OPGAVE 1. Kwelders
De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders genoemd. Een plant die op kwelders groeit, is de zoutmelde. Het verband tussen de leeftijd van een kwelder en het percentage van de bodem dat bedekt is met zoutmelde kan bij benadering beschreven worden door de formule:
3p.	1.	Bereken na hoeveel jaar de helft van een kwelder bedekt is met zoutmelde. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren.
Zoutmelde neemt na verloop van tijd de plaats in van een deel van de planten die door ganzen worden gegeten. Ganzen eten de zoutmelde niet. Daarom heeft de hoeveelheid zoutmelde invloed op het aantal ganzen. Het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder hangt dus af van de leeftijd van de kwelder. Dit verband kan vanaf het vierde jaar bij benadering beschreven worden door de formules:
Hierin zijn G1, G2 en G3 de gansdichtheden in de verschillende periodes en is t de leeftijd van de kwelder in jaren. De gansdichtheid is het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder. In onderstaande figuur zijn de bijbehorende grafieken getekend.
De grafieken van de eerste twee periodes sluiten vloeiend op elkaar aan. Dit betekent dat aan de volgende twee voorwaarden is voldaan: 1   de formules hebben voor t = 8 dezelfde uitkomst; 2   de hellingen van de grafieken zijn voor t = 8 aan elkaar gelijk.
4p.	2.	Toon op algebraïsche wijze aan dat aan beide voorwaarden is voldaan.
Gedurende een aantal jaren ligt de gansdichtheid boven de 40 (ganzen per km2).
4p.	3.	Bereken gedurende hoeveel jaar dit het geval is.
Als de kwelder op den duur grotendeels is begroeid met zoutmelde is het voor de ganzen moeilijk om voedsel te vinden. Toch blijven er dan ganzen op de kwelder komen. In de figuur hierboven is te zien dat de gansdichtheid op de lange duur tot een bepaalde grenswaarde daalt.
3p.	4.	Onderzoek hoe groot deze grenswaarde volgens de formule voor G3 is.

OPGAVE 2.  Gebroken functie
In de figuur is de grafiek van f getekend.
De horizontale lijn met vergelijking y = 2 snijdt de grafiek van f in twee punten.
4p.	5.	Bereken exact de coördinaten van deze twee punten.
4p.	6.	Toon dit op algebraïsche wijze aan.
Het punt A(2, 3) ligt op de grafiek van f.
3p.	7.	Bereken exact de waarden van a en b waarvoor y = ax+ b een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in A is.

OPGAVE 3.  Bloembak
Op de foto is een bloembak afgebeeld. De bloembak heeft de vorm van een (omgekeerde) halve kegel met boven aan de vlakke achterkant een extra halve cirkelschijf voor de bevestiging. De totale hoogte van de bloembak is 39,0 cm. De straal van de extra halve cirkelschijf is 9,0 cm. In de figuur is de bloembak schematisch getekend.
2p.	8.	Teken op schaal 1 : 3 het zijaanzicht van de bloembak in de kijkrichting PQ.
Zo’n bloembak wordt gemaakt door uit een plaat metaal de verschillende stukken te snijden en deze dan aan elkaar te lassen.
6p.	9.	Bereken hoeveel cm2 metaal hiervoor nodig is.
De bloembak wordt met 1 liter potgrond gevuld. Dit is niet genoeg om de bloembak tot de rand te vullen.
6p.	10.	Bereken tot hoeveel centimeter onder de rand de potgrond komt. Rond je antwoord af op één decimaal.

OPGAVE 4 .   f  boven  g.
Op het domein [0, 4] zijn de functies f en g gegeven door f (x) = sinx en  g(x) = x - 1/6x3. In de figuur zijn de grafieken van f en g getekend.
De grafiek van g snijdt de x-as in de oorsprong en in punt A. De grafiek van f snijdt de x-as in de oorsprong en in punt B.
5p.	11.	Bereken exact de lengte van het lijnstuk AB.
Het maximum van g kan geschreven worden in de vorm a√b met b een zo klein mogelijk geheel getal.
5p.	12.	Bereken exact de waarden van a en b.
De grafiek van f ligt voor 0 < x ≤ 4 boven de grafiek van g.
4p.	13.	Bereken de maximale waarde van x waarvoor het verschil tussen f(x) en g(x) minder dan 0,01 bedraagt. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

OPGAVE 5 .   Functie met logaritme
De functie f is gegeven door:  f(x) = 2log(x2 - x) .
De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten. Zie de figuur.
2p.	14.	Geef van elk van deze asymptoten een vergelijking.
De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B. Zie de figuur.
5p.	15.	Bereken exact de lengte van lijnstuk AB.

OPGAVE 6 .  Theezakje.
Theezakjes zijn er in diverse vormen. In deze opgave bekijken we een theezakje in de vorm van een piramide. Zie de foto. De in de figuur hieronder getekende piramide T.ABC is een model van het theezakje. De vier zijvlakken van deze piramide zijn gelijkzijdige driehoeken met zijden van 6 cm. Punt D is het midden van AB. In deze figuur zijn ook CD en TD en het punt S recht onder T op CD aangegeven. Er geldt CS : DS = 2 :1.
Voor de productie van deze theezakjes wordt gaas gebruikt. De piramide wordt gevouwen uit een plat stuk gaas. Waar twee delen van randen van het stuk gaas door het vouwen tegen elkaar aan zijn gekomen, worden deze aan elkaar vast gemaakt zodat er naden in het theezakje ontstaan. In de figuur rechts zijn de naden dik getekend. Het betreft de lijnstukken AB, DT en CT. Er geldt CD = TD . Uit de gegevens volgt: CD = √27 cm en de hoogte TS van de piramide is √24 cm.
4p.	16.	Toon door exacte berekening aan dat uit de gegevens volgt CD = √27 cm en TS = √24 cm.
Door de piramide van de rechterfiguur langs de naden AB, DT en CT open te knippen en vervolgens open te vouwen, krijg je een uitslag van de piramide.
4p.	17.	Teken deze uitslag op ware grootte. Zet daarin de letters A, B, C, D en T op de juiste plaatsen.

 

 

UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1.	P = 0,5 Y1 = 100/(1 + 3000 • 0,5^X) Y2 = 50 intersect geeft  X = 11,55 Dus na 12 jaar is de helft van de kwelder bedekt. OF algebraïsch: 50 = 100/(1 + 3000 • 0,5x) 1 + 3000 • 0,5x = 2 3000 • 0,5x = 1 0,5x = 1/3000 x = LOG(1/3000)/ LOG(0,5) = 11,55
2.	G1(8) = 2(8 - 4)2 = 2 • 16 = 32 G2(8) = -2(8 - 12)2 + 64 = -2 • 16 + 64 = 32 Die zijn inderdaad gelijk. G1' = 2 • 2(t- 4)  dus  G1'(8) = 4(8 - 4) = 16 G2' = 2 • -2(t - 12)  dus  G2'(8) = -4 • -4 = 16 Die zijn inderdaad ook gelijk.
3.	Dat lijkt gedurende de tweede periode te gebeuren. Y1 = -2(X - 12)^2 + 64 Y2 = 40 intersect geeft  X = 8,54  X = 15,46  (en die vallen inderdaad in de periode  8 < t < 16) Daartussen ligt  15,46 - 8,54 = 6,9 jaar OF algebraïsch: -2(t - 12)2 + 64 = 40 -2(t- 12)2 = -24 (t - 12)2 = 12 t - 12 = ±√12 t = 12 ± √12 Daartussen ligt  2√12 jaar en dat is ongeveer 6,9 jaar.
4.	Als t heel groot wordt, dan is 1184 te verwaarlozen t.o.v.  80t Dan is ook 61 te verwaarlozen t.o.v.  4t Dus is G3 ≈ 80t/4t = 20 De grenswaarde is 20.
5.	6/(x4 + 4) = 2 x4 + 4 = 30 x4 = 26 x= ±(26)1/4 De punten zijn  (±261/4 , 2)
6.	f(x) = 60 • (x4 + 4)-1 f '(x) = -1 • 60 • (x4 + 4)-2 • 4x3  (van de kettingregel) f '(x) = -1 • 60 • 4x3 • 1/(x4 + 4)2   f '(x) = -240x3 / (x4 + 4)2
7.	f '(2) = (-240 • 2³)/(24 + 4)2 = -1920/400 = -4,8 De raaklijn is y = -4,8x + b Punt (2, 3) invullen:  3 = -4,8 • 2 + b  geeft  b = 3 + 4,8 • 2 = 12,6
8.
9.	Er zijn drie delen: Halve cirkel met straal 9,0:  oppervlakte   1/2 • π • r2 = 1/2 • π • 81 = 127,23 cm2 Driehoekige achterkant:  oppervlakte   1/2 • b • h  =  1/2 • 18 • 30 = 270 cm2 Halve kegelmantel:  oppervlakte  1/2 • π • r • √(r2 + h2) =  1/2 • π • 9 • √(92 + 302) = 442,71 cm2 Samen geeft dat  127,23 + 270 + 442,71 = 839,94 cm2
10.	De inhoud van de halve kegel is  1/2 • 1/3 • π • 92 • 30 = 1272,35 cm3 De potgrond vormt een halve kegel die hieraan gelijkvormig is, met inhoud 1000 cm3 De factor tussen deze twee inhouden is  1000/1272,35 = 0,786 De factor tussen de lengtes is dan  (0,786)1/3 = 0,923 De hoogte van de potgrondkegel is  30 • 0,923 = 27,68 cm De potgrond komt dus  30 - 27,68 = 2,3 cm onder de rand.
11.	g(x) = 0 x - 1/6x3 = 0 x(1 - 1/6x2) = 0 x = 0 ∨ 1 - 1/6x2 = 0 x = 0 ∨  1/6x2 = 1 x = 0  ∨  x2 = 6 x = 0  ∨  x = √6  ∨  x = -√6 Bij punt A hoort x = √6 f(x) = 0 sinx = 0 x = 0  ∨  p + k • 2π Bij punt B hoort x = p AB = p - √6
12.	g '(x) = 0 1 - 3 • 1/6x2 = 0 1 - 1/2x2 = 0 1/2x2 = 1 x2 = 2 x = √2 ∨ x = -√2  maar bij het maximum hoort x = √2 Dan is  y = √2 - 1/2(√2)3 y = √2 - 1/6 • (√2)2 • √2 y = √2 - 1/6 • 2 • √2 y = √2 - 1/3√2 y = 2/3√2 Dus  a = 2/3 en  b = 2
13.	Het verschil tussen de grafieken is  f - g Y1 = sin(X) - (X - X^3/6)   (zet de rekenmachine op radialen!!) Y2 = 0,01 intersect geeft x = 1,04 en dat is de gevraagde maximale waarde.
14.	Er is een verticale asymptoot bij log0 Dus als  x2 - x = 0 x(x - 1) = 0 x = 0  ∨  x = 1
15.	y = 0  geeft  2log(x2 - x ) = 0 x2 - x = 20 = 1 x2 - x - 1 = 0 ABC:  x = (1 ± √(1 + 4))/2  =  (1 ± √5)/2  = 1/2 ± 1/2√5 het verschil daartussen is  (1/2 + 1/2√5) - (1/2 - 1/2√5) = √5 dus AB = √5
16.	CD2 + DA2 = CA2 CD2 + 32 = 62 CD2 = 36 - 9 = 27 CD = √27 Dan is  DS = 1/3√27  (2 : 1) DS2 + TS2 = TD2 = CD2 (1/3√27)2 + TS2 = 27 3 + TS2 = 27 TS2 = 24 TS = √24
17.
	De opengeknipte ribben zijn rood gekleurd; daar mag in de uitslag geen ander vlak aan vastkomen dus. Begin bijv. met een gelijkzijdige driehoek ABC. Aan BC en AC komen twee dezelfde gelijkzijdige driehoeken. Daarna aan AT en BT nog twee halve gelijkzijdige driehoeken.
18.	x√(x + 2) = x2   beide kanten delen door x:  x = 0 is een oplossing! x = 0 ∨ √(x + 2) = x    en nu kwadrateren: x = 0  ∨  x + 2 = x2 x = 0  ∨  x2 - x- 2 = 0 x = 0 ∨  (x - 2)(x + 1) = 0 x = 0 ∨  x = 2 ∨   x = -1 controleren:  de juisten zijn  x = 0  en x = 2
19.	f(x) = x • (x + 2)1/2 Gebruik de productregel: f '(x) = 1 • (x + 2)1/2 + x • 1/2 • (x + 2)-1/2    (eigenlijk  • 1 van de kettingregel)
	vermenigvuldig alles met √(x + 2): √(x + 2) • √(x + 2) + 1/2x = 0 x + 2 + 1/2x = 0 11/2x = -2 x = -4/3