VWO WA12, 2005 - II
Zonnebloemen.
Zonnebloemen zijn snelgroeiende planten die vaak worden gebruikt voor de productie van olie. Om zicht te krijgen op het groeiproces van zonnebloemen, worden regelmatig metingen gedaan. Bij een experiment is van een zonnebloem gedurende twintig weken elke week de lengte gemeten. Het resultaat van deze metingen is in onderstaande figuur met stippen weergegeven.

In deze figuur zie je ook een globale grafiek die de groei van de zonnebloemengoed benadert. Bij die grafiek hoort de volgende formule:

In deze formule is L(t) de lengte van de zonnebloem in centimeters en t de tijd in weken vanaf het begin van de metingen.

In de figuur kun je zien dat de grafiek van L nadert naar een grenswaarde. Verder verloopt de groei volgens de formule van L in het begin bij benadering exponentieel. Dit noemen we de exponentiële fase. Deze exponentiële fase duurt tot L de helft van zijn grenswaarde bereikt heeft.
3p

1.

 Bereken de groeifactor per week voor de eerste week.

 
5p

2.

 Bereken tot welke waarde van t de exponentiële fase duurt.

 
De lengte van een zonnebloem kan ook goed beschreven worden met een recurrente betrekking. Deze recurrente betrekking voor de lengte Ht van de zonnebloem ziet er als volgt uit:

De formule van L(t) en de betrekking voor Ht zullen niet precies dezelfde uitkomsten geven.
4p

3.

 Bereken hoe groot het verschil is tussen beide uitkomsten voor t = 9.

 
Bij de recurrente betrekking kunnen we een webgrafiek tekenen. De grafiek die je daarvoor nodig hebt staat in de volgende figuur.

De formule die bij deze grafiek hoort is van de vorm  y = ax2 + bx. De waarden van a en b kunnen worden berekend met behulp van de recurrente betrekking voor H0.
3p

4.

 Bereken de waarden van a en b

 
Na 8 weken is de zonnebloem 90 cm lang.
5p

5.

 Teken in bovenstaande figuur de webgrafiek vanaf t = 8. Gebruik deze webgrafiek om te bepalen hoeveel weken later de lengte van de zonnebloem voor het eerst meer dan 3 meter is.
Macht.
Sinds 1 mei 2004 bestaat de Europese Unie uit 25 landen. In de Raad van Ministers heeft elk land één zetel. In deze raad worden veel beslissingen genomen. Daarbij heeft niet elk land evenveel stemmen. Zo heeft Frankrijk 29 stemmen, Nederland 13 stemmen en Denemarken 7 stemmen. Op deze wijze beschikken de 25 landen samen over 321 stemmen. Een land stemt óf voor óf tegen en kan zich dus niet van stemming onthouden of met een deel van zijn stemmen vóór en een ander deel tegen stemmen.
Vaak worden beslissingen genomen bij meerderheid van stemmen. Dat betekent dat een voorstel alleen wordt aangenomen als meer dan de helft van de stemmen voor dat voorstel is. Dan kan het gebeuren dat de stemmen van Nederland de doorslag geven bij het welk of niet aannemen van het voorstel. Dat is bijvoorbeeld het geval wanneer van de overige landen 152 stemmen voor zijn en 156 stemmen tegen.
3p

6.

 Bereken bij welke aantallen voorstemmen van de overige landen de stemmen van Nederland de doorslag geven om een meerderheid voor een voorstel te krijgen.

 
Bij een stemming kan dus één van de partijen soms de doorslag geven. Hoeveel invloed een partij bij de stemming heeft geven we aan met de machtsindex (mi).
Aan de hand van een voorbeeld laten we zien hoe je die kunt uitrekenen.
We gaan uit van drie partijen A, B en C. Partij A heeft 6 stemmen, partij B heeft 4 stemmen en partij C heeft 3 stemmen. Zij beslissen over een voorstel bij meerderheid van stemmen. Eén van de mogelijkheden is de volgende: A stemt voor, B stemt voor en C stemt tegen.
Deze mogelijkheid noteren we met (V, V, T)
We gaan nu de machtsindex van één van deze partijen, partij B, berekenen. Daarvoor kijken we alleen naar de mogelijkheden waarbij deze partij voor stemt. Dat levert de volgende mogelijkheden op:
mogelijkheid I (V, V, V)
mogelijkheid II (V, V, T)
mogelijkheid III (T, V, V)
mogelijkheid IV (T, V, T)
Omdat de partijen samen 13 stemmen hebben, zijn er minstens 7 stemmen nodig voor een meerderheid. Bij de mogelijkheden I, II en III is er een meerderheid voor het voorstel. Bij de mogelijkheden II en III zijn de 4 voorstemmen van B onmisbaar om een meerderheid te realiseren.
Bij mogelijkheid I zou die meerderheid ook behaald zijn als B niet voor zou stemmen.
Bij mogelijkheid IV is er geen meerderheid.
Omdat de stemmen van B bij 2 van de 4 mogelijkheden doorslaggevend zijn, zeggen we:
De machtsindex van B is  2/4 = 1/2.
We gebruiken dus de volgende definitie van de machtsindex van een partij:

Wanneer er sprake is van vier partijen zijn er meer mogelijkheden. We nemen de volgende situatie: partij A heeft 7 stemmen, partij B heeft 4 stemmen, partij C heeft 4 stemmen en partij D heeft 2 stemmen.
Ook nu beslissen de partijen bij meerderheid van stemmen.
6p

7.

 Bereken de machtsindex van A in deze nieuwe situatie.

 
De verdeling van de stemmen kan tot vreemde situaties leiden wanneer er één partij is met weinig stemmen.
Er zijn 3 partijen. Partij A heeft 6 stemmen,  partij B 4 stemmen en partij C slechts 1 stem. De partijen B en C stellen nu een nieuwe verdeling voor waarbij A en B elk 5 stemmen hebben en C nog steeds 1 stem. Het aantal stemmen van C is dan weliswaar niet groter geworden, maar de machtsverhoudingen zijn wel veranderd.
6p

8.

 Toon dit aan door in beide situaties de machtsindex van elk van de drie partijen te berekenen.

 
We nemen nu een situatie met vijf partijen A, B, C, D en E.
Partij A heeft 3 stemmen en de overige partijen hebben elk 1 stem.
6p

9.

 Onderzoek of de machtsindex van partij A meer dan drie maal zo groot is als de machtsindex van B.

 
De wet van Benford.
In 1881 ontdekte Simon Newcomb een bijzondere eigenschap van sommige reeksen getallen. Hij keek steeds naar het begincijfer van de getallen in zo´n reeks en constateerde dat daarbij lage begincijfers veel vaker voorkomen dan hoge begincijfers.
Een voorbeeld van zo´n reeks getallen zijn de beurskoersen die elke dag in de krant verschijnen. De lijst met beurskoersen van vrijdag 10 september 2004 begon met de getallen:

17,75   9,15   5,30   28,07   11,02   6,66   39,67   18,73   1,59   1,53   24,29   41,00
20,37   42,31   6,32   5,03   26,08   19,33   10,77   19,39   50,15   1,54   21,86   13,64

Je kunt hier bijvoorbeeld zien dat bij deze reeks getallen het begincijfer 1 veel vaker voorkomt dan het begincijfer 6 (tien keer tegen twee keer)

In 1938 deed Frank Benford uitgebreid onderzoek naar dit verschijnsel. Hij bekeek onder andere de wateroppervlakte van een groot aantal rivieren. Het resultaat van zijn onderzoek vind je in de volgende tabel:

wateroppervlakte van rivieren.
begincijfer 1 2 3 4 5 6 7 8 9
frequentie 104 55 36 38 24 29 18 14 17
Je ziet dat lage begincijfers vaker voorkomen dan hoge.
3p

10.

 Bereken in hoeveel procent van de waarnemingen in deze tabel het begincijfer 1, 2 of 3 is.

 
Het blijkt dat dit verschijnsel bij veel reeksen van getallen optreedt, bijvoorbeeld ook bij de lengte van rivieren of bij inwoneraantallen van gemeenten.
Benford heeft een formule opgesteld waarmee je in dergelijke situaties de relatieve frequentie van de verschillende begincijfers kunt benaderen. Deze formule, die bekend staat als de Wet van Benford ziet er als volgt uit:

In deze formule is F(n) het percentage getallen met het begincijfer n (n = 1,2,3,...,9).
Bij getallen reeksen die voldoen aan de wet van Benford zal bijvoorbeeld ongeveer 17,6% van de getallen met het cijfer 2 beginnen, want F(2) = 100  log(3/2) ≈ 17,6, en in ongeveer 60,2% van de gevallen zal het begincijfer 1,2 of 3 zijn, want F(1) + F(2) + F(3) ≈ 60,2.

Benford heeft aangetoond dat ook de oneindige rij opeenvolgende machten van het getal 2, de rij 1, 2, 4, 8, 16, ..., voldoet aan deze wet.
Maar het is de vraag of de wet van Benford ook geldt wanneer je je beperkt tot een beginstuk van deze rij. Om dat na te gaan tellen we hoe vaak de cijfers 1, 2 of 3 als begincijfer voorkomen bij de eerste twaalf getallen uit deze rij.
4p

11.

 Onderzoek of het percentage getallen met begincijfer 1, 2 of 3 bij deze twaalf getallen in overeenstemming is met de wet van Benford.
De getallen die voorkomen in een groot financieel overzicht voldoen meestal bij benadering aan de wet van Benford. Accountants maken daar tegenwoordig vaak gebruik van om mogelijke fraude bij het opstellen van dergelijke overzichten op te sporen. Zij gaan er daarbij van uit dat het bewust manipuleren van gegevens door fraudeurs een andere verdeling van begincijfers oplevert dan de wet van Benford voorspelt. Als bijvoorbeeld 7% van de getallen in een financieel overzicht met het cijfer 9 begint, zal men dit overzicht vrijwel zeker nader onderzoeken. Immers F(9) » 4,6 en het geconstateerde percentage is ongeveer anderhalf keer zoveel.

Bij het accountantskantoor Levrek & Partners hanteert men als vuistregel: er wordt nader onderzoek verricht als het waargenomen aantal getallen met begincijfer 8 meer dan 10% afwijkt van het door de wet van Benford voorspelde aantal.

In een financieel overzicht komen 12726 getallen voor. Hiervan hebben 712 getallen als begincijfer een 8.
4p

12.

 Onderzoek of dit voor Levrek & Partners voldoende aanleiding is voor nader onderzoek.

 
Bevallen.
In het "Moeders voor moeders babyboek" staat dat 75% van de zwangere vrouwen bevalt tussen 14 dagen vóór en 14 dagen na de uitgerekende datum. Bij het bepalen van deze uitgerekende datum gaat men uit van een zwangerschap van 40 weken, dus 280 dagen. De zwangerschapsduur is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 280 dagen.
Met behulp van deze gegevens kun je berekenen dat de bijbehorende standaardafwijking, afgerond op één decimaal, gelijk is aan 12,2 dagen.

In 2002 vonden er in Nederland 199205 bevallingen plaats. Van een aantal van deze bevallingen duurde de zwangerschap minder dan 36 weken.
4p

13.

 Bereken bij hoeveel bevallingen dit het geval was.

 
De standaardafwijking kan nauwkeuriger bepaald worden.
4p

14.

 Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.

 
Jongen of meisje.
Volgens een krantenartikel uit 2000 waarvan hieronder twee fragementen zijn opgenomen is hevige zwangerschapsmisselijkheid een voorteken dat er een meisje op komst is. Althans, dat beweren Zweedse epidemiologen.

Veel braken? Dan is er een meisje op komst!
Hevige misselijkheid en veel braken in de eerste drie maanden van de zwangerschap zijn er voortekenen van dat er een dochter op komst is. Dit melden vijf Zweedse epidemiologen in het internationale medische tijdschrift The Lancet.
...
Onder alle ruim één miljoen kinderen die tussen 1987 en 1995 in Zweden werden geboren lag de verhouding jongens/meisjes op 51,4/48,6. De onderzoekers ontdekten dat bij de bijna zesduizend moeders die wegens hevige zwangerschapsmisselijkheid werden opgenomen, die verhouding 44,3/55,7 was.

Op grond van dit onderzoek veronderstellen we het volgende: de kans dat een vrouw die wegens zwangerschapsmisselijkheid in het ziekenhuis wordt opgenomen een jongen krijgt, is 0,443.

Drie vrouwen zijn in het ziekenhuis opgenomen wegens zwangerschapsmisselijkheid.
4p

15.

 Bereken de kans dat de drie baby's die uit deze zwangerschappen geboren worden van hetzelfde geslacht zijn.

 
De epidemiologen waren voorzichtiger met hun conclusie dan de schrijvers van het krantenartikel. Zij concludeerden op grond van het onderzoek dat de kans op een jongen bij een zwangerschap met hevige misselijkheid kleiner is dan 0,514. Bij een significantieniveau van 1% is deze conclusie gerechtvaardigd door de geconstateerde verhouding 44,3/55,7 bij een steekproefomvang van ongeveer 6000.
Het is maar de vraag of dezelfde conclusie ook gerechtvaardigd zou zijn als de jongens/meisjes-verhouding 44,3/55,7 bij een steekproefomvang van 600 was opgetreden, dus als men 266 jongens had geteld in een steekproef van 600 kinderen.
5p

16.

 Onderzoek of de epidemiologen in dat geval dezelfde conclusie hadden mogen trekken. Gebruik ook hier een significantieniveau van 1%.

 

 

Clavarin.
Apotheker Veelman verkoopt het medicijn Clavarin. Dit medicijn wordt in strippen van 10 tabletten op de markt gebracht.
Veelman koopt enkele keren per jaar een gelijk aantal strippen bij de fabrikant. De prijs p die Veelman per strip moet betalen hangt af van het aantal bestelde strippen. Er geldt de formule:
p = 3 - 0,0002q

In deze formule is p de prijs per strip in euro's en q de bestelgrootte, het aantal strippen dat Veelman elke keer koopt. Een bestelling mag niet groter zijn dan 6000 strippen. Behalve de prijs voor de strippen heeft Veelman nog andere kosten:
• Voor elke bestelling betaalt Veelman 100 euro aan de fabrikant voor de afhandelingskosten.
• De voorraadkosten voor veelman zijn 0,20 euro per strip per jaar.
Veelman verkoopt elk jaar 30000 strippen Clavarin aan zijn klanten. De verkoop ligt het hele jaar door op hetzelfde niveau.

De prijs per strip is zo laag mogelijk bij een bestelgrootte van 6000 strippen. Daarom bestelde Veelman tot nu toe 5 keer per jaar 6000 strippen. Hij vraagt zich nu af of het voordeliger is om 6 maal per jaar een bestelling ter grootte van 5000 strippen te plaatsen.
5p

17.

 Onderzoek of het voor Veelman voordeliger is om van een bestelgrootte van 6000 strippen over te gaan op een bestelgrootte van 5000 strippen.

 
Het aantal bestellingen dat Veelman per jaar doet noemen we n.  Omdat Veelman per jaar 30000 strippen afneemt, geldt voor het aantal strippen q dat hij per keer bestelt:  q = 30000/n.

We vatten de verschillende kostenposten voor Veelman samen:
• inkoopkosten: per strip 3 - 0,002q euro.
• afhandelingskosten: 100 euro per bestelling.
• voorraadkosten: per strip 0,20 euro per jaar.
Veelman verkoopt Clavarin aan zijn klanten voor 4,50 euro per strip. De jaarlijkse opbrengst hiervan is dus 30000 • 4,50 = 135000 euro.
We kunnen de inkoopkosten voor de strippen uitdrukken in n.
Per strip zijn deze inkoopkosten gelijk aan  3 - 0,002 • 30000/n = 3 - 6/n.

De inkoopkosten per jaar voor alle 30000 strippen zijn dan  90000 - 180000/n.
Zo kunnen we ook de andere kostenposten uitdrukken in n. Dat levert de volgende formule op voor de winst W (in euro's) die Veelman jaarlijks heeft op de verkoop van 30000 strippen:
5p

18.

 Toon de juistheid van deze formule aan.

 
Als je de grafiek van  y = 45000 - 100x + 177000/x  tekent, zie je dat deze grafiek dalend is.
Veelman kan dus het beste zo weinig mogelijk bestellingen per jaar doen om een zo groot mogelijke winst te realiseren. Dat de grafiek van y dalend is kun je ook nagaan met behulp van de afgeleide van y.
4p

19.

 Stel een formule voor de afgeleide van y op en toon met behulp van deze afgeleide aan dat de grafiek van y dalend is.

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. t = 0  geeft L = 1
t = 1 geeft  L = 1,81447
De groeifactor is dus ongeveer 1,81
2. De grenswaarde is L = 400, dus de exponentiële fase duurt tot L = 200
200 = 400/(1 + 399 • 0,11t)  ⇒  200(1 + 399 • 0,55)t = 400 ⇒  1 + 399 • 0,55t = 2
 ⇒ 399 • 0,55t = 1  ⇒  0,55t = 0,0025  ⇒  t = log(0,0025)/log(0,55) ≈ 10,02 weken
3. nmin = 0,  u(n) = u(n - 1) + 0,64 •u(n - 1) • (1 - u(n - 1)/400),  u(nmin) = 2
Geeft met TABLE  u(9) = 90,03

L(9) = 140,96

Dat is een verschil van 50,93.
4. y = x + 0,64 • x • (1 - x/400) = x + 0,64x - 0,64 • x/400 = 1,64x - 0,0016x2
dus a = -0,0016 en b = 1,64
5.
Hier is te zien dat op t = 12 de waarde voor het eerst groter is dan 300.
6. Altijd als het verschil tussen het aantal voor- en tegenstemmers minder dan 13 is.
De overige stemmen zijn in totaal 308.
(308 - 13)/2 = 147,5
dus bij 148 - 160 ligt de grens
dus  van 148 tot en met 154 voorstemmers geeft Nederland de doorslag.
7. mogelijkheden waarbij A voorstemt:
  7 4 4 2 meerderheid? A van belang?
1 VVVV ja nee
2 VVVT ja ja
3 VVTV ja ja
4 VVTT ja ja
5 VTVV ja ja
6 VTVT ja ja
7 VTTV ja ja
8 VTTT nee *

de machtsindex van A is dus  6/8
8. Als A voorstemt:
beginsituatie  

nieuwe situatie

  meerderheid? A van belang?   meerderheid? A van belang?
6 4 1     5 5 1    
VVV ja ja VVV ja nee
VVT ja ja VVT ja ja
VTV ja ja VTV ja ja
VTT ja ja VTT nee *

De machtsindex van A gaat van  1 naar 2/3

Als B voorstemt:
beginsituatie  

nieuwe situatie

  meerderheid? B van belang?   meerderheid? B van belang?
6 4 1     5 5 1    
VVV ja nee VVV ja nee
VVT ja nee VVT ja ja
TVV nee * TVV ja ja
TVT nee * TVT nee *

De machtsindex van B gaat van  0 naar 2/3

Als C voorstemt:
beginsituatie  

nieuwe situatie

  meerderheid? C van belang?   meerderheid? C van belang?
6 4 1     5 5 1    
VVV ja nee VVV ja nee
VTV ja nee VTV ja ja
TVV nee * TVV ja ja
TTV nee * TTV nee *

De machtsindex van C gaat van  0 naar 2/3
9. Als partij A voorstemt is er een meerderheid als nog minstens één andere partij voorstemt.
Dus er is alleen geen meerderheid als alle anderen tegenstemmen (VTTTT)
Dat betekent dat er in 15 van de 16 gevallen een meerderheid is als A voorstemt.
De stem van A is niet van belang bij de stemming VVVVV; zodra er één of meer anderen tegenstemmen valt de meerderheid weg als A verandert. In alle andere 14 gevallen is de stem van A dus wel doorslaggevend.
De machtsindex van A is daarom  14/15

Als B voorstemt is er een meerderheid als A ook voorstemt, de rest doet er dan niet toe (dit zijn 8 gevallen VV***) en er is ook een meerderheid in het geval TVVVV. In totaal dus 9 gevallen.
Het wegvallen van B verandert alleen iets in de gevallen  VVTTT en  TVVVV
De machtsindex van B is daarom 2/9.

de machtsindex van A is dus meer dan driemaal zo groot als die van B.
10. 104 + 55 + 36 = 195 gevallen van de 335
dat  is  104/335 • 100% = 31%
11. de eerste twaalf getallen zijn:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048
1,2 of 3 komt 8 keer voor dus dat is 8/12 • 100% = 67%
Dat klopt aardig met die voorspelde 60,2% van de wet van Benford.
12. F(8) = 100 • log(9/8) = 5,115 dus verwacht wordt 5,115%
5,115% van 12726 is 651 keer
712 keer wijkt daarvan 61 keer af.
Dat is 61/651 • 100% = 9,4%
Er is dus geen reden tot nader onderzoek.
13. 36 weken is 252 dagen
normalcdf(0, 252, 280, 12.2) =  0,0109
dus 0, 0109 • 199205 is ongeveer 2164 bevallingen.
14. 14 dagen voor en 14 dagen na de uitgerekende zwangerschap is tussen  266 en 294 dagen zwangerschap.
normalcdf(266, 294, 280, X) = 0,75
Y1 =  normalcdf(266, 294, 280, X)  en Y2 = 0,75
window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 20,  Ymin = 0, Ymax = 1
intersect levert σ »  12,17
15. P(JJJ) = 0,4433 = 0,0869
P(MMM) = (1 - 0,443)3 = 0,5573 = 0,1728
P(zelfde) = 0,1728 + 0,0869 = 0,2597
16. H0:  p = 0,514
H1:  p < 0,514
meting: 266 van de 600
overschrijdingskans:  P(X ≤ 266) = binomcdf(600, 0.514, 266) = 0,0003
is kleiner dan 1% dus H0 verwerpen.
de epidemiologen mogen dezelfde conclusie trekken.
17. Bij bestelling van 6000 strippen per keer zijn de kosten:
- 5 • 100 euro bestelkosten = 500 euro
- gemiddelde voorraad is 3000 strippen, dus voorraadkosten 3000 • 0,20 = 600 euro
- prijs per strip p = 1,8 euro: samen 6000 • 5 • 1,8 = 54000 euro
samen 54000 + 500 + 600 = 55100 euro

Bij bestelling van 5000 strippen per keer zijn de kosten:
- 6 • 100 euro bestelkosten = 600 euro
- gemiddelde voorraad is 2500 strippen, dus voorraadkosten 2500 • 0,20 = 500 euro
- prijs per strip p = 2 euro: samen 5000 • 6 • 2 = 60000 euro
samen 60000 + 600 + 500 = 61100 euro.

kortom: 600 per keer is goedkoper.
18. kosten:
- inkoop:  90000 - 180000/n
- afhandeling:  100 • n
- voorraad:  0,20 • 0,5q = 0,20 • 0,5 • 30000/n = 3000/n

opbrengst: 135000

winst = opbrengst - kosten = 135000 - (90000 - 180000/n) - 100n - 3000/n
= 135000 - 90000 + 180000/n - 100n - 3000/n
= 45000 + 177000/n - 100n  en dat is de gevraagde formule.

19. y = 45000 + 177000 • x-1 - 100x
y '= -100 - 177000 • x-2 = -100 - 177000/x2 
omdat x2 altijd positief is, is 177000/x2 ook positief.
er staat dus -100 - positief getal, en dat wordt dus negatief.
als de afgeleide negatief is, is de grafiek van de functie zelf dalend.