VWO WISKUNDE A12,  2003 - I
Levensduur van koffiezetapparaten
Enkele jaren geleden is onderzocht hoe lang nieuw aangeschafte koffiezetapparaten meegaan. Op basis daarvan is een kansmodel gemaakt zoals weergegeven in de figuur hieronder. Hierin is bijvoorbeeld te zien dat alle apparaten een half jaar na aanschaf nog in gebruik zijn. Ook is te zien dat voor een apparaat van 1,5 jaar oud de kans 0,97 is dat het een jaar later nog steeds in gebruik is, en dus de kans 0,03 dat het in dat jaar wordt afgedankt.
We passen dit model toe op een groep van 1500 nieuwe koffiezetapparaten. De levensduur van een apparaat is de tijdsduur tussen het aanschaffen en het afdanken van het apparaat. Uit de gegevens in de bovenstaande figuur volgt dat 187 van deze 1500 koffiezetapparaten een levensduur hebben tussen 2,5 en 3,5 jaar.
4p 1. Laat zien dat die berekening klopt.

 
Het bovengenoemde getal 187 vind je terug in de volgende tabel. De andere aantallen in deze tabel zijn op overeenkomstige wijze berekend.
levensduur
in jaren		 aantal
koffiezetapparaten
0,5 - 1,5
1,5 - 2,5
2,5 - 3,5
3,5 - 4,5
4,5 - 5,5
5,5 - 6,5
6,5 - 7,5
7,5 - 8,5
> 8,5		 15
45
187
313
376
305
163
81
15
7p 2. Verwerk de gegevens van deze tabel op normaal waarschijnlijkheidspapier en toon daarmee aan dat de levensduur bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,0 jaar en een standaardafwijking van 1,6 jaar.

 
We nemen voor de rest van deze opgave aan dat de levensduur van koffiezetapparaten normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,0 jaar en een standaardafwijking van 1,6 jaar.

Iemand heeft 9 jaar geleden zijn eerste koffiezetapparaat gekocht en nu, 9 jaar later, is net zijn derde koffiezetapparaat kapot gegaan. Hij gaat naar de winkel en moppert tegen de verkoper dat dit toch wel heel uitzonderlijk is.
De klant redeneert als volgt: "Drie koffiezetapparaten in 9 jaar, dat is drie jaar per apparaat. Je zou verwachten dat zo'n apparaat wel langer dan 3 jaar meegaat. De kans dat dit drie keer achter elkaar niet het geval is, is wel heel erg klein"
5p 3. Bereken de kans dat drie willekeurig gekozen koffiezetapparaten elk een levensduur van ten hoogste drie jaar hebben.

 
In de winkel worden ook espressoapparaten van het merk Pressa verkocht. De fabrikant beweert dat de helft van de Pressa-apparaten 8 jaar na aanschaf nog steeds in gebruik is. Maar de verkoper krijgt nogal wat klachten over deze apparaten en is dan ook van mening dat ze minder lang meegaan.
Op internet vindt hij de resultaten van een onderzoek naar de levensduur van Pressa-apparaten. Daaruit blijkt dat van de 50 onderzochte Pressa-apparaten er 31 een levensduur van minder dan 8 jaar hadden.
6p 4. Onderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding is om de bewering van de fabrikant te verwerpen. Neem een significantieniveau van 5%

 
Cocktails
Een cocktail is een drank die wordt gemaakt door enkele basisdranken te mengen. Zo bestaat de cocktail 'Apple Dream' voor 60% uit appelsap, voor 20% uit Amaretto en voor 20% uit Pisang Ambon.
Met deze drie basisdranken kunnen we veel meer cocktails maken door andere mengverhoudingen te gebruiken. Om al deze mengverhoudingen in kaart te brengen gebruikt men vaak een zogenaamd drie-componentendiagram. In de figuur hieronder zie je een afbeelding van zo'n drie-componentendiagram, met daarin een punt A. Dit punt hoort bij de cocktail ''Apple Dream'.
De cocktail 'Strong Apple' bestaat voor 20% uit appelsap, voor 30% uit amaretto en voor 50% uit Pisang Ambon.
3p 5. Teken in het diagram hierboven het punt dat hoort bij 'Strong Apple'. teken duidelijk de hulplijnen die je hebt gebruikt.

 
Een drankenfabrikant wil uit de drie genoemde basisdranken een cocktail maken. Om na te gaan welke winst hij kan behalen gebruikt hij de volgende gegevens:

basisdrank kosten per liter in euro's
appelsap 0,25
amaretto 4
pisang ambon 3


De fabrikant wil de cocktail gaan verkopen voor 7,50 euro per liter.

We geven het percentage appelsap waaruit de cocktail bestaat aan met x, het percentage amaretto met y en het percentage pisang ambon met z.
De winst in euro's die de drankenfabrikant maakt op 1 liter cocktail noemen we W. Voor W geldt de volgende formule:  W = 4,5 + 0,0275x - 0,01y
4p 6. Laat zien hoe deze formule voor W uit de gegevens kan worden afgeleid. 
Bedenk daarbij dat x + y + z = 100

 
De drankenfabrikant stelt wel enkele voorwaarden aan de cocktail die hij wil maken:
• de cocktail met voor minstens 16% uit pisang ambon bestaan.
• het percentage amaretto moet minstens even groot zijn als het percentage pisang ambon
• Het percentage appelsap maag hoogstens driemaal zo groot zijn als het percentage amaretto.

We kunnen deze drie voorwaarden als volgt vertalen:  z ≥ 16 ,  y ≥ z  en  y ≥ 1/3x

In de figuur hieronder zijn de twee grenslijnen z = 16 en  y = 1/3x getekend.
4p 7. Teken in deze figuur de ontbrekende grenslijn en geef het toegestane gebied aan.

 
De fabrikant wil weten bij welke mengverhouding van de basisdranken in de cocktail de winst per liter maximaal is en hoe groot deze winst is.
5p 8. Bereken deze mengverhouding en de winst per liter die de fabrikant bij deze mengverhouding behaalt.

 
Grondstofverbruik
Ongeveer 30 jaar geleden verscheen het 'Rapport van de Club van Rome'. Daarin wordt aandacht besteed aan het wereldwijd verbruik van veel grondstoffen. De schrijvers vreesden dat verschillende grondstoffen snel op zouden raken. Bij hun berekeningen hebben zij het begin van het jaar 1970 als uitgangspunt genomen.
Het rapport vermeldt dat begin 1970 de voorraad koper 313 miljoen ton was en dat in 1970 het jaarverbruik van koper 8,7 miljoen ton bedroeg.

De levensduur van de voorraad van een grondstof is het aantal jaren vanaf begin 1970 totdat de voorraad van deze grondstof is uitgeput. Daarbij gaan we ervan uit dat er in de tussentijd geen nieuwe voorraden worden ontdekt. Zo is volgens het rapport de levensduur van de voorraad chroom 420 jaar, wanneer je aanneemt dat het jaarlijks verbruik van chroom steeds even groot is als in 1970, namelijk 1,9 miljoen ton.

Als we aannemen dat in de jaren na 1970 ook het jaarlijks verbruik van koper steeds even groot is als dat in 1970 dan is de levensduur van de voorraad chroom veel groter dan die van de voorraad koper.
3p 9. Hoeveel keer zo groot is dan de levensduur van de voorraad chroom, vergeleken met die van de voorraad koper? Licht je antwoord toe met een berekening.

 
In werkelijkheid was er ook destijds al sprake van een toenemende vraag naar grondstoffen. In het rapport heeft men hier aandacht aan besteed. Zo veronderstelde men dat vanaf 1970 het verbruik van koper jaarlijks zou groeien met 5,8% en het verbruik van chroom jaarlijks met 3,3%
5p 10. Bereken in dat geval vanaf welk jaar het jaarverbruik van koper minstens 6 keer zo groot is als dat van chroom.

Wanneer het grondstofverbruik niet constant is maar jaarlijks groeit met een vast percentage wordt de levensduur van de voorraad korter. Deze nieuwe levensduur geven we aan met L*. Om L* te berekenen gebruikt men de volgende formule:

In deze formule is p het percentage waarmee het verbruik jaarlijks groeit en L de levensduur van de voorraad bij een constant jaarlijks verbruik.
3p 11. Bereken in welk jaar de voorraad chroom is uitgeput indien het verbruik vanaf 1970 jaarlijks met 3,3% groeit.
Over de grondstof aluminium staat in het rapport het volgende te lezen:

'Begin 1970 was de wereldvoorraad aluminium 1,19 • 109 ton. Bij een jaarlijkse groei van het verbruik met 6,1% zal deze voorraad uitgeput zijn in het begin van het jaar 2000'
6p 12. Bereken in welk jaar de aluminiumvoorraad uitgeput zou zijn indien het jaarverbruik vanaf 1970 constant was gebleven. Gebruik daarbij de formule voor L*.

Zoals hierboven al vermeld, was in 1970 het jaarverbruik van koper 8,7 miljoen ton. Verder ging men ervan uit dat het verbruik van koper vanaf 1970 jaarlijks zou groeien met 5,8%. Een formule voor het totale verbruik Tn (in miljoenen tonnen) in de eerste n jaren na 1 januari 1970 ziet er als volgt uit:
Tn = 150 • (1,058)n - 150
5p 13. Toon aan dat deze formule juist is voor iedere gehele waarde van n

 
Strike it rich
Bij het Engelse televisiespelletje Strike it rich speelt een deelnemer in de finale tien rondes. Bij elke ronde krijgt de deelnemer drie beeldschermen voor zich, waar nog niets op te zien is. De deelnemer moet willekeurig ้้n van deze beeldschermen kiezen. Nadat hij een scherm heeft aangewezen worden alle schermen zichtbaar. Op ้้n van de drie beeldschermen komt "Ga door" te staan, op een ander beeldscherm "Hot Spot" en op het derde beeldscherm "Vraag". Voor alle duidelijkheid: deze woorden worden op aselecte wijze op de beeldschermen geplaatst voordat de deelnemer kiest maar worden pas na zijn keuze zichtbaar voor hem.

Het is mogelijk dat een deelnemer in de tien rondes precies ้้n keer een beeldscherm met Vraag erop aanwijst.
3p 14. Bereken de kans dat dit het geval is. Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

 
De deelnemer kan bij elke ronde een strafpunt krijgen. Daarvoor gelden de volgende regels.
Wanneer er op het aangewezen scherm Ga door verschijnt gaat de deelnemer zonder strafpunt door naar de volgende ronde.
Wanneer op het aangewezen scherm Hot Spot verschijnt krijgt de deelnemer een strafpunt en gaat door naar de volgende ronde.
Wanneer er op het aangewezen scherm Vraag verschijnt krijgt de deelnemer een vraag gesteld die hij met Ja of Nee moet beantwoorden. Wanneer het antwoord fout is krijgt hij een strafpunt en gaat door naar de volgende ronde. Wanneer het antwoord goed is gaat hij zonder strafpunt door naar de volgende ronde.

Uit het bovenstaande volgt dat voor een deelnemer die alle vragen foutloos beantwoordt bij iedere ronde de kans op een strafpunt gelijk is aan 1/3.
Maar voor een deelnemer die de vragen puur op de gok beantwoordt is bij iedere ronde de kans op een strafpunt gelijk aan 1/2.
3p 15. Toon de juistheid van deze laatste kans met een berekening aan.

 
3p 16. Bereken voor deze gokkende deelnemer ook de kans dat hij in tien rondes hoogstens twee strafpunten krijgt. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

 
V๓๓r het begin van het spel moet de deelnemer kiezen of hij voor maximaal 2, maximaal 3 of maximaal 4 strafpunten speelt. Alle strafpunten die de deelnemer gedurende de tien rondes oploopt worden opgeteld. Als hij na tien rondes niet meer dan het gekozen aantal strafpunten heeft, krijgt hij een prijs, zoals vermeld inde volgende tabel (ฃ betekent Britse pond):

maximum aantal strafpunten
waarvoor de deelnemer speelt		 prijs als het totaal aantal strafpunten niet boven
het gekozen maximum aantal strafpunten uitkomt
2 ฃ 10000
3 ฃ 7000
4 ฃ 5000


Als een deelnemer bijvoorbeeld voor maximaal 3 strafpunten heeft gekozen en hij heeft na tien rondes 3 of minder strafpunten dan krijgt hij de geldprijs van ฃ 7000. Heeft hij 4 of meer strafpunten dan krijgt hij in dat geval niets.

Voor een deelnemer die alle vragen op de gok beantwoordt is de verwachtingswaarde van de geldprijs zo hoog mogelijk wanneer hij voor maximaal 4 strafpunten speelt. We vragen ons nu af hoe dat zit met een deelnemer die alle vragen foutloos beantwoordt.

6p 17. Onderzoek voor welk maximum aantal strafpunten deze deelnemer moet spelen om te zorgen dat de verwachtingswaarde van de geldprijs zo hoog mogelijk is.

 
Sportprestaties.
In de atletiek kent men verschillende onderdelen. De ene atleet is goed in hardlopen, de andere atleet in hoogspringen of speerwerpen. Iemand die de 100 meter binnen de 11 seconden loopt is een goede sprinter, terwijl iemand die met een polsstok hoger springt dan 5 meter een goede polsstokhoogspringer is. Men kan zich afvragen wie van de twee de betere atleet is. Om prestaties bij verschillende atletiekonderdelen te kunnen vergelijken hanteert de Koninklijke Nederlandse Atletiek Unie (KNAU) een puntensysteem. Met dit systeem worden sportprestaties omgerekend tot een aantal punten met behulp van verschillende formules. Vanzelfsprekend hoort bij een betere prestatie een groter aantal punten. Zie de volgende tabel.


Voor vrouwen hanteert de KNAU een vergelijkbare tabel.

In de tabel lezen we af dat voor hardlopen het behaalde aantal punten P wordt berekend met de formule P = a/t - b. Hierbij is t de tijd in seconden die de atleet nodig heeft om de afstand te lopen. De getallen a en b worden afgelezen in de betreffende kolommen.
Als een man de 100 meter in 10,70 seconden loopt, dan heeft hij daarmee 880,2 punten behaald.
3p 18. Bereken hoeveel seconden, in twee decimalen nauwkeurig, een man over de 400 meter moet doen om ook 880,2 punten te behalen.

 
Voor de spring- en werpnummers wordt door de KNAU de formule  P = a√r - b gebruikt. Hierin is r de gesprongen hoogte of afstand in meters of de geworpen afstand in meters. Zie de tabel.
De International Association of Athletics Federations (IAAF) kent ook een puntensysteem. Voor het berekenen van de punten gebruikt de IAAF andere formules dan de KNAU. Bij het speerwerpen voor mannen ziet de IAAF-formule er als volgt uit: P = 10,14 • (r - 7)1,08.
Wanneer we de formule van speerwerpen voor mannen van de KNAU met die van de IAAF vergelijken, dan blijkt dat voor sommige geworpen afstanden r de formule van de KNAU meer punten oplevert dan de formule van de IAAF.
5p 19. Onderzoek voor welke waarden van r dat het geval is.

 
De formules van de KNAU en van de IAAF die horen bij het speerwerpen voor mannen verschillen van elkaar. Dat maakt voor het aantal te behalen punten niet zoveel uit. Er is echter wel een opmerkelijk verschil tussen de grafieken van beide formules: de grafiek van de IAAF stijgt steeds sneller terwijl de grafiek van de KNAU steeds langzamer stijgt. Dat laatste geldt voor elke formule van de KNAU voor de spring- en de werpnummers.
Voor elke positieve waarde van a hoort bij de formule P = a√r - b een stijgende grafiek. De stijging van deze grafiek verloopt bovendien steeds minder snel naarmate r toeneemt.
7p 20. Toon deze laatste bewering aan door gebruik te maken van differenti๋ren.

 
OPLOSSINGEN
Het offici๋le (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. Van 22,5 jaar zijn er nog  1500 • 0,99 • 0,97 = 1440 apparaten
Van 3,5 jaar zijn er nog  1500 • 0,99 • 0,97 • 0,87 = 1253 apparaten
Tussen 2,5 en 3,5 jaar zijn dan  1440 - 1253  = 187 apparaten.
   
2.
levensduur
in jaren		 rechter klassengrens aantal
koffiezetapparaten		 aantal 
cumulatief		 percentage 
cumulatief
0,5 - 1,5
1,5 - 2,5
2,5 - 3,5
3,5 - 4,5
4,5 - 5,5
5,5 - 6,5
6,5 - 7,5
7,5 - 8,5
> 8,5		 1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
-		 15
45
187
313
376
305
163
81
15		 15
60
247
560
936
1241
1404
1485
1500		 1
4
16,5
37,3
62,4
82,7
93,6
99
100
   
De tweede kolom op de x-as en de laatste op de y-as uitzetten op het normaal-waarschijnlijkheidspapier  levert een (ongeveer) rechte lijn,  en daaruit volgt dat de gegevens normaal verdeeld zijn.
Bij 50% vinden we x = 5,0 en dat is het gemiddelde.
Bij 84% vinden we x = 6,6 en dat is het gemiddelde plus de standaardafwijking, dus de standaardafwijking is 6,6 - 5,0 = 1,6
   
3. De kans dat ้้n apparaat een levensduur van hoogstens 3 jaar heeft is:
normalcdf(0 , 3 , 5,0 , 1.6) = 0,1048
De kans dat alle drie de apparaten dat hebben is dan  0,10483 = 0,00115
   
4. H0:  p = 0,5  "de helft is na 8 jaar nog in gebruik"
H1:  p < 0,5  "minder dan de helft is na 8 jaar nog in gebruik"
p is hier dus de kans dat een willekeurig apparaat na 8 jaar nog in gebruik is.
De meting was  19 van de 50
De overschrijdingskans daarbij is  binomcdf(50 , 0.5 , 19) = 0,05946..
Dat is groter dan 5% dus H0 mag NIET verworpen worden.
Er is dus NIET voldoende aanleiding om de bewering van de fabrikant te verwerpen.
   
5.
   
6. W = 7,50 - (0,25x/100 + 4y/100 + 3z/100) = 7,50 - 0,0025x - 0,04y - 0,03z
Omdat x + y + z = 100 geldt  z = 100 - x - y
Dat geeft:  W = 7,50 - 0,0025x - 0,04y - 0,03 • (100 - x - y)
= 7,50 - 0,0025x - 0,04y - 300 + 0,03x + 0,03y
dus W = 4,5 + 0,0275x - 0,01y
   
7.
   
8. De hoekpunten van het toelaatbare gebied zijn (x,y,z):
(0,50,50) en  (0,16,84) en (60,20,20) en (63,21,16)
Het derde punt is gevonden door:  y = z en y = 1/3x dus  x + y + z = x + 1/3x + 1/3x = 12/3x =100
Daaruit volgt x = 60 en dus y = 20 en z = 20
Het laatste punt is gevonden door:  z = 84, dus x + y = 16. y = 1/3x dus  x + 1/3x = 16
Dat geeft x = 63 en y = 21
De winst in deze viert punten is achtereenvolgens 4 en  4,34 en  5,95  en  6,0225
De mengverhouding is dus 63% appelsap, 21% amaretto en 16% pisang ambon
De winst per liter is 6,0225 euro.
   
9. koper heeft levensduur  313/8,7 = 35,98
chroom heeft levensduur  420 jaar en dat is  420/35.98 = 11,7 keer zo groot.
   
10. Voor koperverbruik geldt  K = 8,7 • 1,058t
Voor chroomverbruik geldt  C = 1,9 • 1,033t
K = 6 • C geeft dan  8,7 • 1,058t = 11,4 • 1,033t
Op elkaar delen geeft  8,7/11,4 = (1.033/1,058)t  ofwel  0,76 = 0,976t
dus  t = log(0,76)/log(0,976) = 11,3 jaar.
Maar gewoon K en 6 • C plotten en INTERSECT gebruiken kan natuurlijk ook.....
Vanaf 1982 is het koperverbruik meer dan zes keer het chroomverbruik.
   
11. p = 3,3  en  L = 420  invullen geeft  L* = 81,7  dus dat zal in het jaar 2051 zijn.
   
12. L* = 30 en p = 6,1 invullen in de formule geeft:
30 = (230 • log(6,1L + 100) - 460)/6,1  ⇒  183 = 230 • log(6,1L + 100) - 460
 ⇒ 643 = 230•log(6,1L + 100)  ⇒  2,795... = log(6,1L + 100)  
 ⇒  6,1L + 100 = 102,795... = 624,67... ⇒ 6,1L = 524,67...  ⇒  L = 86,01...
Dus zou anders de voorraad in 2056 zijn uitgeput.
   
13. T = 8,7 + 8,7 • 1,058 + 8,7 • 1,0582 + 8,7 • 1.0583 + .....
Dit is een meetkundige rij met beginwaarde 8,7 en reden 1,058.
De eerste term is 8,7 en de volgende term (na n jaar) is  8,7 • 1,058n
De som van de eerste n termen is dan:
   
14. binompdf(10, 1/3 , 1) = 0,0867
of:  (1/3)1 • (2/3)9 • 10
   
15. P(strafpunt) = P(hot spot) + P(vraag ้n fout) = P(hot spot) + P(vraag) • P(fout)
= 1/3 + 1/3 • 1/2 = 1/2
   
16. binomcdf(10, 0.5 , 2) = 0,0547
   
17. Bij 2 strafpunten is de kans op een prijs binomcdf(10, 2/3 , 2) = 0,00305
de kans op geen prijs is dus  1 - 0,003048 = 0,996952
De verwachtingswaarde is dan  0 • 0,00695 + 10000 • 0,00305 = 30,48 pond

Bij 3 strafpunten is de kans op een prijs  binomcdf(10, 2/3 , 3) = 0,01966
de kans op geen prijs is dus 1 - 0,01966 = 0,98034
De verwachtingswaarde is dan 0 • 0,98034 + 0,01966 • 7000 = 137,63 pond

Bij 4 strafpunten is de kans op een prijs  binomcdf(10, 2/3 , 4) = 0,07656
de kans op geen prijs is dus 1 - 0,07656 = 0,92344
De verwachtingswaarde is dan 0 • 0,92344 + 0,07656 • 5000 = 382,82 pond

De deelnemer moet dus voor 4 strafpunten spelen.
   
18. 880,2 = 111960/t - 1433,5  ⇒  111960/t = 2313,7  ⇒  t = 111960/2313,7 = 48,39 seconden.
     
19. PLOT Y1 = 190,2 • √X - 711,3  en  Y2 = 10,14 • (X - 7)1,08
Dat geeft de plot hiernaast.(window [0,80] ื [0,1000])
INTERSECT levert de snijpunten X = 23,27 en X = 67,38
Tussen 23,27 en 67,38 meter levert de KNAU meer punten dan de IAAF.
   
20.
Als r toeneemt neemt √r ook toe, maar omdat √r in de noemer staat neemt P' dus af.