Gevaar op zee
Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo’n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek in. De tekening in de figuur is afkomstig uit een onderzoeksrapport. Er is te zien dat de vaarroutes van de UK143 en de Kaliakra elkaar snijden in punt S. In het onderzoeksrapport wordt ervan uitgegaan dat in de beginsituatie de UK143 zich op 1,2 zeemijl afstand van S bevindt en vaart met een snelheid van 7,0 zeemijl per uur. De Kaliakra bevindt zich op dat moment op 2,8 zeemijl van S en vaart met een snelheid van 16,5 zeemijl per uur. De afstanden van de twee schepen tot S zijn gegeven door de volgende formules: U(t) = 1,2 - 7,0t  en  K(t) = 2,8 -16,5t
Hierin is t de tijd in uren gemeten vanaf de beginsituatie, U de afstand op tijdstip t van de UK143 tot S in zeemijlen en K de afstand op tijdstip t van de Kaliakra tot S in zeemijlen. We gaan er in deze opgave van uit dat de beide schepen hun koers en snelheid niet veranderen. De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.
3p.	1.	Bereken hoeveel seconden verschil hier tussen zit.
De hoek die de vaarroutes van de twee schepen met elkaar maken is 90º. Met behulp van bovenstaande formules voor U en K en de stelling van Pythagoras kan een formule opgesteld worden voor de afstand D tussen de twee schepen in zeemijlen als functie van de tijd. Deze formule luidt:  D(t) = √(321,25t2 - 109,20t + 9,28) Hierin is t de tijd in uren gemeten vanaf de beginsituatie.
3p.	2.	Toon op algebraïsche wijze de juistheid aan van deze formule voor D.
Er is sprake van een gevaarlijke situatie als de afstand tussen de twee schepen kleiner is dan 0,2 zeemijl.
3p.	3.	Bereken na hoeveel minuten dit volgens de formule voor het eerst het geval is. Geef je antwoord in hele minuten.

Functies met een wortel.
De functie f is gegeven door f(x) = x√x - x . De lijn k met vergelijking y = 1/2x heeft met de grafiek van f behalve de oorsprong ook nog het punt S gemeenschappelijk.
4p.	4.	Bereken exact de x-coördinaat van S.
De functie g is gegeven door g(x) = x√x - 9x. De grafiek van g heeft een top.
4p.	5.	Bereken exact de coördinaten van deze top.
De functie h is gegeven door h(x) = x√x - px. Het punt  (1/4, 1) ligt op de grafiek van h.
3p.	6.	Bereken exact de waarde van p.

Karaf.
Op de foto zie je een glazen karaf. De karaf is aan de bovenkant open. In deze opgave wordt een wiskundig model van deze karaf bekeken. In dit model is de karaf een afgeknotte kegel met daarop een cilinder. Het schenktuitje en de dikte van het glas worden hierbij verwaarloosd. Zie de figuur.
De afgeknotte kegel is 16,0 cm hoog en de straal van het grondvlak is 6,0 cm. De cilinder past precies op het bovenvlak van de afgeknotte kegel. De cilinder is 6,5 cm hoog en de straal van het grondvlak is 3,3 cm. De afgeknotte kegel kan worden gezien als het onderste deel van een hele kegel. Uit de gegevens volgt dat de hoogte van deze hele kegel ongeveer gelijk is aan 35,6 cm.
4p.	7.	Toon dit op algebraïsche wijze aan.
6p.	8.	Bereken de oppervlakte van de buitenzijde van de karaf. Geef je antwoord in hele dm2 nauwkeurig.
In de lege karaf wordt 1,25 liter water geschonken.
6p.	9.	Bereken hoe hoog het water in de karaf komt te staan. Geef je antwoord in hele mm nauwkeurig.

Zwabberende functie.
Op het domein [0,6π] is de functie f gegeven door f(x) = x • sinx . De lijn met vergelijking y = x heeft behalve de oorsprong nog drie punten gemeenschappelijk met de grafiek van f.
4p.	10.	Bereken exact de coördinaten van deze punten.
De raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong is horizontaal.
3p.	11.	Toon dit met behulp van differentiëren aan.

Getint glas.
Getint glas laat slechts een deel van het invallende licht door. De hoeveelheid doorgelaten licht neemt exponentieel af met de dikte van het glas: hoe dikker het glas, hoe minder licht wordt doorgelaten. Voor een bepaald soort getint glas geldt dat het bij een dikte van 1 mm 90% van het licht doorlaat. Bij een zekere grotere dikte van hetzelfde soort glas zal nog maar 50% van het licht worden doorgelaten.
4p.	12.	Bereken deze dikte in mm. Rond je antwoord af op één decimaal.
De extinctie geeft de mate aan waarin getint glas invallend licht opneemt.
Hierin is Lin de hoeveelheid invallend licht en Luit de hoeveelheid doorgelaten licht. Een ruit van getint glas neemt 15% van het invallende licht op.
3p.	13.	Bereken de extinctie van deze ruit. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De extinctie hangt af van de dikte van het foto getinte glas en van de concentratie absorberende stof in het glas. Voor een bepaald type autoruit geldt: E = 0,1 • C • d Hierin is C de concentratie van de absorberende stof (in mol per liter) en d de dikte van het glas in mm. Voor getinte autoruiten gelden wettelijk vastgestelde eisen. Voorruiten moeten minimaal 75% van het invallende licht doorlaten. Een fabrikant wil getinte voorruiten van 6 mm dik maken die precies 75% van het invallende licht doorlaten.
4p.	14.	Bereken op algebraïsche wijze de concentratie absorberende stof in deze ruiten. Rond je antwoord af op één decimaal.

Prisma.
Gegeven is het prisma ABC.DEF. Het grondvlak ABC is een gelijkzijdige driehoek met zijde 4. De hoogte van het prisma is 8. Verder zijn het punt G op ribbe AD en het punt H op ribbe BE gegeven met DG = BH = 2. Zie de figuur linksonder. Lichaam ABC.GHF ontstaat door van het prisma uit de figuur linksonder een stuk af te snijden met als snijvlak het vlak FGH. Zie de figuur rechtsonder.
Driehoek FGH is een rechthoekige driehoek, met de rechte hoek bij G.
4p.	15.	Toon dit met behulp van exacte berekeningen aan.
Hieronder  is een begin gemaakt met een uitslag van ABC.GHF.
5p.	16.	Maak de uitslag af. Zet de letters bij de hoekpunten en licht je werkwijze toe.
Punt M is het midden van ribbe AB. Zie de figuur hiernaast
4p.	17.	Teken de doorsnede van ABC.GHF met het vlak door M evenwijdig aan FGH. Licht je werkwijze toe.

Gebroken functies.
De grafiek van f snijdt de y-as in punt A en de x-as in punt B. Punt S is het snijpunt van de asymptoten van de grafiek van f . Zie de figuur.
7p.	18.	Onderzoek met behulp van een berekening of A, B en S op één lijn liggen.
De functie g is gegeven door  g(x) = 1/x De grafiek van de functie h ontstaat uit de grafiek van g door de volgende twee transformaties: eerst de vermenigvuldiging met 6 ten opzichte van de x-as, gevolgd door de translatie  (-2, -3).
3p.	19.	Toon op algebraïsche wijze aan dat de grafiek van h door de oorsprong gaat

UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1.	Als de boten bij S zijn dan is hun afstand tot S gelijk aan nul. 1,2 - 7,0t = 0   geeft  t = 0,1714 uur en dat is 617 seconden 2,8 -16,5t = 0  geeft  t = 0,1697 uur en dat is 611 seconden Dat scheelt dus 6 seconden
2.	Zie de figuur hiernaast Pythagoras: D2 = (1,2 - 7,0t)2 + (2,8 - 16,5t)2 D2 = 1,44 - 16,8t + 49t2 + 7,84 - 92,4t + 272,25t2 D2 = 9,28 - 109,2t + 321,25t2 D = √(9,28 - 109,2t + 321,25t2)
3.	0,2 = √(9,28 - 109,2t + 321,25t2) 0,04 = 9,28 - 109,2t + 321,25t2 321,25t2 - 109,2t + 9,26 = 0 De ABC-formule geeft:   t = (109,2 ± √(11924,64 - 11899,1))/642,5 = (109,2 ± 5,054)/642,5 = 0,162 ∨  0,178 De eerste keer is bij t = 0,162 uur en dat is afgerond 10 minuten.
4.	0,5x = x√x - x 1,5x - x√x = 0 x(1,5 - √x) = 0 x = 0 ∨ 1,5 - √x = 0 x = 0  ∨  √x = 1,5 x = 0  ∨  x = 2,25
5.	g(x) = x√x - 9x =  x1,5 - 9x g '(x) = 1,5x0,5 - 9 g '(x) = 0  geeft dan  1,5x0,5 = 9 x0,5 = 6 x = 36 Dan is y = 36√36 - 9 • 36 = -108 De top is dus  (36, -108)
6.	y = x√x - px vul het punt in:   1 = 1/4√(1/4) - 1/4p 1 = 1/8 - 1/4p 1/4p = -7/8 p = -28/8 = -31/2.
7.	Over een hoogteverschil van 16,0 cm neemt de straal af van 6,0 naar 3,3 en dat is een afname van 2,7 Per cm hoogte verschil is dat  2,7/16 = 0,16875 cm Als de straal moet afnemen van 6,0 naar 0 dan is dat een afname van 6,0 Daarvoor is een hoogteverschil van  6,0/0,16875 = 35,56 Dat is inderdaad ongeveer 35,6 cm.
8.	Zie het vooraanzicht hiernaast AT2 = 35,62 + 6,02 = 1303,36 AT = 36,1 Oppervlakte hele kegelmantel:  π • 6 • 36,1 = 680,5 BT2 = 3,32 + 19,62 = 395,05 BT = 19,88 Oppervlakte kegelmantel bovenste deel is π • 3,3 • 19,88 = 206,1 De oppervlakte van het gekromde deel van de afgeknotte kegel is dan  680,5 - 206,1 = 474,4  cm2 Oppervlakte cilindermantel:  2 • π • 3,3 • 6,5 = 134,8 cm2 Oppervlakte bodem is π • 6,02 = 113,1 Samen geeft dat  113,1 + 134,8 + 474,4 = 722,3 cm2 Dat is ongeveer 7 dm2
9.	inhoud hele kegel:  1/3 • π • 6,02 • 35,6 = 1342,09 cm3 inhoud bovenste deel van de kegel:  1/3 • π • 3,32 • 19,6 = 223,52 cm3 inhoud van de afgeknotte kegel is dan  1342,09 - 223,52 = 1118,57 cm3 Dus in het cilindervormige deel moet nog  1250 - 1118,57 = 131,43 cm3 π • 3,32 • h = 131,43 34,21 • h = 131,43 h = 3,84 De hoogte is dan 16,0 + 3,84 = 19,84 cm Dat is ongeveer 198 mm
10.	x • sinx = x x • sinx - x = 0 x • (sinx - 1) = 0 x = 0  ∨ sinx = 1 sinx = 1 bij  x = 1/2π, 21/2π, 41/2π Dat geeft de punten  (1/2π, 1/2π) en (21/2π, 21/2π) en (41/2π, 41/2π)
11.	f(x) = x • sinx x = 0  geeft  f(0) = 0 • sin0 = 0 dus de grafiek gaat door (0,0) met de productregel:  f '(x) = 1 • sinx + x • cosx x = 0 geeft  f '(0) = 1 • sin0 + 0 • cos0 = 0 in (0,0) is de helling 0, dus loopt de raaklijn horizontaal
12.	Als 90% wordt doorgelaten is g per mm gelijk aan 0,9 Neem als beginwaarde 100%  dan is de eindwaarde 50% (als 50% wordt doorgelaten) 50 = 100 • 0,9x 0,9x = 0,5 x = log(0,5)/log(0,9) = 6,58 Dat is ongeveer 6,6 mm.
13.	Als 15% wordt opgenomen, dan gaat 85% erdoor. Dus Luit = 0,85Lin Dat geeft  10-E = 0,85 -E = log0,85 = -0,07 E = 0,07
14.	Luit = 0,75Lin geeft  Luit/Lin = 0,75 10-E  = 0,75 -E = log0,75 = -0,1249 E = 0,1249 0,1 • C • d = 0,1249 0,1 • C • 6 = 0,1249 C = 0,1249/0,6 = 0,2 mol/liter
15.	FG2 = 22 + 42 = 20 GH2 = 42 + 42 = 32 FH2 = 62 + 42 = 52 FG2 + GH2 = FH2  dus de stelling van Pythagoras geldt, dus is de driehoek rechthoekig. (De rechte hoek zit tegenover de langste zijde, en is dus hoek G)
16.
	De zijden met de rechte hoeken op driehoek ABC zijn eenvoudig. FGH is getekend door lijnstukken met lengte GH (rood) en FH (blauw) te omcirkelen met middelpunten  resp. G en F. De lengtes kun je overnemen uit de rest van de figuur. (Je zou ook het feit dat hoek FGH 90º is kunnen gebruiken en dan alleen FH omcirkelen)
17.	MP evenwijdig aan GH PQ evenwijdig aan FG QR evenwijdig aan FH MR maakt de doorsnede af.
18.	f(0) = -6/(-3) + 2 = 4  dus  A = (0, 4) f(x) = 0  geeft   -6/(2x - 3) + 2 = 0 6/(2x - 3) = 2 2x - 3 = 3 2x = 6 x = 3  dus  B = (3, 0) horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat geeft  y = 2 verticale asymptoot:  delen door nul, dus 2x- 3 = 0  en dan is  x = 11/2 Dus S = (11/2, 2) AS heeft helling  (4 - 2)/(0 - 1,5) = -4/3 BS heeft helling (2 - 0)/(1,5 - 3) = -4/3 De hellingen zijn gelijk dus de punten liggen WEL op één lijn.
19.	g(x) = 1/x vermenigvuldiging met 6 ten opzichte van de x-as betekent de hele formule met 6 vermenigvuldigen Dat geeft  y = 6 • 1/x = 6/x   Translatie (-2, -3) betekent 2 naar links en 3 omlaag. 2 naar links:  x vervangen door x + 2  dat geeft  y = 6/(x + 2) 3 omlaag:  hele formule - 3  dat geeft  h(x) = 6/(x + 2) - 3 h(0) = 6/2 - 3 = 3 - 3 = 0 De grafiek van h gaat dus inderdaad door de oorsprong. OF: Schuif de oorsprong "terug" 3 omhoog en 2 naar rechts geeft  (2,3) afstand x-as nu 1/6 keer zo groot geeft  (2, 1/2) (2, 1/2) ligt inderdaad op de grafiek van y = 1/x