VWO WA1, 2006 - I
Beschuit.
Gewone beschuiten worden verkocht in beschuitrollen van 13 stuks. een gewone beschuit weegt gemiddeld 8,0 gram.
Er zijn ook zogeheten 'Twentsche beschuiten' die worden verkocht in zakken van 10 stuks. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 10,7 gram.

Enige tijd geleden kostte in de supermarkt een rol gewone beschuit €0,91 en een zak Twentsche beschuit €0,93.

3p

1.

 Bij welk van deze twee artikelen verwacht je het meeste beschuit voor je geld? Motiveer je antwoord.

 
Vanzelfsprekend wegen beschuiten niet allemaal precies evenveel. Het gewicht van een gewone beschuit is normaal verdeeld met een gemiddeld gewicht van 8,0 gram en een standaardafwijking van 0,6 gram. De kans is daarom vrij groot dat een willekeurige gewone beschuit meer weegt dan 7,5 gram. Toch gebeurt het niet vaak dat in een rol gewone beschuit elke beschuit meer dan 7,5 gram weegt.
5p

2.

 Bereken de kans dat in een rol gewone beschuit elke beschuit meer dan 7,5 gram weegt.

 
Het gewicht van een Twentsche beschuit is ook normaal verdeeld. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 10,7 gram met een standaardafwijking van 0,9 gram.
Zowel bij een rol gewone beschuit als bij een zak Twentsche beschuit kan het gebeuren dat de inhoud minder weegt dan de 100 gram die er op de verpakking staat vermeld. Voor gewone beschuit is de kans op deze gebeurtenis 0,032.
5p

3.

 Bereken bij welke soort beschuit de kans het grootst is dat de inhoud minder weegt dan de 100 gram die op de verpakking staat.

 
 
Krasactie.
Schoenwinkel Boermans bestaat 40 jaar. Om dat te vieren overweegt eigenaar Boermans om een actie met kraskaarten te houden. Iedere klant die voor tenminste 50 euro in de winkel besteedt krijgt een kraskaart. Op elke kraskaart komen acht vakjes die open gekrast kunnen worden. In zes willekeurig gekozen vakjes staat het woord 'jammer!'. In de andere twee vakjes staat het gezicht van Boermans afgebeeld. De klant mag naar keuze twee vakjes openkrassen. Indien een klant tenminste éénmaal het gezicht van Boermans te voorschijn krast, dan levert dat de klant een cadeaubon op.

Een klant die een kraslot mag gaan krassen heeft een kans van 26/56 op een cadeaubon. 
4p

4.

 Laat met een berekening zien dat deze kans juist is.

 
Het is mogelijk dat de vijfde klant die op een dag gaat krassen de eerste klant is die op die dag een cadeaubon wint.
3p

5.

 Bereken de kans dat dit gebeurt.

 
Boermans verwacht dat hij per dag gemiddeld 13 cadeaubonnen zal moeten uitdelen. Deze verwachting baseert hij op het gemiddelde aantal klanten per dag die in het verleden 50 euro of meer besteedden.
3p

6.

 Bereken dit gemiddelde aantal klanten per dag waarvan Boermans is uitgegaan.

 
De krasactie van Boermans gaat een jaar duren. Een klant kan met een in de krasactie gewonnen cadeaubon een keuze maken uit een beperkte, speciaal daarvoor aangewezen, voorraad artikelen in Boermans' winkel.

Boermans heeft nog niet besloten hoe groot hij de waarde van de cadeaubonnen zal maken. Hij wil kiezen uit de volgende twee mogelijkheden:
• Mogelijkheid A: gedurende de hele actie is elke cadeaubon 17,50 euro waard.
• Mogelijkheid B: elke cadeaubon die op de eerste dag wordt uitgedeeld is 5 euro waard;  elke cadeaubon die op de tweede dag wordt uitgedeeld is 5,10 euro waar; elke cadeaubon die op de derde dag wordt uitgedeeld 5,20 euro,  enzovoort. Elke dag dat de winkel geopend is worden de bonnen 0,10 euro meer waard. Omdat Boermans in een jaar 300 dagen geopend is zijn de bonnen op de laatste dag 34,90 waard.
Boermans wil een indicatie hebben hoeveel geld hij bij beide mogelijkheden kwijt zal raken aan cadeaubonnen. Bij de berekeningen mag je ervan uit gaan dat Boermans elke dag precies 13 cadeaubonnen uitdeelt.
6p

7.

 Bereken hoeveel geld Boermans kwijt is bij elk van beide mogelijkheden.

 

 

Mobiel.
In de jaren negentig van de twintigste eeuw hebben steeds meer mensen een mobiele telefoon aangeschaft. Om de ontwikkelingen te volgen kijken telefoonbedrijven vooral naar het deelnamepercentage. Dat is het aantal abonnees met een mobiele telefoon in een land, uitgedrukt als percentage van het aantal inwoners van dat land.
In de grafiek van de volgende figuur is weergegeven hoe de deelnamepercentages van Nederland en Italië zich de afgelopen jaren hebben ontwikkeld.

Zoals je in deze figuur kunt zien is het deelnamepercentage van Italië vanaf 1994 voortdurend groter dan het deelnamepercentage van Nederland. Het verschil tussen het deelnamepercentage van Italië en het deelnamepercentage van Nederland is echter niet elk jaar even groot. 
5p

8.

 Teken in bovenstaande figuur de grafiek van dit verschil vanaf 1994. Licht je werkwijze toe.

 
De grafiek van Nederland kan goed benaderd worden met de formule:

Hierin is pNederland het deelnamepercentage van Nederland en t de tijd in jaren. Hierbij komt t = 0 overeen met 1 januari 1995.

Gedurende het hele jaar 2000 had Nederland ongeveer 16 miljoen mensen.
4p

9.

 Onderzoek met behulp van de formule of er in het jaar 2000 meer dan 2 miljoen abonnees zijn bijgekomen.

 
De markt voor mobiele telefoons is vrijwel verzadigd wanneer het deelnamepercentage de 80 passeert.
5p

10.

 Bereken met behulp van de formule in welke maand van welk jaar dat in Nederland het geval is.

 
De grafiek van Italië kan goed benaderd worden met de formule:

Hierin is weer t de tijd in jaren. Met t = 0 komt 1 januari 1995 overeen.

Aan de hand van de formules voor Nederland en Italië kunnen we berekenen wanneer het verschil tussen het deelnamepercentage van Italië en het deelnamepercentage van Nederland het grootst was.
4p

11.

 Hoe groot is volgens de formules het maximale verschil tussen de deelnamepercentages van Italië en Nederland? Licht je antwoord toe.

 

 

Cine-TV
De firma Cine-tv vertoont speelfilms op de kabeltelevisie. Alleen mensen die een abonnement hebben kunnen deze films zien. Hun televisietoestel is daarvoor voorzien van een decoder.

Het abonnement bij Cine-tv kost momenteel €30,- per kwartaal. Bij Cine-tv overweegt men de abonnees meer films aan te bieden. Maar dan moet de abonnementsprijs wel worden verhoogd. Om na te gaan welke verhoging Cine-tv het best kan toepassen is een enquête onder de abonnees gehouden. In de volgende tabel zie je in procenten uitgedrukt hoeveel leden akkoord gaan met een verhoging en hoeveel leden hun abonnement zullen opzeggen.

verhoging kwartaalprijs met

 €0,- €2,50 €5,- €7,50
percentage akkoord 100 94 87 79
percentage opzeggers 0 6 13 21
Een verhoging van de abonnementsprijs levert Cine-tv een andere opbrengst op. Bij Cine-tv wil men weten bij welke van de verhogingen die in de tabel worden genoemd deze opbrengst het grootst is.
4p

12.

 Onderzoek bij welke verhoging van de abonnementsprijs dat het geval is.

 
Elke zaterdagavond zendt Cine-tv een zogenaamde special uit. Dat is een speelfilm die door een panel van 50 willekeurig gekozen abonnees is geselecteerd. Voor de selectie van de special krijgen de 50 panelleden zes films voorgelegd. Ieder lid van het panel geeft nu zijn voorkeur aan door 3 punten te verdelen over de zes films. Dat kan als volgt:
• een panellid kent aan drie verschillende speelfilms elk 1 punt toe, of
• een panellid kent aan één film 2 punten toe en aan één andere film 1 punt.
• een panellid kent aan één film alle punten toe.
De film met de meeste punten is de special die op de zaterdagavond wordt uitgezonden.

Bij een van de zaterdagavonden had het panel de keuze uit zes films waaronder de thriller "Footsteps in the dark". Bij de keuze bleek dat 41 panelleden aan deze film geen enkel punt hadden toegekend. Toch werd de film uitgezonden.
5p

13.

 Laat met een getallenvoorbeeld zien dat dit inderdaad mogelijk is.
Voor de zes film waaruit de special wordt geselecteerd heeft Cine-tv de beschikking over 50 thrillers, 40 avonturenfilms, 30 komedies en 30 science-fictionfilms. Uit deze 150 films kiest Cine-tv willekeurig de zes films die aan het panel voorgelegd zullen worden.
4p

14.

 Bereken de kans dat  van de zes films twee een thriller zijn.

 

 

Verkeersslachtoffers in Nederland
In het jaar 2000 zijn 1160 personen in het verkeer in Nederland om het leven gekomen. ten opzichte van het jaar 2000 is het aantal verkeersdoden in het jaar 2001 gedaald met 6,47%. Bij de mannen daalde het aantal verkeersdoden met 31 tot 821.
Met deze gegevens kunnen we berekenen met welk percentage het aantal vrouwelijke verkeersdoden in 2001 is gedaald ten opzichte van 2000.
5p

15.

 Bereken dit percentage.

 
In de volgende figuur staan de verkeersdoden van het jaar 2000 in een staafdiagram verdeeld naar leeftijdscategorie.

De bevolkingsopbouw van het jaar 2000 is weergegeven in de volgende figuur.

Om het totale percentage per leeftijdscategorie te bepalen moet je de percentages mannen en vrouwen optellen. Voor, bijvoorbeeld,  de leeftijdscategorie 5 tot 10 jaar is af te lezen dat het totale percentage ongeveer 6,4% is.
6p

16.

 Onderzoek aan de hand van beide figuren hierboven of in het jaar 2000 een persoon uit de leeftijdscategorie 25 tot 30 jaar een grotere of een kleinere kans had op een dodelijk verkeersongeval dan een persoon uit de leeftijdscategorie 70 tot 75 jaar.

 
In de volgende figuur zie je een grafiek van het aantal verkeersdoden voor de jaren 1950 tot en met 2002.

In deze figuur is te zien dat het aantal verkeersdoden het grootst was in 1972. Toen waren er 3264 verkeersdoden. Door een actief beleid inzake verkeersveiligheid is sinds die tijd het aantal verkeersdoden afgenomen tot 1066 in het jaar 2002. Weliswaar steeg het aantal verkeersdoden in sommige jaren, maar toch is er een duidelijke dalende trens waarneembaar in de periode 1972-2002. We kunnen deze trend beschrijven met een model waarbij het aantal verkeersdoden exponentieel afneemt van 3264 in 1972 tot 1066 in 2002. Volgens dit model zou het aantal verkeersdoden tussen 1972 en 2002 jaarlijks met een vast percentage dalen.
4p

17.

 Bereken dit percentage.

 
Het verloop van het aantal verkeersdoden, zoals je dat ziet in de figuur hierboven, kan bij benadering worden beschreven met de volgende formule:


In deze formule is N het aantal verkeersdoden per jaar in duizendtallen en t is de tijd in jaren vanaf 1950, dus t = 0 in 1950.

Deze formule is slechts een model dat hoort bij bovenstaande figuur. Daarom komt de grafiek die hoort bij de formule niet precies overeen met de grafiek uit bovenstaande figuur. Een belangrijk verschil is bijvoorbeeld dat volgens de formule de piek in het aantal verkeersdoden niet in 1972 plaatsvond, maar in een ander jaar.
3p

18.

 Onderzoek in welk jaar de piek plaatsvond volgens bovenstaande formule.

 
Uiteraard is ieder verkeersslachtoffer er een teveel. De overheid wil het aantal verkeersslachtoffers dan ook verminderen. Wanneer de overheid de reeds bestaande maatregelen voortzet dan verwacht men dat het aantal verkeersdoden zich in de toekomst ontwikkelt volgens bovenstaande formule. Alleen als de overheid nog extra maatregelen neemt om de verkeersveiligheid te bevorderen zal het aantal verkeersdoden in de toekomst lager kunnen worden dan volgens de formule. Doelstelling is om het aantal verkeersdoden minder dan 750 te laten zijn.
4p

19.

 Onderzoek, uitgaande van de gegeven formule, of er inderdaad extra maatregelen nodig zijn om deze doelstelling te halen.

 

 

OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. een rol gewone beschuit bevat gemiddeld 13 • 8, 0 = 104 gram voor  €0,91, 
dus dat is 0,91/104 = 0,00875 euro per gram. 
een zak Twentsche beschuit bevat gemiddeld 10 • 10,7 = 107 gram voor €0,93, 
dus dat is  0,93/107 = 0,00869 euro per gram.
bij een Twentsche beschuit krijg je dus het meeste beschuit voor je geld.
2. kans dat één beschuit meer dan 7,5 gram weegt is  normalcdf(7.5,  10000..., 8.0, 0.6) = 0,7977
de kans dat alle 13 beschuit meer wegen is dan  0,797713 ≈ 0,053
3. het totale gewicht van 10 beschuiten is ook normaal verdeeld met gemiddelde 10 • 10,7 = 107 en standaardafwijking  0,9 • √10 ≈ 2,846
De kans op een totaalgewicht minder dan 100 gram is dan  normalcdf(0, 100, 107, 2.846) ≈ 0,00695
voor gewone beschuiten was deze kans 0,032
Dus bij gewone beschuiten is de kans het grootst.
4. P(geen cadeaubon) = P(jammer, jammer) = 6/8 • 5/7 = 30/56
P(wel een bon) = 1 - 30/56 = 26/56. 
5. P(niet, niet, niet, niet, wel) = 30/56 • 30/56 • 30/56 • 30/56 • 26/56 ≈ 0,0382
6. aantal bonnen  = kans op een bon •  aantal klanten
13 = 26/56 • aantal klanten
aantal klanten is 28
7. methode A:  300 • 17,50 • 13 = €68250

methode B:
5 + 5,10 + 5,20 + ... + 34,90 is som van een een rekenkundige rij:  S = 0,5 • 300 • (5 + 34,90) = 5985
kosten: 13 • 5985 = €77805
8.
9. 2000 is t = 5  en   p(5) = 43,84%
0,4384 • 16 miljoen = 7, 01 miljoen mensen
2001 is t = 6 en p(6) = 57,23%
0,5723 • 16 miljoen = 9,16 miljoen
er zijn 9,16 - 7,01 = 2,14 miljoen mensen bijgekomen en dat is meer dan 2 miljoen
10. Y1 = 80  en  Y2 = 81/(1 + 30 • 0,49^X)
window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 20,   Ymin = 70,   Ymax = 90
intersect levert X = 10,91
dat is 10 jaar en 0,91 • 12 = 10,92 maanden
dus dat zal eind november 2005 zijn.
11. Y1 = 81/(1 + 10 • 0,49^X) en Y2 = 81/(1 + 30 • 0,49^X) en Y3 = Y1 - Y2
window bijv. Xmin = 0, Xmax = 20, Ymin = 0, Ymax = 30
calc - maximum levert een maximaal verschil van  Y = 21,7%  (bij X = 4)
12. Stel dat er x abonnees zijn:
verhoging prijs 0 2,50 5 7,50
akkoord 100 94 87 79
inkomsten 30x 32,50 • 0,94x
= 30,55x 		35 • 0,87x
= 30,45x		 37,50 • 0,79x
= 29,625x
Bij een verhoging van 2,50 zijn de inkomsten het grootst.
13.
film

aantal panelleden
8 8 8 8 8 1 9
A 3         1 0
B   3       1 0
C     3     1 0
D       3     0
E         3   0
F             3
De punten die de films krijgen zijn nu respectievelijk 25, 25, 25, 24,  24, 27 dus film F wint.
14. Er zijn 50 thrillers en 100 niet-thrillers.
50/150 • 49/149 • 100/148 • 99/147 • 98/146 • 97/145  • (6 nCr 2) = 0,336
15. In 2000 zijn er 821 + 31 = 852 mannen en dus 1160 - 852 = 308 vrouwen.
Als 1160 daalt met 6,47% dan blijft er 100 - 6,47 = 93,53% over.
Dat zijn 0,9353 • 1160 = 1085 verkeersdoden (afgerond) in 2001.
Daarvan zijn er 821 mannen en dus 1085 - 821 = 264 vrouwen.
Dat is een afname van 308 - 264 = 44 vrouwen en dat is  44/308 • 100% = 14,3%
16. 25-30 jaar is  3,5 + 3,5 = 7% en daarin vielen ongeveer 100 doden
70-75 jaar is 1,5 + 2 = 3,5% en daarin vielen ongeveer 70 doden.
Het aantal mensen in de categorie 25-30 is wel dubbel zo groot als in de andere categorie, maar het aantal doden niet. Dus is de kans in de categorie 30-35 kleiner dan in de categorie 70-75.
17. De groeifactor is 1066/3264 = 0,3266 en dat is in 30 jaar.
Per jaar is de factor dan  0,32661/30 ≈ 0,9634
Dat betekent een afname van 100 - 96,43 ≈ 3,7%
18. invoeren en dan calc-maximum geeft t = 26,75 dus dat is in het jaar 1977
19. Vul een hele grote t in in de formule, dan zie je dat er ongeveer 0,8 uitkomt.
Dat betekent dat er op den duur 0,8 • 1000 = 800 doden zullen zijn.
Er zijn dus WEL extra maatregelen nodig .