VWO WA1, 2005 - I
Meer neerslag
De laatste tijd komen er steeds meer aanwijzingen dat het klimaat op aarde verandert. Dit heeft onder andere gevolgen voor de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland. Om een indruk te krijgen van die jaarlijkse hoeveelheid neerslag zijn in de volgende tabel gegevens van vijf meetstations in de periode 1905-1998 weergegeven.

Gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag gedurende de periode 1905-1998

  De Bilt Gemert Volkel Leeuwarden Hoofddorp Winterswijk
gemiddelde (mm) 783 711 753 768 768
standaardafwijking (mm) 139 123 106 127 136
We nemen aan dat de jaarlijkse hoeveelheid neerslag bij elk van de meetstations normaal verdeeld is.

We bekijken de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt. Weerkundigen veronderstelden tot voor kort dat dergelijke kansen in de loop van de jaren niet veranderen.

Op grond van het bovenstaande kunnen we nagaan of deze kans in Winterswijk groter is dan in Hoofddorp zonder deze kans uit te rekenen.
4p

1.

 Geef aan in welk van beide plaatsen de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt het grootst is. Motiveer je antwoord zonder daarbij deze kans uit te rekenen.

 
3p

2.

 Bereken de kans dat in een jaar in Leeuwarden meer dan 950 mm neerslag valt.

 
Zoals gezegd veronderstelden weerkundigen tot voor kort dat kansen op bepaalde hoeveelheden neerslag in de loop van de jaren niet veranderen. Inmiddels is men tot het inzicht gekomen dat er sprake is van een trend: de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland neemt langzaam toe. In onderstaande figuur is voor elk jaar de gemiddelde hoeveelheid neerslag van de vijf meetstations met ene blokje aangegeven. Bovendien is daarbij de zogenaamde trendlijn getekend. De trendlijn volgt zo goed mogelijk de gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag. De trendlijn kan gebruikt worden om een schatting te maken van de te verwachten hoeveelheid neerslag in de komende jaren.

We veronderstellen dat de te verwachten jaarlijkse hoeveelheid neerslag N in mm in de toekomst lineair zal blijven toenemen. N kan dan worden geschreven als een functie van het aantal jaren t dat is verstreken vanaf 1900.
5p

3.

 Stel een formule op voor N en bereken daarmee in welk jaar de hoeveelheid neerslag volgens de trendlijn voor het eerst groter zal zijn dan 850 mm.

 
Er zijn ook andere manieren om te onderzoeken of het gedurende de afgelopen eeuw 'natter' is geworden. We kunnen kijken naar de 5 'natste' jaren. Deze zijn in de grafiek hierboven af te lezen, namelijk 1961, 1965,  1966,  1994 en 1998. Het blijkt dat de 5 'natste' jaren allemaal na 1851 vielen, dus in de tweede helft van de periode 1905-1998.
Stel dat je 5 jaren willekeurig kiest uit deze periode van 94 jaar. De kans dat je uitsluitend jaren uit de tweede helft van de periode kiest is klein.
4p

4.

 Bereken deze kans. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

 
Een andere maat voor de 'natheid' van een jaar is het aantal maanden van dat jaar dat de neerslag boven een bepaalde waarde, de grenswaarde, komt. Die grenswaarden zijn 30, 40, 50, ..., 130 mm. Met de gegevens over de periode 1905-1998 is de volgende tabel gemaakt.

Gemiddeld aantal maanden per jaar met grenswaardenoverschrijding.

grenswaarde
neerslag (mm)		 >30 >40 >50 >60 >70 >80 >90 >100 >110 >120 >130
gemiddeld aantal
maanden per jaar		 10,2 9,2 7,9 6,5 5,4 3,8 2,7 1,9 1,4 1,1 0,6
Uit deze tabel lezen we bijvoorbeeld af dat het aantal maanden per jaar waarin meer dan 60 mm neerslag viel, gemiddeld 6,5 bedroeg.
Men spreekt van een extreem nat jaar als meer dan 9 van deze grenswaarden vaker worden overschreden dan de overeenkomstige waarde in deze tabel.

De gegevens van De Bilt over 2001 zijn weergegeven in de volgende tabel.
maand jan feb mrt apr mei juni juli aug sep okt nov dec
neerslag (mm) 71 89 74 87 29 54 87 116 211 41 85 94
4p

5.

 Onderzoek of 2001 voor De Bilt een extreem nat jaar was.

 

Breedte van wegen.
In de figuur hieronder zie je enkele gegevens van de staat Wisconsin die betrekking hebben op het aantal verkeersslachtoffers in de jaren 1950 en 1960.
De gegevens zijn verdeeld over vier categorieën

In de figuur zie je dat het percentage dodelijke slachtoffers bij de mannen en bij de vrouwen is gestegen
5p

6.

 Ga door een berekening na of de relatieve toename van het aantal dodelijke slachtoffers bij de mannen groter is dan bij de vrouwen.

 
In de jaren vijftig deed de Amerikaan D.L. Gerlough onderzoek naar de voetgangersveiligheid van wegen. Als er veel verkeer over een weg gaat, is er voor voetgangers weinig gelegenheid om veilig over te steken.
Daarom stelde Gerlough de zogenaamde 'veilige norm' op. Een weg voldoet aan deze veilige norm wanneer er zich gemiddeld elke minuut een gelegenheid voordoet om veilig over te steken. Dat lukt alleen als het aantal auto's dat per uur passeert onder een maximum blijft. Dit maximum geven we hier aan met Nmax en is afhankelijk  van de breedte van de weg. Bij een brede weg duurt het oversteken langer dan bij een smalle weg. Voor wegen die voldoen aan de veilige norm betekent dit dat er bij een brede weg per uur minder auto's mogen passeren dan bij een smalle weg. Gerlough kwam tot de volgende formule:

In deze formule is B de breedte van de weg in meters.

Vanzelfsprekend is deze formule een model van de werkelijkheid. Met behulp van dit model kunnen we enig inzicht krijgen in de veiligheid bij de aanleg van wegen.

Een weg is 5,40 meter breed. Tijdens de spits passeren 1740 auto's per uur.
3p

7.

 Voldoet deze weg aan de veilige norm? Licht je antwoord toe.

 
De formule van Gerlough heeft alleen betekenis als Nmax positief is.
3p

8.

 Bereken voor welke waarden van B dit het geval is. Geef je antwoord in centimeters nauwkeurig.

 
Een weg waarover volgens de veilige norm per uur maximaal 1648 auto's mogen passeren, wordt 0,50 meter smaller gemaakt. Dit heeft tot gevolg dat het maximum aantal auto's dat per uur mag passeren groter wordt.
5p

9.

 Bereken hoeveel auto´s er per uur méér mogen passeren in de nieuwe situatie

 

 

Leugendetector
In het tijdschrift Nature stond enige tijd geleden een artikel waarin de werking van een leugendetector werd uitgelegd. Iemand die liegt krijgt een nauwelijks waarneembaar ´blosje´ in het gezicht. De leugendetector probeert dit blosje waar te nemen. Volgens het artikel is de leugendetector een belangrijk hulpmiddel om na te gaan of iemand liegt. Met de leugendetector zijn veel experimenten uitgevoerd. Daaruit is gebleken dat de leugendetector niet altijd foutloos werkt. Zo wordt in slechts 75% van de gevallen een leugenaar daadwerkelijk als leugenaar herkend.
We nemen aan dat voor iedere leugenaar geldt dat de kans dat deze correct als leugenaar herkend wordt gelijk is aan 0,75.
4p

10.

 Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat de leugendetector bij 200 leugenaars 40 of meer fouten maakt.

 
Ook bij eerlijke mensen (mensen die niet liegen) werkt de leugendetector niet altijd foutloos. Gemiddeld blijkt de leugendetector 1 van de 12 eerlijke mensen toch als leugenaar te bestempelen.
We bekijken een groep van 100 personen,  bestaande uit 40 leugenaars en 60 eerlijke mensen. Je kunt narekenen dat de leugendetector naar verwachting bij 85 personen uit deze groep de juiste conclusie zal trekken. Men spreekt in dit geval van een betrouwbaarheid van 85% voor deze groep.

De betrouwbaarheid hangt af van de samenstelling van de groep. Wanneer we een groep van 100 personen nemen met daarin 16 leugenaars, krijgen we een andere waarde voor de betrouwbaarheid.
3p

11.

 Bereken hoe groot de betrouwbaarheid dan is.

 
De leugendetector kan ook worden ingezet bij grootscheepse controles, zoals op vliegvelden. Daar moeten alle passagiers antwoord geven op de vraag of ze iets hebben aan te geven. Niet iedereen antwoordt naar waarheid.

Veronderstel dat 0,4% van alle passagiers niet naar waarheid antwoordt en dus liegt. Dan kan berekend worden dat 8,3% van alle passagiers eerlijk is en door de leugendetector toch als als leugenaar bestempeld wordt.
Deze informatie vinden we terug in de volgende tabel:
 

werkelijkheid
eerlijke passagier leugenaar

oordeel
leugendetector

 eerlijke passagier 91,3% 0,1%
leugenaar 8,3% 0,3%
4p

12.

 Bereken de kans dat een passagier die door de leugendetector als leugenaar wordt bestempeld ook werkelijk een leugenaar is. Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

 

 

Vijvertest.
Vijverbezitters kunnen tegenwoordig bij een tuincentrum laten onderzoeken of het water in hun vijver van goede kwaliteit is. Met een eenvoudige test kan van het water zowel de hardheid,  aangegeven met KH (carbonaathardheid), als de zuurgraad,  aangegeven met pH, worden vastgesteld. Deze twee waarden bepalen op hun beurt het CO2-gehalte van het water. Het CO2-gehalte, dat we in deze opgave zullen aangeven met C, is een belangrijke indicator voor de kwaliteit van het vijverwater. Met behulp van de volgende tabel kan bij gegeven KH en pH de waarde van C worden bepaald.

CO2-gehalte C in mg per liter.
 

pH
6,0 6,4 6,8 7,2 7,6 8,0
KH
12
10
8
6
5
4
3
2
480,0 191,1 76,1 30,3 12,1 4,8
400,0 159,2 63,4 25,2 10,0 4,0
320,0 127,4 50,7 20,2 8,0 3,2
200,0 79,6 31,7 12,6 5,0 2,0
160,0 63,7 25,4 10,1 4,0 1,6
120,0 47,7 19,0 7,6 3,0 1,2
80,0 31,8 12,7 5,0 2,0 0,8
De waarde van KH wordt in gehele getallen weergegeven; de waarde van pH wordt altijd met een nauwkeurigheid van 0,1 weergegeven. Uit de tabel lezen we bijvoorbeeld af dat voor vijverwater met KH = 5 en pH = 7,2 geldt: C = 12,6.

Als je voor pH een vaste waarde kiest, dan hangt C alleen nog maar af van KH. In de kolommen  van de tabel is te zien dat bij iedere vaste waarde van pH er een lineair (en zelfs evenredig) verband is tussen KH en C.

In de tabel is de rij die hoort bij KH = 6 leeg gelaten.

3p

13.

 Bereken welk getal er moet komen te staan op de plaats die hoort bij KH = 6 en pH = 6,8.

 
Als je voor KH een vaste waarde kiest, dan hangt C alleen nog maar af van pH. Bij iedere vaste waarde van KH bestaat er een exponentieel verband tussen pH en C: als pH met 1 toeneemt, neemt C met 90% af.

Bekijk de rij die hoort bij KH = 4
4p

14.

 Laat door middel van berekeningen zien dat alle waarden van C in deze rij in overeenstemming zijn met het bovengenoemde exponentiële verband tussen pH en C en met de genoemde afname van 90%.

 
Volgens de folder is het water in de vijver van goede kwaliteit als voldaan is aan de volgende drie voorwaarden:
(I) de KH-waarde van het water moet tenminste 6 en ten hoogste 10 zijn.
(II) de pH-waarde van het water moet tenminste 7 en ten hoogste 8 zijn.
(III) de C-waarde van het water moet tenminste 10 zijn.
Een vijverbezitter laat zijn vijverwater testen. Bij de test worden de volgende waarden gemeten: pH = 7 en KH = 8. Op basis van bovenstaande tabel kan de bijbehorende waarde voor C worden berekend. Vervolgens kan worden nagegaan of voldaan is aan de drie voorwaarden voor goede waterkwaliteit.
4p

15.

 Bereken deze bijbehorende waarde van C en onderzoek daarmee of dit vijverwater van goede kwaliteit is.

 
In folders waarin voorlichting wordt gegeven over de kwaliteit van vijverwater zou men de bovenstaande tabel kunnen afdrukken. Maar daarin staat slechts een beperkt aantal waarden van KH en pH. Een formule zal men in zulke folders niet graag gebruiken. Vandaar dat vaak wordt gekozen voor een 'plaatje'. In onderstaande figuur is begonnen met het maken van zo'n plaatje. Bij elk punt in de figuur hoort een waarde van pH en van KH. Deze bepalen de waarde van C, net als in de tabel. In de figuur is een kromme getekend. Daarop liggen alle punten waarvoor geldt dat C = 10, zoals bijvoorbeeld het punt met pH = 7,6 en KH = 10 dat we al kennen uit de tabel.

Om deze figuur bruikbaar te maken voor een voorlichtingsfolder moet hierin het gebied worden aangegeven dat bestaat uit alle punten waarvoor de waarden van pH, KH, en C voldoen aan de voorwaarden (I), (II) en (III) voor vijverwater van goede kwaliteit.
4p

16.

 Geef dit gebied in de figuur duidelijk aan. Licht je werkwijze toe.

 
Leesbaarheid.
Overheidsinstellingen geven vaak schriftelijk informatiemateriaal uit, zoals folders en brochures. Het is van belang dat mensen die dit materiaal lezen goed begrijpen wat er staat. Men heft verschillende formules ontwikkeld om te bepalen hoe moeilijk een tekst te begrijpen is.

In 1952 introduceerde Robert Gunning de Fog-index. Deze index wordt nog steeds veel gebruikt.
De Fog-index F is een maat voor de moeilijkheid van een tekst. Naarmate een tekst moeilijker is, is de Fog-index F groter. De waarde van F wordt bepaald door:
w:  het gemiddelde aantal woorden per zin en
l:  het gemiddelde aantal lange woorden per zin (lange woorden zijn woorden van drie of meer lettergrepen.

De bijbehorende formule is: F = 0,4 • w + 40 • l/w

Een tekst bestaat uit 95 zinnen met in totaal 1178 woorden, waarvan 159 lange woorden.
4p

17.

 Bereken de Fog-index van deze tekst. Rond je antwoord af op één decimaal.

 
Van 12 folders worden de gevonden F-waarden weergegeven in de volgende boxplot:

Van de 12 F-waarden zijn er 11 als volgt:  5,3 ; 6,4 ; 7,2 ; 7,4 ; 8,1 ; 8,3 ; 8,3 ; 9,1 ; 9,3 ; 9,3 en 11,3
5p

18.

 Geef een mogelijke F-waarde die - samen met de 11 gegeven waarden - de boxplot hierboven oplevert. Licht je antwoord toe.

 
Bij een onderzoek worden twee teksten, tekst A en tekst B, met elkaar vergeleken. Beide teksten hebben gemiddeld twee lange woorden per zin: l = 2. Tekst A heeft korte zinnen met gemiddeld weinig woorden: w = 10, terwijl tekst B lange zinnen heeft. Toch hebben beide teksten dezelfde Fog-index.
5p

19.

 Bereken de waarde van w voor tekst B.

 
Vaak kun je in een tekst veel korte woorden toevoegen of juist weglaten, zonder dat de betekenis van de tekst ingrijpend gewijzigd wordt. Dan verandert w terwijl l gelijk blijft. Anders gezegd: voor elke vaste waarde van l is F een functie van w. In onderstaande figuur is voor enkele waarden van l de bijbehorende grafiek van F getekend. Je ziet dat de grafiek van F eerst daalt, en vervolgens stijgt. De grafiek van F heeft dus steeds een minimum.

Een tekstschrijver weet uit ervaring dat zijn teksten gemiddeld 2,6 lange woorden per zin hebben. Hij wil graag dat zijn teksten zo eenvoudig mogelijk zijn.
4p

20.

 Bereken wat het gemiddeld aantal woorden per zin in zijn tekst in dat geval moet zijn. Rond je antwoord af op één decimaal.

 
Een andere manier om de Fog-index van een tekst te berekenen is als volgt:

Hierbij is k het gemiddeld aantal korte woorden per zin, met andere woorden  k + l = w
Uit deze formule is de oorspronkelijke formule  F = 0,4 • w + 40 • l/w af te leiden.
3p

21.

 Geef deze afleiding

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De kans is in Winterswijk groter. Beide klokvormen hebben hetzelfde gemiddelde, maar de standaardafwijking is in Winterswijk groter, dat betekent dat de waarden van Winterswijk gemiddeld verder van het midden af zullen liggen, dus zullen er ook meer waarden boven de 950 liggen.
2. normalcdf(950, 10000..., 753, 106) ≈ 0,0315
3. De lijn gaat door ongeveer  (0, 720) en (1000, 800)
De helling is dan  (800 - 720)/(1000 - 0) = 0,08
De vergelijking wordt N = 0,08t + b  en de beginwaarde n is 720.
Dat geeft  N = 0,08t + 720
4. In de tweede helft zitten 47 jaren, dus de kans wordt:
47/94 • 46/93 • 45/92 • 44/91• 43/90 ≈ 0,0279
5. Voor 2001 geldt deze tabel:
grenswaarde
neerslag (mm)		 >30 >40 >50 >60 >70 >80 >90 >100 >110 >120 >130
gemiddeld aantal
maanden per jaar		 10,2 9,2 7,9 6,5 5,4 3,8 2,7 1,9 1,4 1,1 0,6
aantal keer
overschreden in 2001		 11 11 10 9 9 7 3 2 2 1 1
10 keer (blauwe getallen) wordt de waarde in de tabel overschreden, dus is 2001 een extreem nat jaar geweest.
6. Bij de mannen gaat het van 7% naar 10% en dat is een relatieve toename van (10 - 7)/7 • 100% = 43%
Bij de vrouwen gaat het van 4% naar 6% en dat is een relatieve toename van  (6 - 4)/4 • 100% = 50%
De relatieve toename is bij de mannen dus NIET groter dan bij de vrouwen.
7. Nmax = (8289,3 • (1,778 - log 5,40))/5,40 ≈ 1605
1740 is meer dan 1605 dus de weg voldoet NIET aan de veilige norm.
8. Nmax is positief als 1,778 - logB > 0 dus als  logB < 1,778
logB = 1,778 ⇒  B = 101,778 ≈ 59,98 m = 5998 cm.
Als 0 < B < 5998 cm dan is Nmax positief.
9. 1648 = (8289,3 • (1,778 - logB))/B
Y1 = 1648  en  Y2 =  (8289,3 • (1,778 - logX))/X
Window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 10,   Ymin = 0,  Ymax = 2000
Intersect geeft  B = 5,30
De breder gemaakte weg is dus 4,80 m breed.
Dat geeft  Nmax =   (8289,3 • (1,778 - log4,80))/4,80 = 1894
Dat zijn 1894 - 1648 = 196 auto's per uur méér.
10. binomiaal verdeeld met n = 200, p = 0,25
P(X ≥ 40) = 1 - P(X ≤ 39) = 1 - binomcdf(200, 0.25, 39) ≈ 0,9594
11. van de 16 leugenaars zullen  0,75 • 16 = 12 gevallen goed worden beoordeeld
van de 84 eerlijke mensen zullen 11/12 • 84 = 77 gevallen goed worden beoordeeld.
In totaal worden 12 + 77 = 89 gevallen goed beoordeeld dus is de betrouwbaarheid 89%
12. Als je bijv. 1000 mensen bekijkt zullen 83 + 3 = 86 mensen als leugenaar beoordeeld worden.
Van die 86 mensen zijn slechts 3 mensen werkelijk leugenaar.
De kans is dus 3/86 ≈ 0,0349
13. De afname in de kolom pH = 6,8 is steeds 12,7.
Op de plaats van KH = 6 zal dan 50,7 - 12,7 = 38,0 staan.
14. 90% afname betekent dat er 10% overblijft, dus de groeifactor is 0,1.
De formule voor C wordt  C = B • 0,1pH 
Als je de pH vanaf  6,0 telt, dan kun je als beginwaarde 160,0 nemen.
De andere waarden zijn dan: 
160,0 • 0,10,4 en 160,0 • 0,10,8 en 160,0 • 0,11,2 en 160,0 • 0,11,6 en  160,0 • 0,12,0
Dat is:  63.70 en 25.36 en 10.10 en 4.02 en 1.60 en dat zijn inderdaad de waarden uit de tabel.
15. pH = 7 en KH = 8  geeft uit de tabel:  50,7 • 0,10,2 = 32,0 (zie vraag 14, maar eigenlijk is het alleen van belang dat het groter dan 10 is)
(I):  8 zit tussen 6 en 10, dus klopt.
(II):  7 is tenminste 7, dus klopt.
(III): C is groter dan 10, dus klopt.
Het water is dus van goede kwaliteit.

(het vreemde aan deze opgave is, dat in de inleiding (vlak onder de tabel) staat "pH wordt altijd met een nauwkeurigheid van 0,1 gegeven", maar dat dat hier niet gebeurt! Betekent die 7 dat de pH tussen 6,9 en 7,1 ligt? Dan is niet zeker of aan de tweede voorwaarde is voldaan!!)
16.

17. w =  1178/95 = 12,4  en  l = 159/95 = 1,67
F = 0,4 • 12,4 + 40 • 1,67/12,4 ≈ 10,4
18. De mediaan van 12 getallen ligt tussen de 6e en de 7e en moet 8,3 zijn.
Het 6e en 7e getal van de gegeven rij zijn inderdaad 83, en 8,3 dus moet het twaalfde getal 8,3 of hoger zijn.
Ook het derde kwartiel van de rij (tussen 9e en 10e) is nu al 9,3 dus moet het nieuwe getal groter of gelijk aan 9,3 zijn.
Omdat het grootste getal 11,3 is moet gelden  9,3 ≤ 12e getal ≤ 11,3
19. FA = 0,4 • 10 + 40 • 2/10 = 12
FB = 12 = 0,4 • w + 40 • 2/w
Kun je met de GR oplossen (Y1 = 12 en Y2 =   0,4 • X + 40 • 2/X en dan intersect)

maar algebraïsch is natuurlijk veel mooier:
Vermenigvuldig alles met w:   12w = 0,4w2 + 80  ⇒  0,4w2 - 12w + 80 = 0
De ABC-formule geeft  w = (12 ± √16)/(2 • 0,4) =  20 of 10
Omdat w bij B groter moet zijn dan bij A moet gelden w = 20.
20. F = 0,4w + 40 • 2,6/w = 0,4w + 104/w
Y1 = 0,4X + 104/X en dan calc - minimum geeft w » 16,1  (en F = 12,9)
21. k + l = w
Vervang twee keer  k + l door w  Dat geeft:
F = 0,4(w + 100 • l/w) en nu haakjes wegwerken:  F = 0,4 • w + 0,4 • 100 • l/w = 0,4w + 40 • l/w
en dat is meteen de gevraagde formule.