VWO WA12, 2005 - II
Meer neerslag
De laatste tijd komen er steeds meer aanwijzingen dat het klimaat op aarde verandert. Dit heeft onder andere gevolgen voor de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland. Om een indruk te krijgen van die jaarlijkse hoeveelheid neerslag zijn in de volgende tabel gegevens van vijf meetstations in de periode 1905-1998 weergegeven.

Gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag gedurende de periode 1905-1998

  De Bilt Gemert Volkel Leeuwarden Hoofddorp Winterswijk
gemiddelde (mm) 783 711 753 768 768
standaardafwijking (mm) 139 123 106 127 136
We nemen aan dat de jaarlijkse hoeveelheid neerslag bij elk van de meetstations normaal verdeeld is.

We bekijken de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt. Weerkundigen veronderstelden tot voor kort dat dergelijke kansen in de loop van de jaren niet veranderen.

Op grond van het bovenstaande kunnen we nagaan of deze kans in Winterswijk groter is dan in Hoofddorp zonder deze kans uit te rekenen.
4p

1.

 Geef aan in welk van beide plaatsen de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt het grootst is. Motiveer je antwoord zonder daarbij deze kans uit te rekenen.

 
3p

2.

 Bereken de kans dat in een jaar in Leeuwarden meer dan 950 mm neerslag valt.

 
Zoals gezegd veronderstelden weerkundigen tot voor kort dat kansen op bepaalde hoeveelheden neerslag in de loop van de jaren niet veranderen. Inmiddels is men tot het inzicht gekomen dat er sprake is van een trend: de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland neemt langzaam toe. In onderstaande figuur is voor elk jaar de gemiddelde hoeveelheid neerslag van de vijf meetstations met ene blokje aangegeven. Bovendien is daarbij de zogenaamde trendlijn getekend. De trendlijn volgt zo goed mogelijk de gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag. De trendlijn kan gebruikt worden om een schatting te maken van de te verwachten hoeveelheid neerslag in de komende jaren.

We veronderstellen dat de te verwachten jaarlijkse hoeveelheid neerslag N in mm in de toekomst lineair zal blijven toenemen. N kan dan worden geschreven als een functie van het aantal jaren t dat is verstreken vanaf 1900.
5p

3.

 Stel een formule op voor N en bereken daarmee in welk jaar de hoeveelheid neerslag volgens de trendlijn voor het eerst groter zal zijn dan 850 mm.

 
Er zijn ook andere manieren om te onderzoeken of het gedurende de afgelopen eeuw 'natter' is geworden. We kunnen kijken naar de 5 'natste' jaren. Deze zijn in de grafiek hierboven af te lezen, namelijk 1961, 1965,  1966,  1994 en 1998. Het blijkt dat de 5 'natste' jaren allemaal na 1851 vielen, dus in de tweede helft van de periode 1905-1998.
Stel dat je 5 jaren willekeurig kiest uit deze periode van 94 jaar. De kans dat je uitsluitend jaren uit de tweede helft van de periode kiest is klein.
4p

4.

 Bereken deze kans. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

 
Een andere maat voor de 'natheid' van een jaar is het aantal maanden van dat jaar dat de neerslag boven een bepaalde waarde, de grenswaarde, komt. Die grenswaarden zijn 30, 40, 50, ..., 130 mm. Met de gegevens over de periode 1905-1998 is de volgende tabel gemaakt.

Gemiddeld aantal maanden per jaar met grenswaardenoverschrijding.

grenswaarde
neerslag (mm)		 >30 >40 >50 >60 >70 >80 >90 >100 >110 >120 >130
gemiddeld aantal
maanden per jaar		 10,2 9,2 7,9 6,5 5,4 3,8 2,7 1,9 1,4 1,1 0,6
Uit deze tabel lezen we bijvoorbeeld af dat het aantal maanden per jaar waarin meer dan 60 mm neerslag viel, gemiddeld 6,5 bedroeg.
Men spreekt van een extreem nat jaar als meer dan 9 van deze grenswaarden vaker worden overschreden da de overeenkomstige waarde in deze tabel.

De gegevens van De Bilt over 2001 zijn weergegeven in de volgende tabel.
maand jan feb mrt apr mei juni juli aug sep okt nov dec
neerslag (mm) 71 89 74 87 29 54 87 116 211 41 85 94
4p

5.

 Onderzoek of 2001 voor De Bilt een extreem nat jaar was.
Breedte van wegen.
In de jaren vijftig deed de Amerikaan D.L. Gerlough onderzoek naar de voetgangersveiligheid van wegen. Als er veel verkeer over een weg gaat, is er voor voetgangers weinig gelegenheid om veilig over te steken.
Daarom stelde Gerlough de zogenaamde 'veilige norm' op. Een weg voldoet aan deze veilige norm wanneer er zich gemiddeld elke minuut een gelegenheid voordoet om veilig over te steken. Dat lukt alleen als het aantal auto's dat per uur passeert onder een maximum blijft. Dit maximum geven we hier aan met Nmax en is afhankelijk  van de breedte van de weg. Bij een brede weg duurt het oversteken langer dan bij een smalle weg. Voor wegen die voldoen aan de veilige norm betekent dit dat er bij een brede weg per uur minder auto's mogen passeren dan bij een smalle weg. Gerlough kwam tot de volgende formule:

In deze formule is B de breedte van de weg in meters.

Vanzelfsprekend is deze formule een model van de werkelijkheid. Met behulp van dit model kunnen we enig inzicht krijgen in de veiligheid bij de aanleg van wegen.

Over een weg passeren in de spits 800 auto's per uur.
3p

6.

 Bereken in decimeters nauwkeurig hoe breed deze weg ten hoogste mag zijn zonder dat de veilige norm wordt overschreden.

 
Bij een brede weg duurt het oversteken langer dan bij een smalle weg. Voor wegen die voldoen aan de veilige norm betekent dit dat er bij een brede weg per uur minder auto's mogen passeren dan bij een smalle weg. De grafiek van Nmax moet dus dalend zijn. De formule voor Nmax moet hiermee in overeenstemming zijn.
4p

7.

 Leg uit hoe je uitsluitend aan de hand van de formule voor Nmax - dus zonder gebruik te maken van de GR - kunt beredeneren dat hier sprake is van een dalende functie.

 
Een weg die voldoet aan de veilige norm wordt 0,50 meter breder gemaakt. Volgens de formule neemt  Nmax daardoor met 126 af.
5p

8.

 Onderzoek met behulp van de GR hoe breed de weg oorspronkelijk was. Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.

 
Leugendetector
In het tijdschrift Nature stond enige tijd geleden een artikel waarin de werking van een leugendetector werd uitgelegd. Iemand die liegt krijgt een nauwelijks waarneembaar ´blosje´ in het gezicht. De leugendetector probeert dit blosje waar te nemen. Volgens het artikel is de leugendetector een belangrijk hulpmiddel om na te gaan of iemand liegt. Met de leugendetector zijn veel experimenten uitgevoerd. Daaruit is gebleken dat de leugendetector niet altijd foutloos werkt. Zo wordt in slechts 75% van de gevallen een leugenaar daadwerkelijk als leugenaar herkend.
We nemen aan dat voor iedere leugenaar geldt dat de kans dat deze correct als leugenaar herkend wordt gelijk is aan 0,75.
4p

9.

 Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat de leugendetector bij 200 leugenaars 40 of meer fouten maakt.

 
Ook bij eerlijke mensen (mensen die niet liegen) werkt de leugendetector niet altijd foutloos. Gemiddeld blijkt de leugendetector 1 van de 12 eerlijke mensen toch als leugenaar te bestempelen.
We bekijken een groep van 100 personen,  bestaande uit 40 leugenaars en 60 eerlijke mensen. Je kunt narekenen dat de leugendetector naar verwachting bij 85 personen uit deze groep de juiste conclusie zal trekken. Men spreekt in dit geval van een betrouwbaarheid van 85% voor deze groep.

De betrouwbaarheid hangt af van de samenstelling van de groep. Wanneer we een groep van 100 personen nemen met daarin 16 leugenaars, krijgen we een andere waarde voor de betrouwbaarheid.
3p

10.

 Bereken hoe groot de betrouwbaarheid dan is.

 
Naarmate er in verhouding minder leugenaars in een groep zitten zal de betrouwbaarheid van de leugendetector toenemen. In een groep van 100 personen is de betrouwbaarheid van de leugendetector 87%.
4p

11.

 Bereken het aantal leugenaars in deze groep.

 
De leugendetector kan ook worden ingezet bij grootscheepse controles, zoals op vliegvelden. Daar moeten alle passagiers antwoord geven op de vraag of ze iets hebben aan te geven. Niet iedereen antwoordt naar waarheid.

Van alle passagiers in een bepaalde regio antwoordt 0,4% niet naar waarheid zodat de betrouwbaarheid van deze leugendetector in die regio 91,6% is. De autoriteiten van een vliegveld in de regio overwegen deze leugendetector te gaan gebruiken maar vinden de betrouwbaarheid van 91,6% nog te laag. Iemand beweert een nieuwe versie te kunnen leveren die beter werkt. Daarmee bedoelt hij dat de kans op een juiste beslissing bij zijn leugendetector hoger is dan 0,916. Men besluit dit apparaat in deze regio te gaan testen. Bij de test geeft het apparaat in 834 van de 900 gevallen een juiste beslissing.
6p

12.

 Ga na of dit resultaat bij een significantieniveau van 5% voldoende aanleiding geeft om de conclusie te trekken dat deze nieuwe versie van de leugendetector beter werkt.

 

 

Pareto-krommen
In een fabriek worden printplaatjes voor mobiele telefoons geproduceerd. Alle printplaatjes worden gecontroleerd voordat ze de fabriek verlaten. Afgekeurde printplaatjes worden vernietigd. Bij een controle is een maand lang genoteerd wat de oorzaak is van het afkeuren, zie onderstaande tabel. We gaan ervan uit dat andere maanden hetzelfde beeld vertonen.
In principe zijn al deze oorzaken te verhelpen door verbeteringen in het productieproces. Dat brengt wel de nodige kosten met zich mee. In de tabel is bij elke oorzaak aangegeven wat de maandelijkse kosten zijn om deze oorzaak te verhelpen.
Onderzoek van afgekeurde printplaatjes gedurende de maand mei.
oorzaak aantal afgekeurde
printplaatjes		 kosten in  euro per
maand om oorzaak
te verhelpen.
losse soldeerverbinding 852 2200
kortsluiting 511 3600
barst in plaat 295 300
verbogen aansluitpunten 141 1500
gaten te wijd 117 900
plaat krom 61 500
printpatroon verschoven 38 4400
condensator verkeerd om 25 60
plaat te breed 13 500
corrosie 3 1800
totaal 2056 15760
Door 15760 euro per maand te investeren zou men alle 2056 afkeuringen kunnen voorkomen. Wanneer men slechts een deel van dit bedrag wil investeren is het verstandig te beginnen met de oorzaak waarbij de vermindering van het aantal afkeuringen per geïnvesteerde euro het grootst is, vervolgens de oorzaak waarbij de vermindering van het aantal afkeuringen per geïnvesteerde euro het op één na grootst is, enzovoorts. In onderstaande figuur zijn de oorzaken op deze wijze geordend. Langs de horizontale as staan de cumulatieve kosten per maand om de oorzaken te verhelpen, langs de verticale as staat de cumulatieve vermindering van het aantal afkeuringen. Een dergelijke kromme heet een Pareto-kromme.

5p

13.

 Toon aan dat de volgorde van de oorzaken 'kortsluiting' en 'gaten te wijd' in deze figuur in overeenstemming is met de gegevens uit de tabel.

 
Om Pareto-krommen bij verschillende productieprocessen te kunnen vergelijken, noteren we de kosten op de horizontale as als percentage van de totale kosten om álle afkeuringsoorzaken te verhelpen. En de aantallen afkeuringen op de verticale as noteren we als percentage van het totale aantal afkeuringen. In onderstaande figuur zijn enkele van zulke krommen getekend.

Kromme I gaat door het punt (20,80). Dat betekent dat met 20% van de totale benodigde kosten 80% van de afkeuringen te voorkomen is. Deze kromme heet een (20,80)-kromme. Kromme II is een (10,90)-kromme.
Elke Pareto-kromme is op deze wijze aan te duiden als (a,b)-kromme met a + b = 100.
4p

14.

 Schets in deze figuur een (40,60)-kromme.
In de figuur die bij de printplaatjes hoorde zijn geen percentages gebruikt. Toch kunnen we ook de grafiek van deze figuur als een (a,b)-kromme aanduiden met a + b = 100.
4p

15.

 Welke aanduiding hoort bij de Pareto-kromme in deze figuur? Licht je antwoord toe.

 
Bij de volgende vraag kijken we niet meer naar percentages, maar naar kosten in euro. Bij een bepaald productieproces heeft men voor de bijbehorende Pareto-kromme het volgende wiskundige model gemaakt:
B = 2500 • K0,2

Hierbij stelt K de cumulatieve kosten in euro voor om de verschillende afkeuringsoorzaken te verhelpen, en B de cumulatieve besparing in euro door de bijbehorende vermindering van het aantal afkeuringen.

Met dit model is te berekenen dat een investering van bijvoorbeeld 600 euro in het verhelpen van mankementen een besparing oplevert van bijna 9000 euro. Maar als er 800 euro wordt geïnvesteerd, is de besparing ruim 9500 euro. De keuze K = 800 is dus voor het bedrijf gunstiger dan de keuze K = 600. De extra besparing van 500 euro is namelijk groter dan de extra investering van 200 euro. Het is dus hele verstandig om die extra investering te doen.
Een verhoging van de investering van bijvoorbeeld 3000 naar 3300 euro levert echter een extra besparing op van minder dan 300 euro. Het is dan dus niet meer verstandig die extra investering te doen.
De beste keuze van K in dit verband is daar waar het verschil tussen de besparing en de investering het grootst is. Deze waarde van K kan worden gevonden met behulp van het opstellen van de afgeleide van B - K.
5p

16.

 Stel deze afgeleide op en bereken daarmee welke keuze van K de beste is.

 

 

Veel zalm.
De bioloog W. Ricker heeft veel onderzoek gedaan naar zalm in Canadese rivieren. Jaarlijkse tellingen hebben uitgewezen dat de omvang van de zalmpopulatie sterk fluctueert. Zo komt het voor dat de omvang van de populatie na een jaar meer dan verdubbeld is. weer een jaar later is de omvang dan weer meer dan gehalveerd.
Ricker ontwikkelde rond 1955 een model dat goed bruikbaar is om dit verschijnsel te beschrijven. In deze opgave bestuderen we het model:
P(t + 1) = 9 • P(t) • 0,99P(t)    met beginwaarde P(0)

In deze recursievergelijking is t het aantal jaren na 1984 (het tijdstip t = 0 komt dus overeen met 1 januari 1984) en is P(t) het aantal zalmen in duizendtallen aan het begin van het betreffende jaar.

We nemen P(0) = 25.
4p

17.

 Bereken met hoeveel procent de omvang van de zalmpopulatie volgens dit model is gedaald tussen begin 1986 en begin 1987.

 
In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van 
y = 9x • 0,99x .
Ook is de grafiek van y = x getekend.

In dengrafiek zie je dat het model twee evenwichtswaarden heeft. Eén ervan is P(t) = 0

3p

18.

 Bereken de tweede evenwichtswaarde

 
Als we voor de beginwaarde de evenwichtswaarde kiezen dan zal de rij P(0), P(1), P(2), ... steeds dezelfde (evenwichts)waarde hebben.
Een evenwichtswaarde noemen we stabiel als bij keuzes van de beginwaardes dicht in de buurt van de evenwichtswaarde geldt: de rij P(0), P(1), P(2),... nadert tot die evenwichtswaarde.
5p

19.

 Onderzoek met een webgrafiek in de figuur of de tweede evenwichtswaarde van het model stabiel is.
De ontwikkeling van de populatie volgens dit model hangt af van de beginwaarde P(0). Het is mogelijk deze beginwaarde zo te kiezen dat dat de populatie al direct het volgende jaar zijn maximale omvang bereikt.
3p

20.

 Bereken bij welke beginwaarde dit het geval is.

 
Als we weer uitgaan van 25 duizend zalmen (dus P(0) = 25), zal het aantal zalmen een jaar later 175 duizend zijn (dus P(1) = 175) Wanneer men in de volgende jaren telkens in het begin van het jaar 150 duizend zalmen vangt, zal zich telkens dezelfde situatie voordoen: het model geeft 25 duizend zalmen aan het begin van het jaar en 175 duizend zalmen aan het eind van het jaar. We zeggen daarom dat de beginwaarde P(0) = 25 ruimt biedt om elk jaar 150 duizend zalmen te vangen want P(1) = P(0) + 150.
Er is nog een beginwaarde die ruimte biedt om elk jaar 150 duizend zalmen te vangen.
4p

21.

 Onderzoek welke andere waarde van P(0) eveneens ruimte biedt om elk jaar 150 duizend zalmen te vangen.

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De kans is in Winterswijk groter. Beide klokvormen hebben hetzelfde gemiddelde, maar de standaardafwijking is in Winterswijk groter, dat betekent dat de waarden van Winterswijk gemiddeld verder van het midden af zullen liggen, dus zullen er ook meer waarden boven de 950 liggen.
2. normalcdf(950, 10000..., 753, 106) ≈ 0,0315
3. De lijn gaat door ongeveer  (0, 720) en (1000, 800)
De helling is dan  (800 - 720)/(1000 - 0) = 0,08
De vergelijking wordt N = 0,08t + b  en de beginwaarde n is 720.
Dat geeft  N = 0,08t + 720
4. In de tweede helft zitten 500 jaren, dus de kans wordt:
500/1000 • 499/999 • 498/998 • 497/997• 496/996 ≈ 0,0309
5. Voor 2001 geldt deze tabel:
grenswaarde
neerslag (mm)		 >30 >40 >50 >60 >70 >80 >90 >100 >110 >120 >130
gemiddeld aantal
maanden per jaar		 10,2 9,2 7,9 6,5 5,4 3,8 2,7 1,9 1,4 1,1 0,6
aantal keer
overschreden in 2001		 11 11 10 9 9 7 3 2 2 1 1

10 keer (blauwe getallen) wordt de waarde in de tabel overschreden, dus is 2001 een extreem nat jaar geweest.
6. Y1 = 8289,3/X • (1,778 - logX)  en Y2 = 800
window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 30,  Ymin = 0,  Ymax = 1000
intersect levert X ≈  8,6921 dus dat is ongeveer 869 centimeter
7. Als B groter wordt, wordt logB ook groter, dus wordt 1,778 - logB kleiner. Dus het deel (1,778 - logB) zorgt ervoor dat N kleiner wordt als B groter wordt.
Als B groter wordt, en je deelt door B, dan deel je door een groter getal, en wordt de uitkomst dus kleiner. Dus ook het delen door B zorgt ervoor dat N kleiner wordt als B groter wordt.
8. 8289,3/(X + 0,5) • (1,778 - log(X + 0,5)) =   8289,3/(X) • (1,778 - log(X)) - 126
window bijv.  Xmin =5,   Xmax = 10,  Ymin = 500,  Ymax = 2000
intersect levert  X ≈ 6,5005 dus ongeveer 65 dm.
9. binomiaal verdeeld met n = 200, p = 0,25
P(X ≥ 40) = 1 - P(X ≤ 39) = 1 - binomcdf(200, 0.25, 39) ≈ 0,9594
10. van de 16 leugenaars zullen  0,75 • 16 = 12 gevallen goed worden beoordeeld
van de 84 eerlijke mensen zullen 11/12 • 84 = 77 gevallen goed worden beoordeeld.
In totaal worden 12 + 77 = 89 gevallen goed beoordeeld dus is de betrouwbaarheid 89%
11. Stel dat er x leugenaars zijn, dus 100 - x eerlijke mensen.
Dan zullen  0,75x + 11/1 2 • (100 - x) gevallen goed worden beoordeeld, en dat moet gelijk zijn aan 87
0,75x - 11/12x + 11/12•100 = 87
2/12x = 42/3.
x = 28, dus 28 leugenaars.
12. H0:  p = 0,916
H1:  p > 0,916  (éénzijdige toets)
 α = 0,05
meting:  834 van de 900
overschrijdingskans  P(X ≥ 834 met n = 900 en p = 0,916) = 1 - P(X ≤ 833)
= 1 - binomcdf(900, 0.916, 833) =  0,136
Dat is (veel) groter dan 0,05 dus er is NIET voldoende aanleiding te concluderen dat deze nieuwe versie beter werkt.
13. kortsluiting: 3600 euro voor 511 gevallen. is per euro  511/3600 = 0,14 gevallen
gaten te wijd:  900 euro voor 117 gevallen is per euro   117/900 = 0,13 gevallen
gaten te wijd levert minder per euro op, dus komt later.
14.
15. De lijn van 100% afkeuringen naar 100% kosten loopt van (0,2056) naar (15760,0)
Snijdt de getekende kromme ongeveer in het punt (4950, 1450)
dat is 4950/15760 • 100% = 31%  en  1450/2056 • 100% = 70%
Daarom is dit een  (30,70)-kromme
16. (B - K)' = 2500 • 0,2  K-0,8 - 1 = 500K-0,8 - 1
(B -K)' = 0  ⇒  500K-0,8 = 1  ⇒    K-0,8 = 0,002  ⇒  K ≈ 2364,35
17. P(1) = 9 • 25 • 0,9925 = 175,00 begin 1985
P(2) = 9 • 175 • 0,99175 = 271,28  begin  1986
P(3) = 9 • 271,28 • 0,99271,28 = 159,80  begin 1987
Het daalt met 271,28 - 159,80 = 111,48 en dat is 111,48/271,28 • 100% = 41%
18. x = 9x • 0,99x  ⇒  x = 0  ∨  1 = 9 • 0,99x
De tweede geeft  0,99x = 1/9  ⇒   x = log(1/9)/log(0,99) ≈ 218,62
19. Hiernaast zie je met een voorbeeld dat het tweede evenwichtspunt niet stabiel is.

De rode lijnen verwijderen zich van het snijpunt.

20. Y1 = 9x0.99x  en dan calc - maximum geeft een maximum bij x = 99,50
P(0) = 99,50 geeft dus direct voor P(1) het maximum.
21. dan moet gelden P(X) = X + 150
Y1 = X + 150 en Y2 = 9x0.99x
intersect levert X = 149,48