VWO WA12, 2006 - II

 

Zeep.
De firma Sanove fabriceert stukken zeep. De stukken zeep worden machinaal gemaakt. De machine is zo ingesteld dat het gewicht van de stukken zeep normaal verdeeld is met een gemiddelde van 93 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram.

Mevrouw Jansen koopt drie stukken zeep van Sanove.
4p

1.

 Bereken de kans dat alle drie stukken zeep minder dan 90 gram wegen.

 
Het kan gebeuren dat de machine niet goed functioneert. Dan hebben te veel stukken zeep niet het gewenste gewicht. De afdeling Quality Control (QC)  van Sanove gebruikt verschillende manieren om dit te controleren. Enkele van deze manieren komen hier aan de orde.

Wanneer het gemiddelde gewicht van de stukken zeep te laag is, mag de zeep niet verkocht worden. De afdeling QC neemt daarom elk uur uit de productie van dat uur aselect vijf stukken zeep. De productie van dat uur wordt afgekeurd wanneer het totale gewicht van de vijf stukken zeep minder is dan 460 gram.
Neem aan dat de machine in orde is, dus stukken zeep maakt waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 93 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram.
Dan is het toch mogelijk dat van een zeker uur de productie wordt afgekeurd.

5p

2.

 Bereken de kans dat dit gebeurt.

 
De machine mag niet teveel stukken zeep afleveren waarvan het gewicht te laag of te hoog is. QC maakt hierbij gebruik van de 13s-regel en de 22s-regel.

Bij de 13s-regel controleert QC elke dag aselect 10 stukken zeep en bepaalt daarvan het gewicht. QC laat de machine opnieuw instellen wanneer bij die 10 stukken zeep er minstens één is waarvan het gewicht meer dan drie keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde.

Neem aan dat de machine in orde is, dus stukken zeep maakt waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 93 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram. Dan kan het toch gebeuren dat QC op grond van de 13s-regel de machine opnieuw laat instellen.
5p

3.

 Bereken de kans dat dit gebeurt.

  
Bij de 22s-regel wordt per dag drie keer aselect een stuk zeep gekozen. De machine wordt opnieuw ingesteld zodra die dag twee keer achter elkaar het gewicht van een stuk zeep meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde. Als van de eerste twee gecontroleerde stukken zeep het gewicht meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde, vindt die dag geen derde controle plaats.
Ook nu is er een kans dat QC de machine opnieuw laat instellen terwijl de machine in orde is.
5p

4.

 Bereken deze kans.

 

 

Evenwicht.
In de macro-economie geven economen met wiskundige modellen het verband aan tussen grootheden als:
Yt = nationale inkomen op tijdstip t
Ct = consumptie op tijdstip t
It = investeringen op tijdstip t.

Een voorbeeld is het volgende model dat bestaat uit drie vergelijkingen:

Voor t = 1, 2, 3,... geldt:
• Yt = Ct + It
• Ct = 0,8 • Yt - 1 + 20
• It = 10

Neem Y0 = 40
4p

5.

 Bereken Y1 en Y2 met behulp van bovenstaande formules.

 
We spreken van een evenwichtsinkomen als de waarde van Yt niet verandert op opeenvolgende tijdstippen.

Uit de drie gegeven formules kunnen we de formule  Yt = 0,8 • Yt - 1 + 30 afleiden. Met behulp van deze formule kunnen we het evenwichtsinkomen berekenen.
3p

6.

 Bereken het evenwichtsinkomen met behulp van Yt = 0,8 • Yt - 1 + 30

 
Hieronder staat een assenstelsel getekend. Met een webgrafiek kunnen we grafisch duidelijk maken dat bij verschillende startwaarden Y0 op den duur hetzelfde evenwichtsinkomen wordt bereikt.

5p

7.

 Laat dit zien in bovenstaand assenstelsel met een webgrafiek waarbij de startwaarde Y0 kleiner is dan het evenwichtsinkomen. Laat in dezelfde figuur zien dat dit óók geldt met een startwaarde Y0 die groter is dan het evenwichtsinkomen.

 
Bovenstaand model is een voorbeeld van een algemener model:
• Yt = Ct + It
• Ct = 0,8 • Yt - 1 + 20
• It = p

Het evenwichtsinkomen hangt bij dit model af van de waarde van p.
4p

8.

 Toon aan dat het evenwichtsinkomen van het nationale inkomen in dit model gelijk is aan 100 + 5p.

 

 

Sterilisatie.
Om voedingswaren tegen bederf te beschermen worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden. In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is 121 ºC. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld zullen er meer bacteriën overleven. In onderstaande figuur zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus.

Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op 1 miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft. Bij de grafiek uit bovenstaande figuur hoort een formule van de vorm:
Nt = 106 • 2-r • t

Hierin is Nt het aantal bacteriën na t minuten en is r de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën.

Met behulp van bovenstaande figuur kun je berekenen dat de sterftefactor r van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan 2,2.

4p

9.

 Toon dat met een berekening aan.

 
De D-waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot 10% van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de D-waarde afhankelijk van de soort bacteriën.
5p

10.

 Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de D-waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze D-waarde kunt controleren met bovenstaande figuur.

 
Men heeft ook van andere bacteriën de D-waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze D-waarde gelijk aan 2,55 minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor de overlevingsgrafiek beginnen we weer met 1 miljoen bacteriën.
4p

11.

 Teken deze overlevingsgrafiek in bovenstaande figuur. Licht je werkwijze toe.

 

 

Amerikaans roulette.
Amerikaans roulette is een gokspel dat gespeeld kan worden in verscheidene Nederlandse casino's. Amerikaans roulette wordt met maximaal tien spelers gespeeld, die elk hun eigen kleur speelfiches - ook chips geheten - kiezen. Er zijn 10 verschillende kleuren chips beschikbaar. De chips stellen een bepaald geldbedrag voor.

Aan een tafel wordt Amerikaans roulette gespeeld. Er spelen al twee spelers A en B mee. A heeft rood en B heeft groen. Er zijn dus nog acht kleuren beschikbaar. Drie nieuwe spelers kiezen één voor één een kleur om mee te kunnen spelen.
3p

12.

 Bereken op hoeveel manieren de drie nieuwe spelers een kleur kunnen kiezen.

 
Een persoon die het spel leidt, de croupier, werpt een balletje in een bak met een draaiende schijf met 38 vakjes met nummers. De nummers zijn: de 0,  de 00 en de oneven en even nummers 1 tot en met 36. Voor alle duidelijkheid: 0 en 00 worden hier niet als even of oneven nummer gezien. Het nummer van het vakje waarin het balletje valt is het winnende nummer.

In de meeste gevallen zal het winnende nummer even of oneven zijn, en niet 0 of 00. De kans op even, en ook op oneven, is per spel dus iets kleiner dan 0,5. Toch is bij bijvoorbeeld 10 spellen de kans dat in precies de helft van het aantal spellen het winnende nummer even is,  niet zo groot.
3p

13.

 Bereken de kans dat in 10 spellen het winnende nummer precies 5 keer even is.

 
In onderstaande figuur is het speelveld afgebeeld van Amerikaans roulette. Voordat de croupier het balletje werpt zet elke speler één of meer chips in op één van de nummers 1 tot en met 36 of op een combinatie van een aantal nummers,  bijvoorbeeld op alle even nummers. Een speler kan niet inzetten op de nummers 0 en 00. Als het winnende nummer een nummer is waarop de speler heeft ingezet dan krijgt de speler zijn inzet terug én een uitbetaling door de croupier. Zo niet, dan gaat de inzet van de speler naar het casino.

Er zijn verschillende manieren om in te zetten.
Een daarvan is 'straight up bet' : de speler legt een chip op één vakje met een nummer. Hij heeft dus de keus uit de vakjes 1 tot en met 36. Wanneer het winnende  nummer gelijk is aan dat nummer is de uitbetaling door de croupier gelijk aan 35 maal de inzet.
Een andere manier om in te zetten is 'split bet' . In dat geval legt ene speler een chip op twee vakjes tegelijk,  bijvoorbeeld 10 en 11, of 23 en 26. Zie de figuur hieronder. Wanneer het winnende nummer gelijk is aan een van deze nummers,  is de uitbetaling door de croupier 17 maal de inzet.

Bij het casino vraagt men zich af of het voor de winst van het casino uitmaakt of een speler inzet op 'straight up bet' of op 'split up bet' . We kunnen dit onderzoeken door zowel bij 'straight up bet' als bij  'split bet' de winstverwachting voor het casino uit te rekenen wanneer een speler 1000 dollar inzet.
4p

14.

 Voer dit onderzoek uit.

 
Wanneer een speler inzet op een 'straight up bet' van een van de nummers 1 tot en met 36, kan hij kiezen uit drie kolommen. Zie de figuur met het speelveld. Je kunt dus verwachten dat ongeveer 1/3 van de spelers zal kiezen voor een nummer uit de middelste kolom, dus een van de nummers 2, 5, 8, ..., 35.
Op een website over Amerikaans roulette staat dat spelers bij voorkeur kiezen voor een nummer uit de middelste kolom. Een casino-eigenaar is van mening dat dit in zijn casino ook het geval is. Van 100 verschillende spelers die op een gegeven moment inzetten op een 'straight up bet' registreert hij voor welke kolom ze kiezen. Uit het onderzoek blijkt dat 42 spelers hebben gekozen voor een nummer uit de middelste kolom, 28 spelers een nummer uit de linkerkolom en 30 spelers een nummer uit de rechterkolom.
6p

15.

 Onderzoek of op grond hiervan de mening van de casino-eigenaar gerechtvaardigd is. Neem een significantieniveau van 5%.

 
Snelheden.
In september 2003 won de Keniaan Rono een hardloopwedstrijd over een afstand van 2000 meter. Hij liep deze afstand in 4 minuten en 57,76 seconden. Dat betekent dat Rono die afstand liep met een gemiddelde snelheid van ongeveer 24,18 km/uur.
Het is gebruikelijk om tijden als 4 minuten en 57,76 seconden te noteren als 4 : 57.76.

Met deze prestatie behaalde Rono geen wereld record. Dat stond op dat moment op naam van de Marokkaan El Guerrouj. Zijn recordtijd op de 2000 meter was 4 : 44.79
3p

16.

 Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur waarmee El Guerrouj dit wereldrecord liep.

 
In de volgende tabel staan de wereldrecords hardlopen bij de mannen tot en met september 2003 op een aantal afstanden.
Afstand (in meters) Tijd Gemiddelde snelheid (in km/uur)
100
200
400
800
1000
1500
2000
3000
5000
10 000		 9.78
19.32
43.18
1 : 41.11
2 : 11.96
3 : 26.00
4 : 44.79
7 : 20.67
12 : 39.36
26 : 22.75		 36,8
37,3
33,3
28,5
27,3
26,2
25,3
24,5
23,7
22,7
In de tabel zie je bijvoorbeeld dat het wereldrecord op de 1000 meter 2 : 11,96 was. Afgerond op één decimaal was daarbij de gemiddelde snelheid 27,3 km/uur.

Het verband tussen de afstanden en de gemiddelde snelheid uit de tabel kunnen we benaderen met de volgende formule:

In deze formule is v de gemiddelde snelheid in km/uur en a de afstand in kilometer.

Met deze formule kun je bij elke afstand boven de 100 meter de gemiddelde snelheid berekenen die hoort bij het denkbeeldig gelopen wereldrecord. Voor bijvoorbeeld een afstand van 2283 zou het wereldrecord met een gemiddelde snelheid van 24,82 km/uur zijn gelopen.
3p

17.

 Bereken op welke afstand het denkbeeldige wereldrecord een gemiddelde snelheid van precies 30 km/uur op zou leveren.

 
In de tabel is de gemiddelde snelheid het hoogst bij de 200 meter. De formule van v is niet maximaal bij de 200 meter maar bij een afstand tussen de 100 en 200 meter.
3p

18.

 Bereken in meters nauwkeurig bij welke afstand de gemiddelde snelheid zo groot mogelijk is volgens de formule van v.

 
Bij afstanden boven de 200 meter is de grafiek van v dalend. Dat is bijvoorbeeld ook het geval bij een afstand van 1500 meter, dus voor a = 1,5.
4p

19.

 Stel een formule op voor de afgeleide van v en laat met behulp daarvan zien dat de grafiek van v dalend is bij een afstand van 1500 meter.

 
De formule van v is gebaseerd op wereldrecords die gelopen zijn op afstanden tot 10 km. Het is maar de vraag of de formule ook een goede benadering geeft van de gemiddelde snelheid op een lange afstand zoals de marathon. Bij een marathon wordt een afstand van 42,195 km gelopen.
In 2003 was de Keniaan Tergat wereldrecordhouder op de marathon met een tijd van  2 uur, 4 minuten en 55 seconden. Deze tijd wijkt af van de tijd die hij nodig zou hebben wanneer hij de marathon zou lopen met een gemiddelde snelheid volgens de formule van v.
4p

20.

 Bereken deze afwijking in seconden nauwkeurig.

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De kans dat één stuk minder dan 90 gram weegt is  normalcdf(0, 90, 93, 1.4) = 0,016
De kans voor drie stukken is dan 0,016 • 0,016 • 0,016 = 0,00000414 
2. Als de machine in orde is, is het totale gewicht van vijf stukken ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 5 • 93 = 465 gram en een standaardafwijking van  1,4 • √5 = 3,13
De kans dat de productie wordt afgekeurd is dan  normalcdf(0, 460, 465, 1.4√5) = 0,055
3. Gemiddelde + 3σ is 93 + 3 • 1,4 = 97,2  en gemiddelde - 3σ = 93 - 3 • 1,4 = 88,8
De kans dat één stuk NIET meer dan 3σ afwijkt is  normalcdf(88.8 , 97.2, 93, 1.4) = 0,9973
De kans dat 10 stukken allemaal 'goed' zijn is dan  0,997310 = 0,9733
De kans op minsten één 'foute' is dan 1 - 0,9733 = 0,0267
4. Gemiddelde + 2σ is 93 + 2 • 1,4 = 95,8  en gemiddelde - 2σ = 93 - 2 • 1,4 = 90,2
De kans dat een stuk NIET meer dan 2σ afwijkt is normalcdf(90.2 , 95.8,  93, 1.4) = 0,9545
De kans dat een stuk WEL meer dan 2σ afwijkt is 1 - 0,9545 = 0,0455
De machine wordt ten onrechte opnieuw ingesteld bij de gebeurtenissen FF en GFF
De kans daarop is  0,0455 • 0,0455 + 0,9545 • 0,0455 • 0,0455 = 0,0040
5. C1 = 0,8 • 40 + 20 = 52
Y1 = 52 + 10 = 62
C2 = 0,8 • 62 + 20 = 69,6
Y2 = 69,6 + 10 = 79,6
Dus Y1 = 62 en Y2 = 79,6
6. E = 0,8E + 30  ⇒  0,2E = 30  ⇒  E = 150.
7.

8. Yt = Ct + It  = 0,8Yt - 1 + 20 +  p  geeft evenwicht:   E = 0,8E + p + 20
⇒  0,2E = p + 20  ⇒  E = 5p + 100
9. De grafiek gaat door (6, 102 ) dus  102 = 106 • 2-6r 
dus  2-6r = (2-6)r = 10-4  ⇒  r =  log(10-4) / log(2-6) ≈ 2,2146 en dat is ongeveer 2,2  
10. 10% van 106 is 105
105 = 106 • 2-2.2t  ⇒  2-2.2t  = 10-1 = 0,1 ⇒  -2,2t = log(0,1)/log2 ≈ -3,32  ⇒  t = -3,32/-2,2 ≈ 1,5 
grafiek lees af bij y = 105 welke t daar bij hoort (ongeveer 1,5 dus...) 
11. De lijn moet door (0, 106) en (2.55, 105)
zie hiernaast

12. 8 • 7 • 6 = 336
13. binomiaal met n = 10 en p = 18/38
binompdf(10, 18/38, 5) = 0,2427
14. straight up bet:
de kans op winst is 1/38 en de uitbetaling 35000,  de winst van het casino is dan -35000
de kans op verlies is 37/38 en de uitbetaling 0, de winst van het casino is dan 1000
de verwachtingswaarde van de casinowinst  is  1/38 • -35000 + 37/38 • 1000 = 52,63

split bet:
de kans op winst is 2/38 en de uitbetaling 17000, de winst van het casino is dan -17000
de kans op verlies is 36/38 en de uitbetaling 0,  de winst van het casino is dan 1000
de verwachtingswaarde van de uitbetaling is 2/38 • -17000 + 36/38 • 1000 = 52,63

conclusie: het maakt niet uit!
15. H0:  p = 1/3
H1:  p > 1/3
een éénzijdige toets met  α = 0,05
meting is 42 van de 100
overschrijdingskans is  P(X ≥ 42) = 1 - P(X ≤ 41) = 1 - binomcdf(100, 1/3, 41) = 0,043
dat is kleiner dan α, dus H0 mag verworpen worden:
de mening van de casino-eigenaar is inderdaad gerechtvaardigd.
16. 4:44.79   is   4/60 uur + 44.79/3600 uur  = 0,0791 uur
2000 meter is 2 km.
de snelheid is dus  2/0,0791 = 25,28 km/uur.
(het antwoord staat trouwens in de tabel onder deze vraag)
17. Vul de gegeven formule in bij Y1 in de GR. Neem Y2 = 30
window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 2,  Ymin = 0,  Ymax = 50
intersect levert X ≈ 0,6080 km en dat is 608 meter.
(er is trouwens nog een oplossing: X = 0,037 maar dat is 37 meter en niet boven de 100 m dus die valt af)
18. Vul de gegeven formule in bij Y1 in de GR
neem bijv. hetzelfde window als bij vraag 17.
calc = maximum geeft  X ≈ 0,1506 dus dat is een afstand van ongeveer 151 meter.
19. met de quotiëntregel:

vul in a = 1,5:  v ' = -19700/10000 - 0,07 = -1,97 - 0,07 = -2,04
dat is negatief, dus v is dalend.
   
20. v(42,195) = 20,15407 km/uur  (handig intoetsen:  42,195 STO X en dan de formule met X)
de tijd zou dan zijn  42,195/20,15407 = 2,0936 uur
dat is 2,0936 • 3600 = 7536,96 seconden

het record is 2 • 3600 + 4 • 60 + 55 = 7495 seconden

de afwijking is dus ongeveer 42 seconden