Nieuwe pagina 1

VWO WA12, 2002 - I

Vogels die voedsel zoeken

Vogels die voedsel zoeken op de grond vertonen vaak een karakteristiek patroon van lopen en stilstaan. In de figuur hieronder is dit patroon voor twee vogelsoorten schematisch weergegeven.

Het patroon van soort I heeft de volgende drie kenmerken:

het stilstaan duurt telkens 2,5 seconden.
tussen twee stops legt de vogel telkens 20 cm af
tussen twee stops loopt de vogel met een snelheid van 4 cm per seconde

Lees uit figuur 1 af wat deze drie kenmerken zijn van het patroon van soort II.

Om van een andere vogel (soort III) dit patroon te bepalen is zo'n vogel gedurende een reeks van 24 keer lopen-en-stilstaan geobserveerd.
De vogel stond in totaal 180 seconden stil.
De afgelegde afstand was in totaal 480 cm.
Het geheel duurde 420 seconden.

Teken een grafiek zoals hierboven van het patroon van deze vogel voor tenminste 45 seconden. Geef een toelichting.

Vogels die hun voedsel in bomen en struiken zoeken doen dat vaak bij voorkeur op een specifieke hoogte.
Gedurende een winter zijn in een bos voedselzoekende vogels geobserveerd. In de tabel hieronder staat de verdeling over verschillende hoogtes van 400 waarnemingen bij pimpelmezen.

hoogte in meters	<1,5	1,5 - 3	3 - 5	5 - 7	7 - 10	10 - 15	>15
aantal waarnemingen	24	26	51	72	122	92	13

Toon aan dat de waargenomen hoogtes bij benadering normaal verdeeld zijn; maak gebruik van normaal waarschijnlijkheidspapier. Lees uit je tekening af hoe groot het gemiddelde en de standaardafwijking van deze verdeling zijn. Geef beide antwoorden in dm nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.

De hoogtes waarop boomklevers en glanskoppen werden waargenomen waren ook bij benadering normaal verdeeld. Per soort staan het gemiddelde en de standaardafwijking van deze waargenomen hoogtes in de tabel hieronder in meters vermeld.

soort	gemiddelde hoogte	standaardafwijking
boomklevers glanskoppen	10,0 4,5	4,0 1,5

Een onderzoeker let bij elk van beide vogelsoorten op de relatieve frequentie van de waarnemingen tussen 6,0 en 8,0 meter.

Onderzoek met een berekening of deze twee relatieve frequenties even groot zijn.

Energiebronnen

Hout was vroeger de belangrijkste energiebron. In het begin van de negentiende eeuw werd de rol van de belangrijkste energiebron overgenomen door kolen. De laatste jaren is het aandeel van olie en gas in het totale energieverbruik steeds groter geworden. In het boek "Energie, een economisch perspectief" besteden de schrijvers TH. v.d. Klundert en H. Peer aandacht aan de ontwikkeling van energiebronnen. Zij gebruiken daarbij de variabele f voor het aandeel van een energiebron zoals zich dat in de loop van de tijd ontwikkeld heeft ten opzichte van het totale energieverbruik. Dit aandeel f is een getal waarvoor geldt 0 ≤ f ≤ 1. Hierbij betekent f = 0 dat deze energiebron helemaal niet gebruikt wordt en f = 1 dat uitsluitend van deze energiebron gebruik gemaakt wordt.

In het boek staat een afbeelding zoals de figuur hieronder. Door niet f maar ^f/_{(1 - f)} uit te zetten en bovendien op de verticale as een aangepaste schaalverdeling te gebruiken worden de meeste grafieken rechte lijnen.

In welk jaar leverde hout 50% van het totale energieverbruik? Licht je antwoord toe.

Met de figuur hierboven hebben de auteurs informatie willen geven over het belang van verschillende energiebronnen door de jaren heen. Opvallend is dat daarbij niet f maar ^f /_{(1 - f )} wordt gebruikt. Dat kan omdat bij elke waarde van ^f /_{(1 - f )} precies één waarde van f hoort, immers als f toeneemt van 0 tot 1 dan stijgt ^f /_{(1 - f )} voortdurend.

Toon die laatste bewering aan met behulp van de afgeleide van ^f /_{(1 - f )}

Aan de hand van de bovenstaande figuur kunnen we voor f_hout, het aandeel van hout in het totale energieverbruik, de volgende formule afleiden:

In deze formule is t in jaren met t = 0 op 1 januari 1850.
Het verband tussen f_hout en t kan ook en directe vorm worden weergegeven: f_hout = ....

Stel met behulp van de gegeven formule een formule in een directe vorm voor f_hout op.

Dergelijke formules in directe vorm zijn ook op te stellen voor f_olie en f_gas, het aandeel van olie respectievelijk gas in de totale energievoorziening. Deze formules zien er als volgt uit:

Op zeker moment leverden, volgens deze formules, olie en gas samen 25% van het totale energieverbruik.

Onderzoek in welk jaar dat het geval was.

De olievoorraden raken uitgeput en het kolenverbruik heeft veel milieuproblemen tot gevolg. Daarom verwacht men dat het gasverbruik in de komende tijd zal blijven toenemen. Al jaren stijgt het gasverbruik jaarlijks met 3,5% en men gaat er van uit dat dit in de komende tijd niet zal veranderen.
Deze stijging betekent dat de huidige gasreserves toereikend zijn tot het jaar 2050. Om er voor te zorgen dat de wereld na 2050 nog voldoende gas kan blijven gebruiken moeten nieuwe voorraden worden ontdekt. Om een indruk te geven van wat dat laatste betekent is in het boek "De grenzen voorbij" de volgende figuur opgenomen. In deze figuur geeft elk vierkant en elke rechthoek de verbruikte of benodigde hoeveelheid gas voor een bepaalde periode aan.

Leg met behulp van een berekening uit hoe een jaarlijkse stijging van het gasverbruik met 3,5% in de figuur hierboven is te herkennen.

Jongen of meisje

In 1988 vond het Onderzoek Gezinsvorming plaats. Hierbij werd onder andere de gezinssamenstelling onderzocht (hoeveel kinderen, hoeveel meisjes, enzovoort). Men waagde zich vervolgens ook aan voorspellingen hoe gezinnen in de toekomst samengesteld zullen zijn. Daarbij beperkten de onderzoekers zich tot een voorspelling over de gezinnen van vrouwen die geboren zijn in 1960. De resultaten staan in de tabel hieronder.

verwachte uiteindelijke gezinssamenstelling van vrouwen geboren in 1960
		% van alle vrouwen	% van vrouwen met kinderen
geen kinderen		18,5	-
1 kind (totaal)		15,2	18,7
	1 jongen 1 meisje	7,9 7,3	9,7 9,0
2 kinderen (totaal)		40,1	49,2
	2 jongens 1 jongen en 1 meisje 2 meisjes	10,1 20,9 9,1	12,4 25,6 11,2
3 kinderen (totaal)		18,2	22,3
	3 jongens 2 jongens en 1 meisje 1 jongen en 2 meisjes 3 meisjes	2,5 7,3 6,3 2,1	3,0 9,0 7,7 2,6
4 of meer kinderen (totaal)		8,0	9,8
	uitsluitend jongens uitsluitend meisjes	0,5 0,5	0,6 0,6

Een gezin met zowel jongens als meisjes noemt men een gemengd gezin.

10.

Hoeveel procent van alle in 1960 geboren vrouwen zal volgens de tabel uiteindelijk een gemengd gezin hebben? Licht je antwoord toe.

In de tabel staat in de rechterkolom het getal 18,7.

11.

Laat zien hoe dit getal afgeleid kan worden uit de gegevens in de kolom met het opschrift "% van alle vrouwen".

Neem in het vervolg van de opgave aan dat onder geboorte wordt verstaan de geboorte van één kind, dus geen twee- of meerlingen.

Uit bevolkingsstatistieken van Nederland en andere West-Europese landen vanaf de 18e eeuw is duidelijk dat er steeds iets meer jongens dan meisjes geboren worden. Daaruit is gebleken dat de kans op een jongen bij elke geboorte ongeveer 0,51 is.

In het verleden hebben velen gezocht naar de factoren die het krijgen van een jongen dan wel een meisje zouden kunnen beïnvloeden. Een van de factoren die mogelijk van belang zijn is de hormoonspiegel in het bloed van de ouders. Een aanwijzing hiervoor vormen de gegevens die men heeft verkregen over geboortes die tot stand kwamen na toediening van hormonen. Bij 900 van dergelijke geboortes kwam 412 keer een jongen ter wereld.

12.

Onderzoek of je op grond hiervan mag concluderen dat bij dergelijke geboortes de kans op een jongen kleiner is dan 0,51. Neem hierbij een significantieniveau van 1%.

Lentevoordeelweken

Een supermarkt houdt elk jaar in de lente een actie onder de naam 'Lentevoordeelweken'. Tijdens die actie ontvangt iedere klant bij ten minste 50 euro aan bodschappen twee krasloten. Op elk kraslot staat één vakje. Als men dat open krast wordt de afbeelding van een kievitsei, een lammetje, een narcis of een vogelverschrikker zichtbaar.
De klant moet direct aan de kassa, voordat hij de supermarkt heeft verlaten, de twee open gekraste krasloten inleveren. Wanneer op beide krasloten dezelfde afbeelding staat wint de klant een tegoedbon
De kans op een tegoedbon hangt af van de verdeling van de vier afbeeldingen over de krasloten.

Neem aan dat de vogelverschrikker op 10% van de krasloten voorkomt en de andere drie afbeeldingen elk op 30% van de krasloten. De krasloten liggen in willekeurige volgorde op een stapel bij de kassa.
Een klant heeft zojuist twee krasloten ontvangen.

13.

Bereken de kans dat de klant met deze twee krasloten een tegoedbon wint.

De eigenaar van de supermarkt wil niet te veel tegoedbonnen weggeven. Daarom onderzoekt hij of een andere verdeling van de afbeeldingen over de krasloten gunstiger is. Hij gaat er daarbij vanuit dat de vogelverschrikker met een kans k op de krasloten voorkomt en de andere drie elk met een kans (¹/₃) - (¹/₃)k. Daarmee kan hij uitrekenen hoe groot de kans is dat een klant met twee krasloten een tegoedbon wint. Die kans is gelijk aan:

14.

Toon aan dat de formule voor P(tegoedbon met twee krasloten) juist is.

Met behulp van deze formule kan de eigenaar nu onderzoeken voor welke waarde van k de kans op een tegoedbon zo klein mogelijk is.

15.

Voer dit onderzoek uit.

De eigenaar van de supermarkt overweegt de mogelijkheid om elke klant die tenminste 50 euro aan boodschappen besteedt niet twee, maar drie krasloten te geven. De klant wint dan een tegoedbon wanneer tenminste twee keer de vogelverschrikker op deze drie krasloten voorkomt.
Veronderstel dat de vier afbeeldingen in gelijke mate verdeeld zijn over de krasloten.

16.

Bereken de kans dat een klant in deze situatie een tegoedbon wint.

Aardbeien

Seizoensgebonden fruit en groenten zijn maar een beperkt deel van het jaar verkrijgbaar in de winkel. Aardbeien zijn daar een voorbeeld van. De prijs van aardbeien is afhankelijk van vraag en aanbod. Als er weinig aanbod is zullen liefhebbers van aardbeien meer willen betalen voor aardbeien: de prijs stijgt. Die hogere prijs zet aardbeientelers ertoe aan om een jaar later meer aardbeien op de markt te brengen: het aanbod is dan hoger. Dat leidt ertoe dat de prijs weer zakt. En zo zet dit proces zich voort.

Dit proces kan in een wiskundig model worden weergegeven:

Q_t^v= -2P_t + 40              (vraagvergelijking)
Q_t^a= c • P_{t -1} + d          (aanbodvergelijking)
Q_t^v = Q_t^a                      (evenwichtsvergelijking)

Hierin zijn Q_t^v en Q_t^a de gevraagde, respectievelijk de aangeboden hoeveelheden in het jaar t, uitgedrukt in miljoenen kg. P_t is de prijs per kg in jaar t, uitgedrukt in euro.

Neem eerst c = 1 en d = 10. Verder is gegeven dat P₀ = 4

17.

Bereken P₂.

In de figuur hieronder zijn de grafieken getekend die bij het beschreven model horen (met c = 1 en d = 10). In deze figuur staat de prijs langs de horizontale as en de hoeveelheid langs de verticale as.

18.

Teken in deze figuur de webgrafiek in het model van P₀ tot en met P₃.
Geef daarbij P₁, P₂ en P₃ op de P-as aan.

Het model zal uiteindelijk in de evenwichtsprijs stabiliseren. Bij die evenwichtsprijs hoort een evenwichtshoeveelheid.

19.

Bereken de evenwichtsprijs en de bijbehorende evenwichtshoeveelheid.

In de Europese Unie wil men maatregelen nemen om het aanbod beter te regelen. Doel van deze maatregelen is dat aardbeientelers op den duur een betere prijs krijgen voor hun product. Men streeft naar een evenwichtsprijs van 12 euro. Dit betekent voor het model dat de vraagvergelijking en de evenwichtsvergelijking niet veranderen. De aanbodvergelijking verandert echter wel: c en d hoeven niet meer gelijk te zijn aan 1 respectievelijk 10.

In het jaar dat de maatregelen van kracht worden is P = 6. Dit leidt in het jaar erop tot Q^a = 13.
Neem aan dat de evenwichtsprijs van 12 euro inderdaad bereikt gaat worden.

20.

Stel de nieuwe aanbodvergelijking op.

OPLOSSINGEN

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

De 'schuine' delen hebben een breedte van 15 cm, dus de vogel legt steeds 15 cm af.
De 'schuine' delen hebben een hoogte van 2,5 seconde dus de vogel loopt in 2,5 seconden 15 cm, dat is 6 cm/s.
De verticale delen hebben een lengte van 5 seconden dus de vogel staat steeds 5 seconden stil.

In 24 keer 180 seconden stilstaan is per keer 7,5 seconden.
Van de 420 seconden is 180 seconden stilgestaan dus 240 seconden gelopen.
Dat was per keer dus 10 seconden.
In 24 keer 480 cm afleggen is per keer 20 cm.

De grafiek moet cumulatief en in procenten. De stippen moeten bij het einde van de klassen.
De grafiek gaat dan door de punten: (1.5 , 6) (3 , 12.5) (5 , 25.25) (7 , 43.25) (10 , 73.75) en (15 , 96.75)
De laatste klasse is niet te tekenen.
De grafiek wordt goed een rechte lijn dus de gegevens zijn bij benadering normaal verdeeld.

Het gemiddelde μ is af te lezen bij 50% en is ongeveer 7,6 m en dat is 76 dm.
Bij 84% is μ + σ af te lezen. Dat is ongeveer 11,6 men dat is 116 dm Dus σ is ongeveer 116 - 76 = 40 dm.

Boomklevers: μ = 10,0 en σ = 4,0. NORMALCDF(6.0 , 8.0 , 10.0 , 4.0) = 0,149882...
Glanskoppen: μ = 4,5 en σ = 1,5 NORMALCDF(6.0 , 8.0 , 4.5 , 1.5) = 0,148839...
Dat is beide ongeveer 15%


5.	Als hout 50% is, dan is f_hout = 0,5 en dus ^f/_{(1 - f)} = ^0,1/_{(1 - 0,5)} = 1 Dat is gelijk aan 10⁰, en aflezen in de grafiek geeft ongeveer 1877

6.	Met de quotiëntregel: De noemer is een kwadraat en dus altijd positief, dus de gehele breuk is ook altijd positief. Als de afgeleide positief is, dan stijgt de grafiek dus neemt ^f/_(1-f) inderdaad alleen maar toe als f toeneemt.

7.	f_hout= (1 - f_hout)• 3,03 • 0,96^t ⇒ f_hout = 3,03 • 0,96^t - 3,03 • 0,86^t•f_hout ⇒ f_hout + 3,03•0,96^t• f_hout = 3,03 • 0,96^t ⇒ f_hout• (1+3,03 • 0,96^t) = 3,03 • 0,96^t ⇒ f_hout = 3,03 • 0,96^t/(1 + 3,03 • 0,96^t) en dat is de gezochte formule.

8.	Voer de gegeven formules voor f_olie en f_gas in in de GR. Maak de somformule Y3 = Y1 + Y2 (met VARS) en voer in Y4 = 0,25 Bereken met INTERSECT het snijpunt van Y3 en Y4. dat geeft t = 93,34 en dat komt overeen met het jaar 1943 (uiteraard kun je ook in één keer de formule voor f_olie + f_gasinvoeren)

9.	1^e opl.	Bij 3,5% stijging hoort een groeifactor 1,035. Per 20 jaar is dat 1,035²⁰ » 2 dus een verdubbeling. In de figuur is iedere volgende rechthoek inderdaad twee keer zo groot als de vorige.
	2^e opl.	In de figuur is iedere volgende rechthoek dubbel zo groot als de vorige. Dat betekent per 20 jaar dus een verdubbeling, dus een factor 2. Per jaar is dat dan 2^1/20 = 1,03526... en dat is inderdaad een groei van 3,5%.


13.	P(prijs) = P(KK of LL of NN of VV) = 0,3 • 0,3 + 0,3 • 0,3 + 0,3 • 0,3 + 0,1 • 0,1 = 0,28

14.	P(tegoedbon met twee krasloten) is: en dat is de gezochte formule.

15.	Als de kans minimaal is is de afgeleide nul. P' = (⁸/₃)k - (²/₃) Dat is nul als k = ¹/₄ (je kunt het minimum ook vinden door te zien dat P(k) een dalparabool is met de top bij -^b/_2a)

16.	Elke afbeelding komt dan op 25% van de loten voor. Twee vogelverschrikkers kan bijvoorbeeld door vogelverschrikker-vogelverschrikker-anders en de kans daarop is 0,25 • 0,25 • 0,75 = 0,046875 Maar er zijn drie mogelijke volgorden die dit opleveren dus de kans op 2 vogelverschrikkers is 3 • 0,046875 = 0,140625 Drie vogelverschrikkers heeft een kans van 0,25³= 0,015625 De totale kans van een prijs wordt daarmee 0,155875


17.	1^e opl.	Q₁^a = 1•4 + 10 = 14 Q₁^v = -2P₁ + 40 = 14 dus -2P₁ = -26 dus P₁ = 13 Q₂^a = 1•13 + 10 = 23 Q₂^v = -2P₂ + 40 = 23 dus -2P₂ = -17 dus P₂ = 8,5
	2^e opl.	Q_t^v = Q_t^a dus -2P_t + 40 = P_t-1 + 10 Dat geeft -2P_t = P_t-1 - 30 ofwel P_t = -0,5P_t-1 + 15 P₀ = 4 dan is P₁ = -0,5•4 + 15 = 13 en dan is P₂ = -0,5•13 + 15 = 8,5

18.

19.	Voor evenwicht geldt vraag = aanbod, dus -2P_t + 40 = P_t-1 + 10 Maar als P niet meer verandert (evenwicht) kunnen we ook wel stellen P_t = P_t-1 = P Dat geeft -2P + 40 = P + 10 en de oplossing daarvan is P = 10 (euro) Dat geeft Q^a = Q^v = -2•10 + 40 = 20 miljoen kg.


20.	P = 12 geeft bij evenwicht (P_{t - 1} = P_t) de vergelijking -2• 12 + 40 = c • 12 + d ofwel 16 = 12c + d P = 6 en Q = 13 geeft c • 6 + d = 13 ofwel d = 13 - 6c vul deze laatste in in de eerste vergelijking: 16 = 12c + 13 - 6c daaruit volgt 6c = 3 en c = 0,5 en dan is d = 13 - 6c = 13 - 6 • 0,5 = 10 de vergelijking is dan Q_t^a= 0,5 • P_t-1 + 10


10.	jongen + meisje: 20,9% 2 jongens + 1 meisje: 7,3% 2 meisjes + 1 jongen: 6,3% 4 of meer gemengd: 8,0 - 0,5 - 0,5 = 7,0% Samen is dat 41,5%

11.	Van alle vrouwen heeft 18,5% geen kinderen, dus 81,5% wel. Van deze 81,5% heeft 15,2% 1 kind. Hoeveel procent is 15,2 van 81,5? (15,2 / 81,5) • 100% = 18,65... = 18,7%


12.	H₀: de kans op een jongen is 51%: p = 0,51 H₁: de kans op een jongen is kleiner dan 51%: p < 0,51 Het is een eenzijdige p-toets. De meting gaf 412 van de 900 en die heeft een linker-overschrijdingskans van BINOMCDF(900, 0.51, 412) = 0,0009637... Dat is minder dan het significantieniveau (0,01) dus H₀ moet verworpen worden. Dus de conclusie is inderdaad gerechtvaardigd.