Nieuwe pagina 1

Beschuit.

Gewone beschuiten worden verkocht in beschuitrollen van 13 stuks. Een gewone beschuit weegt gemiddeld 8,0 gram.
Er zijn ook zogeheten 'Twentsche beschuiten' die worden verkocht in zakken van 10 stuks. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 10,7 gram.

Enige tijd geleden kostte in de supermarkt een rol gewone beschuit €0,91 en een zak Twentsche beschuit €0,93.

Bij welk van deze twee artikelen verwacht je het meeste beschuit voor je geld? Motiveer je antwoord.

Vanzelfsprekend wegen beschuiten niet allemaal precies evenveel. Het gewicht van een gewone beschuit is normaal verdeeld met een gemiddeld gewicht van 8,0 gram en een standaardafwijking van 0,6 gram. Het gewicht van een Twentsche beschuit is ook normaal verdeeld. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 10,7 gram met een standaardafwijking van 0,9 gram.
Zowel bij een gewone rol beschuit als bij een zak Twentsche beschuit kan het gebeuren dat de inhoud minder weegt dan de 100 gram die op de verpakking staat vermeld.

Bereken bij welke soort beschuit de kans daarop het grootst is.

Een fabrikant van gewone beschuit gaat ervan uit dat de machines voor productie van gewone beschuiten zo zijn ingesteld dat slechts 5% van de beschuiten te licht is. Een medewerker van deze fabriek heeft echter de indruk dat meer dan 5% van de beschuiten te licht is. Om zijn vermoeden te onderzoeken pakt hij willekeurig 50 beschuiten. Van deze 50 beschuiten blijken er 6 te licht te zijn.

Onderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding is om de medewerker in het gelijk te stellen. Hanteer daarbij een significantieniveau van 1%.

Krasactie.

Schoenwinkel Boermans bestaat 40 jaar. Om dat te vieren overweegt eigenaar Boermans om een actie met kraskaarten te houden. Iedere klant die voor tenminste 50 euro in de winkel besteedt krijgt een kraskaart. Op elke kraskaart komen acht vakjes die open gekrast kunnen worden. In zes willekeurig gekozen vakjes staat het woord 'jammer!'. In de andere twee vakjes staat het gezicht van Boermans afgebeeld. De klant mag naar keuze twee vakjes openkrassen. Indien een klant tenminste éénmaal het gezicht van Boermans te voorschijn krast, dan levert dat de klant een cadeaubon op. Een klant die een kraslot mag gaan krassen heeft een kans van ²⁶/₅₆ op een cadeaubon.

Het is mogelijk dat van de eerste tien klanten die op een dag hebben gekrast, er drie een cadeaubon hebben gewonnen en zeven geen cadeaubon hebben gewonnen.

3p	4.	Bereken de kans dat dit gebeurt.

Boermans verwacht dat hij per dag gemiddeld 13 cadeaubonnen zal moeten uitdelen. Deze verwachting baseert hij op het gemiddelde aantal klanten per dag die in het verleden 50 euro of meer besteedden.

3p	5.	Bereken dit gemiddelde aantal klanten per dag waarvan Boermans is uitgegaan.

De krasactie van Boermans gaat een jaar duren. Een klant kan met een in de krasactie gewonnen cadeaubon een keuze maken uit een beperkte, speciaal daarvoor aangewezen, voorraad artikelen in Boermans' winkel. Boermans heeft nog niet besloten hoe groot hij de waarde van de cadeaubonnen zal maken. Hij wil kiezen uit de volgende twee mogelijkheden:
•	Mogelijkheid A: gedurende de hele actie is elke cadeaubon 17,50 euro waard.
•	Mogelijkheid B: elke cadeaubon die op de eerste dag wordt uitgedeeld is 5 euro waard; elke cadeaubon die op de tweede dag wordt uitgedeeld is 5,10 euro waard; elke cadeaubon die op de derde dag wordt uitgedeeld 5,20 euro, enzovoort. Elke dag dat de winkel geopend is worden de bonnen 0,10 euro meer waard. Omdat Boermans in een jaar 300 dagen geopend is zijn de bonnen op de laatste dag 34,90 waard.

Boermans wil een indicatie hebben hoeveel geld hij bij beide mogelijkheden kwijt zal raken aan cadeaubonnen. Bij de berekeningen mag je ervan uit gaan dat Boermans elke dag precies 13 cadeaubonnen uitdeelt. Bij mogelijkheid B kan de totale dagwaarde d_n van de cadeaubonnen die Boermans op de n-de dag uitdeelt, berekend worden met de formule d_n = (4,90 + 0,10n) • 13 = 63,7 + 1,3n. De totale dagwaarde van dag 1 is dus 63,7 + 1,3 • 1 = 65 euro en die van dag 2 is 66,3. De totale actiewaarde a_n is de optelsom van alle cadeaubonnen die tot-en-met de n-de dag zijn uitgedeeld. Dus a_n = d₁ + d₂ + ... + d_n. Dit betekent dat de totale actiewaarde a_n kan worden berekend met de formule a_n = 64,35n + 0,65n²

5p	6.	Toon de juistheid van de formule a_n = 64,35n + 0,65n² aan.

3p	7.	Onderzoek bij welk van beide mogelijkheden Boermans in totaal het meeste geld kwijt is en bereken hoe groot het verschil is.

Voedsel zoeken.

De meeste roofdieren proberen iedere dag hun voedsel zo snel mogelijk te vangen. Naarmate meer voedsel is gevangen wordt het vaak moeilijker om nog nieuw voedsel te vangen. Deze opgave gaat over het wiskundige model dat daarbij gemaakt kan worden. In dat model geeft de opbrengstfunctie het verband aan tussen de hoeveelheid voedsel (de voedselopbrengst) en de tijd die nodig is om die hoeveelheid voedsel te vangen.

In de volgende figuur is de grafiek getekend van de opbrengstfunctie voor roofdiersoort A. De voedselopbrengst is uitgedrukt in energie-eenheden (ee) en de benodigde tijd in uren.

We bekijken een roofdier van soort A. Na 0,5 uur heeft dit roofdier een bepaalde hoeveelheid energie aan voedsel gevangen. Om de dubbele hoeveelheid te vangen is meer dan het dubbele van 0,5 uur nodig.

Bepaal met behulp van de figuur hoeveel maal zo groot de daarvoor benodigde tijd is.

Sommige roofdieren leven niet in het zelfde gebied als hun prooidieren. Zulke roofdieren moeten zich eerst verplaatsen naar hun voedselgebied voordat ze met de jacht kunnen beginnen. De tijd die nodig is om een bepaalde hoeveelheid voedsel te vangen wordt daardoor uitgebreid met de tijd die nodig is om naar het voedselgebied te gaan. Dit heeft gevolgen voor de gemiddelde opbrengst per uur.
In onderstaande figuur is de grafiek van de opbrengstfunctie van roofdiersoort B getekend. Zoals je in deze figuur kunt zien, is en roofdier van deze soort 2 uur onderweg (1 uur heen en 1 uur terug).

Op de grafiek van roofdiersoort B bevindt zich het punt Q met coördinaten (5,3). Dat wil zeggen dat, als een roofdier van roofdiersoort B 5 uur jaagt (inclusief verplaatsing), dan is zijn voedselopbrengst 3 ee. De gemiddelde voedselopbrengst is dan ³/₅ = 0,6 ee/uur.
In de figuur is ook een stippellijn getekend die gaat door de oorsprong en punt Q. Deze stippellijn snijdt de grafiek van roofdiersoort B ook in punt P.

Leg uit, zonder berekening, dat de gemiddelde voedselopbrengst die hoort bij punt P ook gelijk is aan 0,6 ee/uur.

Op de grafiek van roofdiersoort B bevindt zich een punt waarbij de gemiddelde opbrengst per uur voor een roofdier van soort B maximaal is.

10.

Bepaal met behulp van de figuur bij welke tijd de gemiddelde opbrengst per uur maximaal is. Licht je antwoord toe.

Een roofdier van soort C is in totaal 1 uur onderweg. Voor deze roofdieren is de opbrengstfunctie gegeven door de formule:

r = √(t - 1) als t > 1 (voor het eerste uur geldt r = 0)

Hierin is t de tijd in uren en r de hoeveelheid gevonden voedsel in ee.

Deze opbrengstfunctie r heeft voor t > 1 de volgende twee eigenschappen:

•

Een langere tijd levert altijd een hogere opbrengst op.

•

De toename van de opbrengst wordt steeds geringer naarmate t groter wordt.

Deze twee eigenschappen zijn zichtbaar in de grafiek van r maar ze kunnen ook worden verklaard aan de hand van de grafiek van de afgeleide van r.

11.

Schets de grafiek van de afgeleide van r en verklaar de beide eigenschappen aan de hand van deze grafiek.

Bouwproject.

De gemeente Vlissingen wil woningen en winkels laten bouwen op een terrein van 1 000 000 m²



De gemeentelijke planologische dienst gaat dit project ontwerpen. Dit project zal aan enkele voorwaarden moeten voldoen: Verdeling.
•	Voor elke m² woonoppervlak moet 1 m² 'tuin' extra gereserveerd worden voor de woningen. Dus voor elke m² woonoppervlak wordt 2 m² grond in gebruik genomen.
•	Voor elke 50 m² winkeloppervlak moet 20 m² extra voor parkeerplaatsen worden bestemd.
•	Om ruimte te hebben voor openbare groenvoorzieningen en wegen mag het totale grondoppervlak voor woningen (inclusief tuin) plus het totale grondoppervlak voor winkels (inclusief parkeerplaatsen) samen ten hoogste 60% van het totale oppervlak beslaan.

Verontreiniging.
•	Voor 1 m² woonoppervlak rekent men 40 eenheden verontreiniging en voor 1 m² winkeloppervlak rekent men 4 eenheden verontreiniging
•	In totaal is maximaal 3 000 000 eenheden verontreiniging toelaatbaar.

Regionale functie. Omdat het gebied een regionale winkelfunctie moet krijgen, eist de gemeente dat het aantal m² winkeloppervlak ten minste gelijk is aan 50 000 m² plus vier maal het aantal m² woonoppervlak. Noem het aantal m² woonoppervlak x en het aantal m² winkeloppervlak y. Naast de beperkende voorwaarden x ³ 0 en y ³ 0 gelden nu ook de voorwaarden:

	(1)	2x + 1,4y ≤ 600 000
	(2)	y - 4x ≥ 50 000
	(3)	10x + y ≤ 750 000

5p	12.	Laat zien hoe de voorwaarden (1), (2) en (3) uit bovenstaande gegevens volgen.

Nog een aspect van het project waar een voorwaarde uit voortvloeit, wordt gevormd door de kosten. Kosten.
•	Het hele project mag niet meer dan 400 miljoen euro kosten.
•	De bouw van 1 m² woonoppervlak kost 2400 euro.
•	De bouw van 1 m² winkeloppervlak kost 800 euro.

Op grond van de gegevens over de kosten kun je de beperkende voorwaarde (4) opstellen.

2p	13.	Stel deze beperkende voorwaarde op.

In onderstaande figuur zijn de grenzen van de vier beperkende voorwaarden getekend.



Met behulp van deze figuur is in te zien dat één van de vier beperkende voorwaarden eigenlijk overbodig is.

5p	14.	Welke van de vier beperkende voorwaarden is overbodig? Licht je antwoord toe met behulp van de figuur.

De gemeentelijke planologische dienst wil zo veel mogelijk m² woonoppervlak realiseren.

4p	15.	Onderzoek hoeveel m² het totale grondoppervlak voor woningen (inclusief tuin) plus het totale grondoppervlak voor winkels (inclusief parkeerplaatsen) in dat geval zal beslaan.

Verkeersslachtoffers in Nederland

In het jaar 2000 zijn 1160 personen in het verkeer in Nederland om het leven gekomen. ten opzichte van het jaar 2000 is het aantal verkeersdoden in het jaar 2001 gedaald met 6,47%. Bij de mannen daalde het aantal verkeersdoden met 31 tot 821.
Met deze gegevens kunnen we berekenen met welk percentage het aantal vrouwelijke verkeersdoden in 2001 is gedaald ten opzichte van 2000.

16.

Bereken dit percentage.

In de volgende figuur staan de verkeersdoden van het jaar 2000 in een staafdiagram verdeeld naar leeftijdscategorie.

De bevolkingsopbouw van het jaar 2000 is weergegeven in de volgende figuur.

Om het totale percentage per leeftijdscategorie te bepalen moet je de percentages mannen en vrouwen optellen. Voor, bijvoorbeeld, de leeftijdscategorie 5 tot 10 jaar is af te lezen dat het totale percentage ongeveer 6,4% is.

17.

Onderzoek aan de hand van beide figuren hierboven of in het jaar 2000 een persoon uit de leeftijdscategorie 25 tot 30 jaar een grotere of een kleinere kans had op een dodelijk verkeersongeval dan een persoon uit de leeftijdscategorie 70 tot 75 jaar.

In de volgende figuur zie je een grafiek van het aantal verkeersdoden voor de jaren 1950 tot en met 2002.

In deze figuur is te zien dat het aantal verkeersdoden het grootst was in 1972. Toen waren er 3264 verkeersdoden. Door een actief beleid inzake verkeersveiligheid is sinds die tijd het aantal verkeersdoden afgenomen tot 1066 in het jaar 2002. Weliswaar steeg het aantal verkeersdoden in sommige jaren, maar toch is er een duidelijke dalende trens waarneembaar in de periode 1972-2002. We kunnen deze trens beschrijven met een model waarbij het aantal verkeersdoden exponentieel afneemt van 3264 in 1972 tot 1066 in 2002. Volgens dit model zou het aantal verkeersdoden tussen 1972 en 2002 jaarlijks met een vast percentage dalen.

18.

Bereken dit percentage.

Het verloop van het aantal verkeersdoden, zoals je dat ziet in de figuur hierboven, kan bij benadering worden beschreven met de volgende formule:

In deze formule is N het aantal verkeersdoden per jaar in duizendtallen en t is de tijd in jaren vanaf 1950, dus t = 0 in 1950.

Deze formule is slechts een model dat hoort bij bovenstaande figuur. Daarom komt de grafiek die hoort bij de formule niet precies overeen met de grafiek uit bovenstaande figuur. Een belangrijk verschil is bijvoorbeeld dat volgens de formule de piek in het aantal verkeersdoden niet in 1972 plaatsvond, maar in een ander jaar.

19.

Onderzoek in welk jaar de piek plaatsvond volgens bovenstaande formule.

Uiteraard is ieder verkeersslachtoffer er een teveel. De overheid wil het aantal verkeersslachtoffers dan ook verminderen. Wanneer de overheid de reeds bestaande maatregelen voortzet dan verwacht men dat het aantal verkeersdoden zich in de toekomst ontwikkelt volgens bovenstaande formule. Alleen als de overheid nog extra maatregelen neemt om de verkeersveiligheid te bevorderen zal het aantal verkeersdoden in de toekomst lager kunnen worden dan volgens de formule. Doelstelling is om het aantal verkeersdoden minder dan 750 te laten zijn.

20.

Onderzoek, uitgaande van de gegeven formule, of er inderdaad extra maatregelen nodig zijn om deze doelstelling te halen.

OPLOSSING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	een rol gewone beschuit bevat gemiddeld 13 • 8, 0 = 104 gram voor €0,91, dus dat is ^0,91/₁₀₄ = 0,00875 euro per gram. een zak Twentsche beschuit bevat gemiddeld 10 • 10,7 = 107 gram voor €0,93, dus dat is ^0,93/₁₀₇ = 0,00869 euro per gram. bij een Twentsche beschuit krijg je dus het meeste beschuit voor je geld.

2.	gewoon: voor de som van 13 beschuiten geldt μ = 13 • 8,0 = 104 en σ = 0,6√13 ≈ 2,1633 minder dan 100 gram: normalcdf(0, 100, 104, 2.1633) ≈ 0,032 twentsch: voor de som van 10 beschuiten geldt μ = 10 • 10,7 = 107 en σ = 0,9√10 ≈ 2,846 minder dan 100 gram: normalcdf(0, 100, 107, 2.846) ≈ 0,007 bij de gewone beschuit is de kans dus het grootst.

3.	H₀: p = 0,05 H₁: p > 0,05 (een éénzijdige toets) α = 0,01 meting: 6 van de 50 te licht. P(X ≥ 6 ) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - binomcdf(50, 0.05, 5) = 0,038 Dat is groter dan 0,01 dus H₀ aannemen. Er is niet voldoende aanleiding de medewerker gelijk te geven.

4.	binompdf(10, ²⁶/₅₆, 3) = 0,152

5.	aantal bonnen = kans op een bon • aantal klanten 13 = ²⁶/₅₆ • aantal klanten aantal klanten is 28

6.	d_n is een rekenkundige rij, en voor de som daarvan geldt s = 0,5 • n • (eerste + laatste) in dit geval a_n = 0,5 • n • (65 + 63,7 + 1,3n) = 0,5n(128,7 + 1,3n) = 64,35n + 0,65n²

7.	methode A: 300 • 17,50 • 13 = €68250 methode B: a₃₀₀ = 64,35 • 300 + 0,56 • 300² = €77805 Bij methode B is hij het meeste geld kwijt, en het verschil is 9555 euro.

8.	Zie hiernaast. daar blijkt dat de benodigde tijd ongeveer ZES keer zo groot is.

9.	De gemiddelde voedselopbrengst is ^{voedselopbrengst}/_tijd = ^y/_x en dat is de helling van de lijn naar de oorsprong. Die helling is bij Q en P gelijk (het is immers dezelfde lijn) dus de gemiddelde voedselopbrengst ook.

10.	De gemiddelde opbrengst is maximaal als de helling van de lijn naar de oorsprong maximaal is (zie vraag 9). In de figuur hiernaast is dat zo bij punt R, en daar geldt ongeveer t = 3,2 uur.

11.	Hiernaast is de hellinggrafiek van r geschetst, formule r = ²/_{√(t - 1)} eigenschap 1: de hellinggrafiek ligt overal boven de t-as. Dus is de helling overal positief, dus stijgt de grafiek overal. eigenschap 2: de hellinggrafiek daalt, dus wordt de toename steeds minder.

12.	(1): totale oppervlakte maximaal 60% 60% van 1000000 is 600000 voor elke m² woonruimte is 2 m² nodig, dus benodigde ruimte voor woonoppervlak = 2x voor elke 50 m² winkel is 20 m² extra nodig. Per m² is dat ²⁰/₅₀ = 0,4 m² extra dus is 1,4y m² nodig, In totaal is dus 2x + 1,4y nodig en dat moet minder zijn dan 600000 (2): regionale winkelfunctie: y ≥ 50000 + 4x en breng dan 4x naar de andere kant; dat geeft vergelijking (2) (3): maximaal 3000000 verontreiniging. elke x levert 40 verontreiniging, dus in totaal 40x elke y levert 4 verontreiniging dus in totaal 4y samen is dat 40x + 4y en dat moet kleiner zijn dan 3000000 Delen door 4 geeft 10x + y ≤ 750000

13.	2400x + 800y ≤ 400000000

14.	Hiernaast staat aangegeven welke vergelijking bij welke grenslijn hoort. Het gekleurde gebied is het toelaatbare gebied. Je ziet dat vergelijking (4) geen grenslijn van het toelaatbare gebied is, dus vergelijking (4) heeft geen invloed.

15.	x is maximaal in punt P van het toelaatbare gebied. Dat is het snijpunt van (2) en (3) -4x + y = 50000 (2) 10x + y = 750000 (3) (3) - (2) levert: 14x = 700000 ⇒ x = 50000 uit (2) volgt dan y = 50000 + 4x = 250000 De totale oppervlakte is dan x + y = 300000

16.	In 2000 zijn er 821 + 31 = 852 mannen en dus 1160 - 852 = 308 vrouwen. Als 1160 daalt met 6,47% dan blijft er 100 - 6,47 = 93,53% over. Dat zijn 0,9353 • 1160 = 1085 verkeersdoden (afgerond) in 2001. Daarvan zijn er 821 mannen en dus 1085 - 821 = 264 vrouwen. Dat is een afname van 308 - 264 = 44 vrouwen en dat is 44/308 • 100% = 14,3%

17.	25-30 jaar is 3,5 + 3,5 = 7% en daarin vielen ongeveer 100 doden 70-75 jaar is 1,5 + 2 = 3,5% en daarin vielen ongeveer 70 doden. Het aantal mensen in de categorie 25-30 is wel dubbel zo groot als in de andere categorie, maar het aantal doden niet. Dus is de kans in de categorie 30-35 kleiner dan in de categorie 70-75.

18.	De groeifactor is ¹⁰⁶⁶/₃₂₆₄ = 0,3266 en dat is in 30 jaar. Per jaar is de factor dan 0,3266^1/30 ≈ 0,9634 Dat betekent een afname van 100 - 96,43 ≈ 3,7%

19.	invoeren en dan calc-maximum geeft t = 26,75 dus dat is in het jaar 1977

20.	Vul een hele grote t in in de formule, dan zie je dat er ongeveer 0,8 uitkomt. Dat betekent dat er op den duur 0,8 • 1000 = 800 doden zullen zijn. Er zijn dus WEL extra maatregelen nodig .

VWO WA12, 2006 - I