Op 2 maart 1994 vonden er in Nederland gemeenteraadsverkiezingen plaats. In de gemeente Enschede werden 67787 stemmen uitgebracht.

Hier zie je een tabel met de verkiezingsuitslag. In de tweede kolom is af te lezen hoeveel stemmen elke partij heeft behaald. In de laatste kolom staat aangegeven hoe, op basis van de verkiezingsuitslag, de zetelverdeling in de gemeenteraad van Enschede uiteindelijk is geworden.
Het proces om stemmen om te rekenen naar aantallen zetels is ingewikkeld. We gaan daar verderop in deze opgave nader op in. Eerst kijken we alleen naar het resultaat van de zetelverdeling.

Uit de tabel volgt dat PvdA, VVD en D66 samen een meerderheid kregen van de zetels in de gemeenteraad. Toch hadden deze drie partijen samen geen meerderheid van de stemmen.

Laat met behulp van de gegevens in de tabel zien dat PvdA, VVD en D66 samen inderdaad een meerderheid aan zetels maar niet een meerderheid aan stemmen hebben behaald.

⁶⁷⁷⁸⁷/₃₉ ≈  1738,128.

Aan de hand van de kiesdeler wordt eerst voor elke partij het aantal volle zetels bepaald. Hiervoor deelt men het aantal op die partij uitgebrachte stemmen door de kiesdeler. Voor bijvoorbeeld de PvdA is de uitkomst hiervan ongeveer 8,82.
Daarom heeft de PvdA 8 volle zetels. In de derde kolom van de tabel staat het aantal volle zetels van elke partij.
De beschikbare zetels in de gemeenteraad die nog niet zijn verdeeld met de volle zetels, heten de restzetels. Voor de verdeling van de restzetels moet volgens de kieswet het systeem van de grootste gemiddelden worden gehanteerd. In de kieswet staat dit systeem als volgt beschreven:

Aan de hand van de gegevens in het werkblad GEMEENTERAADSVERKIEZINGEN.XLS kun je bepalen welke partij de eerste restzetel krijgt toebedeeld, welke partij de tweede restzetel, enzovoort.

Bepaal welke partij de eerste restzetel en welke partij de tweede restzetel krijgt toebedeeld. Licht je antwoord met berekeningen toe.

In totaal moesten er in Enschede 6 restzetels verdeeld worden. De zesde en laatste restzetel werd toebedeeld aan de PvdA. Veronderstel nu eens dat een aantal mensen niet op de PvdA maar op de VVD gestemd zou hebben. Dan kan dat gevolgen hebben voor de partij waar de zesde restzetel heen gaat. Om dat te onderzoeken gaan we het aantal PvdA-stemmers en VVD-stemmers variëren en wel zodanig dat het totale aantal stemmers op de PvdA en VVD samen gelijk blijft aan 24409.

Met de schuifbalk die je in dit werkblad ziet, kun je het aantal PvdA-stemmers en het aantal VVD-stemmers zelf regelen. Wanneer het aantal VVD-stemmers voldoende toeneemt, zal de zesde restzetel naar de VVD in plaats van de PvdA gaan.

Onderzoek met de schuifbalk wat het kleinste aantal VVD-stemmers is waarbij de VVD in totaal 6 zetels krijgt doordat de zesde restzetel naar de VVD gaat.
Laat met een berekening zien dat je antwoord inderdaad het kleinst mogelijke aantal VVD-stemmers is waarbij de zesde restzetel naar de VVD gaat.

Om te beginnen, voeren we een simulatie uit waarbij er geen systematische veranderingen zijn. Er zijn dus uitsluitend toevallige schommelingen rond een constante waarde.

De gesimuleerde jaaromzet in kolom B is normaal verdeeld met gemiddelde b en standaardafwijking s. De waarden van b en s kun je zelf instellen met de schuifbalken. Telkens als je b of s verandert wordt er een nieuwe simulatie uitgevoerd. Er komen dan in kolom B en in kolom C nieuwe waarden te staan. In kolom C wordt telkens het gemiddelde berekend over de 4 jaar die aan dat jaar vooraf gingen. De waarden uit kolom B en C staan ook in de grafiek afgebeeld.

Anna beweert dat de theoretische standaardafwijking van de 4-jaarsgemiddelden gelijk is aan  ¹/₄s
Sofie beweert dat deze standaardafwijking gelijk is aan ¹/₂s

Men gaat er vaak van uit dat de jaaromzet een lineaire trend vertoont met toevallige schommelingen ten opzichte van de trendlijn. We willen onderzoeken of het voortschrijdend gemiddelde ook in deze situatie gebruikt kan worden om de jaaromzet van het volgende jaar te voorspellen. Daartoe gebruiken we eerst een model dat de jaaromzet lineair laat toenemen zonder toevallige schommelingen.

Voor de jaaromzet J(t) in jaar t geldt nu J (t) = a · t + b. Zie kolom B.
De waarden van a en b staan in de cellen G2 en G3. Je kunt deze zelf wijzigen.

In kolom C staat de voorspelling V(t). Dit is de gemiddelde jaaromzet van de afgelopen 4 jaar.
De waarden uit kolom B en C staan ook in de grafiek. Je ziet dat de voorspellingen er steeds wat onder zitten. Wat ook opvalt, is dat het verschil elk jaar gelijk is. Wanneer we weten waar dit verschil van afhangt kunnen we de werkelijke jaaromzet beter voorspellen. Het constante verschil blijkt af te hangen van de gekozen waarde van a en niet van b.

Neem onderstaande tabel over en vul deze verder in met behulp van het werkblad PROGNOSE.XLS Vraag 5,6. Neem hierbij telkens b = 500.

Om de voorspelling V(5) te berekenen staat in cel C6 de Excel-formule =SOM(B2:B5)/4. In de cellen daaronder staan overeenkomstige formules.
Aan de waarden die je in de tabel bij vraag 18 hebt ingevuld, kun je zien hoe het verschil tussen J(t) en V(t) afhangt van a. De bedoeling is dat je met behulp daarvan een verbeterde versie van de formules uit kolom C in kolom D zet. Deze verbeterde voorspelling noemen we W(t). Deze voorspelling moet dus overeenstemmen met de jaaromzet volgens het model. Bedenk wel dat men in de praktijk nog niet beschikt over toekomstige omzetcijfers. In je formule voor een bepaald jaar mag je dan ook alleen gebruik maken van de omzetcijfers van de daaraan voorafgaande jaren.

Beschrijf nauwkeurig welke formules je in kolom D moet zetten zodat W(t) gelijk is aan J(t). Licht je werkwijze toe.