debiet.
       

Via een rechthoekige goot loost een fabriek koelwater op een rivier.

De hoeveelheid koelwater die per seconde een dwarsdoorsnede van een goot passeert, wordt het debiet van de goot genoemd. In de figuur hiernaast is dit uitgebeeld.

Het debiet van de goot van de fabriek is te berekenen met de formule:

 
       

Hierbij geldt:
• Q is het debiet in m3 per seconde;
• A is de oppervlakte van de rechthoekige dwarsdoorsnede van het water in m2;
• P is de totale lengte van de randen van de dwarsdoorsnede die onder water liggen in m. In de figuur zijn deze randen dikgedrukt aangegeven.

De rechthoekige goot waarmee de fabriek het koelwater loost, is 3,0 meter breed en 1,0 meter hoog. In onderstaande figuur is de dwarsdoorsnede van deze goot getekend bij een maximaal debiet.
       

       
De fabriek loost 5000 m3 koelwater per uur.
       
5p. 6.

Bereken het maximale debiet en leid daaruit af of de goot tijdens deze lozing zal overstromen.
     

 

De waterhoogte in de goot noemen we h, met h in m. Zie onderstaande figuur.
       

       

Bij normale lozing stroomt er continu 1,0 m3 koelwater per seconde door de goot.
       
5p. 7.

Bereken in dit geval de waterhoogte in de goot. Geef je antwoord in centimeter nauwkeurig.
     

 

Cosinus met lijnen.
       

De functie f is gegeven door f (x) = x + cosx en de lijn k is gegeven door y = x - 1. In de volgende figuur zijn de grafiek van f en de lijn k getekend op het interval [0,14].
       

       

De grafiek van f en de lijn k hebben op het interval [0,14] twee gemeenschappelijke punten.
       
3p. 8. Bereken exact de coördinaten van deze punten.
     

 

In de gemeenschappelijke punten van de grafiek van f en de lijn k raakt de lijn k aan de grafiek van f. In de onderstaande figuur zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k en de lijn l die is gegeven door y = x + 1.
       

       

De grafiek van f en de lijn l hebben op het interval [0,14] drie gemeenschappelijke punten en in deze gemeenschappelijke punten raakt de lijn l aan de grafiek van f.
       
4p. 9. Toon dit met behulp van exacte berekeningen en differentiëren aan.
     

 

In de volgende figuur zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k die is gegeven door y = x - 1 en de lijn m die is gegeven door y = x+ 4.
       

       

De functie g is gegeven door  g(x) = x + 11/2 + a • cosx .
Voor een bepaalde positieve waarde van a raken de lijnen k en m beide aan de grafiek van g.
       
3p. 10. Onderzoek voor welke positieve waarde van a dit het geval is.
     

 

Zuinig Inpakken
       

In deze opgave wordt een balkvormige doos in een rechthoekig vel papier ingepakt. De hoogte van de doos noemen we h, de breedte b en de lengte l. Zie foto 1. Alle maten zijn in centimeter. Er geldt h ≤ b ≤ l .

Het papier wordt eerst strak in de lengterichting om de doos gevouwen. Het papier is zo lang dat twee randen ervan precies tegen elkaar aan komen. Zie foto 2. De lengte van het papier in centimeter is dus 2l + 2h.
Vervolgens wordt het papier aan de voor- en achterkant strak tegen de doos aan gevouwen. Het papier is zo breed dat de randen van het papier precies tegen elkaar aan komen. Zie foto 3. De breedte van het papier in centimeter is dus b + h .
       

       
De oppervlakte van het papier in cm2 noemen we O.
       
3p. 11. Druk O uit in b, l en h. Werk de haakjes weg.
     

 

We vragen ons af hoe groot de maximale inhoud van een balkvormige doos is als we deze op de beschreven manier in een stuk cadeaupapier van 120 cm bij 50 cm verpakken.
Als de doos op deze manier wordt ingepakt, geldt:  2l + 2h =120 en b + h = 50 .
Met behulp van bovenstaande gegevens is de inhoud I in cm3 uit te drukken in de breedte b.
Er geldt:  I = b • (b + 10)(50 - b) 

       
5p. 12. Toon dit aan.
     

 

Er is een waarde van b waarvoor I maximaal is.
       
6p. 13.

Bereken met behulp van differentiëren de maximale inhoud van een balkvormige doos die met dit stuk papier ingepakt kan worden. Geef je antwoord in cm3 nauwkeurig.
     

 

Kegels en Kubus
       

Gegeven is de kubus ABCD.EFGH met ribbe 1. In deze kubus passen kegels waarvan de grondcirkel in het grondvlak van de kubus ligt en waarvan de top in het bovenvlak van de kubus ligt. Van deze kegels heeft de kegel waarvan de grondcirkel raakt aan de zijden van vierkant ABCD de grootste inhoud. Zie de figuur.
     
3p. 14.

Bereken exact de inhoud van de kegel met de grootste inhoud die in de kubus ABCD.EFGH past.

 

Er zijn ook kegels die precies om de kubus ABCD.EFGH met ribbe 1
passen. Hiermee bedoelen we dat geldt:
-  het grondvlak ABCD van de kubus ligt in het grondvlak van de kegel;
- de hoekpunten E, F, G en H van het bovenvlak van de kubus liggen op de kegelmantel;
- het middelpunt M van de grondcirkel van de kegel ligt recht onder de top T van de kegel.
Zie bijvoorbeeld de volgende twee figuren.
       

       

In onderstaande figuur is een verticale doorsnede door A, C en T getekend.
Het punt N is het snijpunt van MT met het bovenvlak van de kubus.
De afstand van de top T  van de kegel tot het bovenvlak van de kubus noemen we x.
       

       

De lengte van de straal PM van de grondcirkel van de kegel kan uitgedrukt worden in x. Er geldt:
       
4p. 15. Leid deze formule af met behulp van gelijkvormigheid van driehoeken
     

 

Voor de inhoud I van de kegel geldt:  I = 1/6π • (x + 3 + 3x-1 + x-2 )
Er bestaan twee kegels met inhoud 4/3π die precies om kubus ABCD.EFGH passen.
       
4p. 16.

Bereken de hoogten van deze twee kegels. Rond (indien nodig) je antwoord af op één decimaal.
       
5p. 17.

Bereken met behulp van differentiëren de kleinst mogelijke inhoud van een kegel die precies om kubus ABCD.EFGH past.
     

 

Wortel met raaklijn.
       

De functie f is gegeven door f (x) = -3 + √(2x + 6).  De grafiek van f snijdt de x-as in het punt A(11/2, 0). Verder zijn gegeven de punten  B(3, 0) en C(3, 3). Zie onderstaande figuur.
       

       

De helling van de grafiek van f in punt A is 1/3
       
3p. 18. Toon dit langs algebraïsche weg aan.  
     

 

De raaklijn in A aan de grafiek van f snijdt de lijn BC in het punt S.
       
4p. 19. Toon aan dat S het midden van BC is.
     

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Het maximum vind je als 60000 GWh  gelijk is aan 40%
dan is het totaal gelijk aan   60000/40 • 100 = 150000 GWh
   
2. tussen 1993 en 2011 groeit het vermogen met een factor 239000/2900 = 82,41
dat is een periode van 2011 - 1993 = 18 jaar
dus geldt  g18 = 82,41 ⇒ g = 82,411/18= 1,2777
Dat is een percentage van 27,77%
   
3. een groei van 22% per jaar betekent een groeifactor van 1,22 per jaar.
als het moet verdubbelen, dan moet gelden  1,22t = 2
dan is  t = LOG(2)/LOG(1,22) = 3,49 jaar
dat zal dan zijn in het jaar 2015
   
4. omdat EFGH halverwege de totale hoogte van de oorspronkelijke piramide ligt, is vierkant EFGH precies de helft van ABCD.

zie de figuur hiernaast.

     
5. ABCD:  6 • 6 = 36
EFGH:  3 • 3 = 9
ADHE : (zie hiernaast)  3 • 4 + 0,5 • 3 • 4 = 18
CDHG: zelfde als ADHE, dus ook 18
ABFE:  AT = √(62 + 82) = 10, dus AE = 5
     oppervlakte is dan  3 • 5 + 0,5 • 3 • 5 = 22,5
BCGF:  zelfde als ABFE, dus ook 22,5
Totaal:  36 + 9 + 18 + 18 + 22,5 + 22,5 = 126

   
6. A = 1,0 • 3,0 = 3,0
P = 1,0 + 3,0 + 1,0 = 5,0
Q = 0,73 • (3,05/3 / 5,02/3) = 1,56 m3 per seconde
per uur is dat  3600 • 1,56 = 5616 m3
Dat is meer dan 5000 dus de goot zal niet overstromen.
   
7. A = 3, 0 • h = 3h
P = 3,0 + h + h = 3 + 2h
   
  Y1 = 0,73 * (3X)^(5/3) / (3 + 2X)^(2/3)  en Y2 = 1 en dan intersect levert h = 0,73
De hoogte is dus 73 centimeter.
   
8. x + cosx = x - 1
cosx = -1
x = π + k•2π
tussen 0 en 14 geeft dat de oplossingen π en 3π.
x = π  geeft  y = x - 1 = π - 1 en het punt  (π, π - 1)
x = 3π  geeft  y = x - 1 = 3π - 1  en het punt  (3π, 3π - 1)
   
9. x + cosx = x + 1
cosx = 1
x = 0 + k • 2π
tussen 0 en 14 geeft dat de oplossingen 0 en  2π  en 4π.
de lijn l heeft helling 1, dus als die de grafiek raakt, moet de grafiek van f in die punten ook helling 1 hebben.
Dan moet gelden f ' = 1
f '(x) =  1 - sinx

f '(0) = 1 - sin0 = 1
f '(2π) = 1 - 2in(2π) = 1
f '(4π) = 1 - sin(4π) = 1
Dat klopt, dus raakt lijn l de grafiek van f in de drie gevonden punten.
   
10. De grafiek van g zal de lijnen raken in punten waar de helling van g gelijk is aan 1.
g ' =  1 ⇒  1 - asinx = 1 ⇒  asinx = 0  ⇒  x = 0  + k • π
Dat geeft tussen 0 en 14 de mogelijkheden  x = 0, π, 2π, 3π, 4π.
Dat zijn de punten  (0, 11/2 + a)  en  (π, 11/2 + π - a) en (2π, 11/2 + 2π + a) enz.

Maar verder moet ook nog gelden dat die punten van de grafiek van g om en om ook op de lijnen y = x + 4 en y = x - 1 liggen.
y = x + 4 gaat door  (0, 4) dus zou a gelijk moeten zijn aan  21/2.
dan  is (π, 11/2 + π - a) gelijk aan  ((π, π - 1) en dat ligt inderdaad op de lijn y = x - 1
controleer zelf maar dat a = 21/2 ook klopt met de andere punten....
   
11. de lange kant van het papier heeft lengte  2l + 2h
de smalle kant heeft lengte b + 2 • 0,5h = b + h
de oppervlakte is dan  (2l + 2h)(b + h) = 2lb + 2lh + 2hb + 2h2
   
12. De inhoud is  I = l • b • h
b + h = 50 geeft  h = 50 - b
Dan is  I = l • b • (50 - b)

2l + 2h =120 ⇒   2l = 120 - 2h  ⇒  l = 60 - h
Maar omdat  h = 50 - b geeft dat  l = 60 - (50 - b) = 10 + b
Dan is  I = (10 + b) • b • (50 - b)    en dat is inderdaad de gegeven formule
   
13. I = (10 + b) • b • (50 - b) = (10b + b2) • (50 - b) = 500b - 10b2 + 50b2 - b3 = 500b + 40b2 - b3
Voor het minimum is de afgeleide nul:  I ' = 500 + 80b - 3b2 = 0
ABC-formule:  b = (-80 ± √(12400)/-6  en dat is  31,89  (of  -5,22 maar die oplossing kan natuurlijk niet)
Dan is I = (10 + 31,89) • 31,89 • (50 - 31,89) = 24192,64.. ≈ 24193 cm3
   
14. de hoogte van de kegel is de hoogte van de kubus en die is 1.
de straal van het grondvalk is de helft van de ribbe van de kubus, dus die is 0,5.
I = 1/3 • G • h = 1/3 • πr2 • h = 1/3 • π • 0,52 • 1 = 1/12π.
   
15. ENT is gelijkvormig met PMT, dus  EN/TN = PM/TM
TN = x
TM = x + 1
EN is de helft van  EG en EG = √(12 + 12) = √2, dus  EN = 0,5√2.
Invullen in de verhoudingen geeft   0,5√2/x = PM/(x + 1) ⇒  0,5√2/x • (x + 1) = PM en dat is de gegeven formule.
   
16.  1/6π • (x + 3 + 3x-1 + x-2 ) = 4/3π
Y1 = 1/6 * π * (X + 3 + 3X^(-1) + X^(-2))  en  Y2 = 4/3 * π en dan intersect levert  x = 1  en  x = 4,2
dan is  h = x + 1 dus  h = 1  of  h = 5,2
   
17. I = 1/6π • (x + 3 + 3x-1 + x-2 )
Je vindt het minimum als de afgeleide nul is
I ' = 1/6π • (1 - 3x-2 - 2x-3) = 0
Y1 =  1 - 3*X^(-2) - 2 *X^(-3)  en dan calc - zero  geeft  x = 2
De inhoud is dan  I =  1/6π • (2 + 3 + 3 • 2-1 + 2-2 ) = 9/8π
   
18. de helling is de afgeleide.
f(x) = -3 + √(2x + 6) = -3 + (2x + 6)0,5
f '(x) = 0,5 • (2x + 6)-0,5 • 2
f '(1,5) = 0,5 • (2 • 1,5 + 6)-0,5 • 2 = 1/3
   
19. de raaklijn in A heeft vergelijking  y = 1/3x + b
die moet door A gaan, dus  0 = 1/3 • 11/2 + b  en dat geeft  b = -1/2
de raaklijn is dus de lijn y = 1/3x - 1/2.

BC is de lijn x = -3
snijden met de raaklijn geeft dan   y = 1/3 • -3 - 1/2 = 1-11/2  dus  S = (-3, -11/2)

B = (-3,  0) en C = (-3, -3) dus S ligt daar inderdaad midden tussenin.