Een belangrijk onderdeel van een boot is de schroefas. Deze as wordt door de motor in beweging gebracht. Daardoor gaat de schroef van het schip draaien en dan kan de boot varen. De motor, de schroefas en de schroef samen noemen we hier het aandrijfsysteem van de boot.

In dit zogenoemde nomogram zie je drie schalen:
•  de linkerschaal: het aantal toeren (of omwentelingen) per minuut (tpm). Dit wordt ook wel het toerental genoemd;
•  de middelste schaal: de diameter van de schroefas, gemeten in mm;
•  de rechterschaal: het vermogen, uitgedrukt in paardenkracht (pk).
Zoals je kunt zien, is elk van de drie schalen niet-lineair.

Wanneer je een lijn trekt door de drie schalen kun je een van de drie waarden bepalen als je de andere twee weet. Zo hoort volgens de figuur bij een motor van 200 pk en 1200 tpm een asdiameter van (ten minste) 45 mm. Python-Drive is een bedrijf dat aandrijfsystemen maakt. Op hun website staat dat alle systemen van het type P60-K (70 pk, 2600 tpm) een asdiameter hebben tussen 30 en 40 mm.

Onderzoek met behulp van de figuur of de asdiameter van dit type groot genoeg is.

In het voorbeeld in de figuur zie je een motor van 200 pk en 1200 tpm met een bijbehorende asdiameter van 45 mm. Er zijn ook wel motoren te vinden met een ander vermogen en een ander toerental waarbij dezelfde asdiameter van 45 mm hoort. Dan valt op dat een groter vermogen een hoger toerental oplevert.

Lloyd’s is een organisatie die zich bezighoudt met het opstellen van regels voor de controle op de zeewaardigheid van schepen. Volgens een van deze regels moet de diameter D van de schroefas voldoen aan de volgende formule:

In deze formule is D uitgedrukt in mm, het vermogen P uitgedrukt in pk en het toerental R in tpm.

In een tijdschrift dat gaat over aandrijfsystemen kun je onderstaande figuur tegenkomen. In deze figuur zie je voor enkele waarden van D het verband getekend tussen de bijbehorende waarden van P en R.

In zo’n figuur kan elk aandrijfsysteem met een punt worden weergegeven. Zo hoort het punt A bij het aandrijfsysteem met waarden (1200, 150, 40).

In deze figuur is punt B aangegeven. Bij dit aandrijfsysteem is het vermogen goed af te lezen. De waarde van het toerental is echter niet nauwkeurig af te lezen, maar met behulp van de formule kunnen we deze wel berekenen.

Bereken met behulp van de formule het toerental dat bij dit aandrijfsysteem hoort.

In enkele gevallen komt het voor dat de asdiameter al bekend is, bijvoorbeeld wanneer alleen de motor moet worden vervangen. We gaan uit van een asdiameter van 30 mm.

Herschrijf de formule hierboven zo dat je een formule krijgt waarin P uitgedrukt wordt in R.

In Nederland heeft 13% van de bevolking last van hooikoorts.
Een onderzoeker van PharmaCie, een medicijnenfabrikant, ondervraagt 135 aselect gekozen mensen.

Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat minstens 20% van de ondervraagden hooikoorts heeft.

PharmaCie brengt een nieuw medicijn tegen hooikoorts op de markt. Het nieuwe medicijn van PharmaCie wordt in pilvorm verkocht.
Als een patiënt klachten krijgt, neemt hij een pil. De werkzame stof komt dan via de maag en de darm in de bloedbaan terecht. De hoeveelheid werkzame stof in de bloedbaan stijgt eerst en neemt daarna af omdat de stof door het lichaam wordt afgebroken. De concentratie van de werkzame stof in de bloedbaan noemen we C. In de volgende  figuur zie je een schets van de grafiek van C.

Een onderzoeker van PharmaCie stelt de volgende formule op die dit verloop redelijk benadert:

Hierin is C₁ de concentratie werkzame stof in ^mg/_cm3 en t de tijd in uren na het innemen van de pil.

Bereken met behulp van de afgeleide van C₁ na hoeveel minuten, gerekend vanaf het moment dat de pil is ingenomen, de concentratie werkzame stof maximaal is.

Een andere onderzoeker stelt een geheel andere formule op die er als volgt uit ziet: 
C₂(t) = 0,13(1,92^-t - 1,92^-6t)

Hierin is C₂ de concentratie werkzame stof in ^mg/_cm3 en t weer de tijd in uren na het innemen van de pil.

Hoewel de grafieken van C₁ en C₂ beide erg op de grafiek in bovenstaande figuur lijken, verschillen de momenten waarop het maximum bereikt wordt wel van elkaar.

Voor de afgeleide van C₂ geldt bij benadering: 
C'₂(t) = 0,0848(-1,92^-t + 6 • 1.92^-6t)

Onderzoek met behulp van de afgeleide C'₂ of het maximum van C₂ eerder of later dan het maximum van C₁ optreedt.

De verpakkingen van Douwe Egberts koffie zijn voorzien van (waarde)punten die je kunt sparen. Met deze punten kun je bepaalde producten kopen. Op de website van Douwe Egberts (DE) stond tot 2009 het volgende:
•  per artikel zijn je eerste 100 punten € 1,50 waard; je moet dan wel betalen met minimaal 100 punten;
•  daarna zijn per artikel iedere 100 punten € 0,50 waard;
•  betalen met iedere combinatie van punten en geld mag altijd.

Voorbeeld
Kop en schotel van hiernaast kosten samen € 5,-.
Je kunt deze kop en schotel dan kopen voor € 5,- of gratis meenemen voor 800 punten. Ook kun je 400 punten inleveren en nog € 2,- bijbetalen.

Bij DE kost een gebaksbordje € 9,30 en een taartplateau € 46,50. Marieke wil graag 6 gebaksbordjes en een taartplateau kopen. Ze heeft 12000 waardepunten en wil zo min mogelijk euro’s bijbetalen.

W = 1 + 0,005p

In deze formule is p het aantal punten (met p ≥ 100) en W de waarde in euro’s.

Er zijn ook andere spaarsystemen te bedenken, bijvoorbeeld een systeem waarbij klanten die veel punten sparen daarvoor iets meer beloond worden. Zo bedenkt Alwin, een wiskunde A-leerling uit 6V, een ander systeem. Zie de tabel.

Je kunt in de tabel zien dat er geen lineair verband is tussen het aantal punten en de waarde in euro’s.
Verder gelden ook bij het systeem van Alwin vergelijkbare voorwaarden als bij het officiële DE-systeem:
•  per artikel zijn je eerste 100 punten €1,50 waard; je moet dan wel betalen met minimaal 100 punten;
•  betalen met iedere combinatie van punten en geld mag altijd.

In het systeem van Alwin is er sprake van een (bij benadering) exponentieel verband.

Laat voor alle waarden in de tabel zien dat er inderdaad (bij benadering) sprake is van een exponentieel verband en bereken de groeifactor per 1000 punten in drie decimalen nauwkeurig

Het Douwe Egberts Geschenkensysteem is, althans volgens DE in 2009, het oudste nog actieve spaarsysteem van Nederland. Op de website staat dat bijna zeven van de tien Nederlandse huishoudens de waardepunten sparen. Zie het citaat hieronder.

Volgens een consumentenorganisatie is deze informatie misleidend en wordt het aantal huishoudens dat spaart, overdreven. Uit een steekproef onder 640 aselect gekozen huishoudens blijkt dat 403 van deze huishoudens de punten sparen.
Als we als nulhypothese H₀: p = 0,70 nemen, is dit steekproefresultaat inderdaad significant afwijkend, uitgaande van een significantieniveau van 5%.
Als we als nulhypothese H₀: p = 0,65 nemen, is dit steekproefresultaat niet significant afwijkend bij hetzelfde significantieniveau.

Bereken bij welke waarde van p het steekproefresultaat nog net niet significant afwijkend is. Geef de waarde van p in twee decimalen nauwkeurig

In januari 2008 verscheen er in de NRC een artikel over de becijfering van een tentamen Recht. In de volgende figuur zie je de verdeling van de cijfers voor dat tentamen.

Uit de gegevens in deze figuur volgt dat het gemiddelde van de tentamencijfers 5,4 was en de standaardafwijking 1,9.

Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.

De schrijvers van het artikel waren erg kritisch. Zij waren van mening dat er opvallend weinig cijfers 5 waren uitgedeeld en beargumenteerden dit op de volgende manier.
Bij dergelijke toetsen verwacht men meestal dat de cijfers bij benadering normaal verdeeld zijn. Hier was dit echter duidelijk niet het geval.
Wanneer de tentamencijfers wèl normaal verdeeld zouden zijn met gemiddelde 5,4 en standaardafwijking 1,9, dan zouden veel meer dan 48 studenten het cijfer 5 gekregen hebben.

Bereken met behulp van die normale verdeling hoeveel studenten in dat geval het cijfer 5 gekregen zouden hebben.

Onderzoek dit met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier hiernaast.

In het artikel werd ook nog een tweede verklaring genoemd voor de vreemde verdeling van de cijfers. De groep studenten die dit tentamen had gemaakt, zou niet homogeen zijn maar bestaan uit twee homogene en ongeveer even grote subgroepen, namelijk de werkers en de niet-werkers. Daar gaan we in de rest van deze opgave naar kijken.
Neem aan dat de cijfers van de werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde 6,7 en standaardafwijking 1,5 en de cijfers van de niet-werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde 3,4 en standaardafwijking 1,2. In de volgende figuur zie je vier grafieken getekend die  horen bij vier verschillende normale verdelingen. Grafiek A hoort bij de cijfers van de werkers.

Eén van de overige drie grafieken B, C en D hoort bij de niet-werkers. Dat is grafiek D.

Leg uit waarom grafieken B en C niet kunnen horen bij de cijfers van de niet-werkers.

Het getal B dat met deze formule wordt berekend, noemen de onderzoekers het behendigheidsniveau. Ook al weten we nu nog niet hoe TE en LE bepaald worden, toch kunnen we wel iets zeggen over de mogelijke waarde van het getal B.

Laat met behulp van de formule en de omschrijvingen van TE en LE zien dat de bovenstaande beweringen 1, 2 en 3 juist zijn.

Om de vierde bewering “Als twee spelen hetzelfde positieve toevalseffect hebben, is B groter bij het spel met het grotere leereffect” na te gaan, kun je gebruik maken van deze laatste formule.

Laat zien dat bij elk spel met een behendigheidsniveau van 0,20 de verhouding tussen het leereffect en het toevalseffect gelijk is aan 1:4.

Op 3 maart 1998 concludeerde de Hoge Raad dat poker een kansspel is (en daarom alleen mag worden gespeeld in door de overheid gecontroleerde casino’s).

De onderzoekers hebben in samenwerking met het televisieprogramma Nieuwslicht een experiment uitgevoerd om na te gaan of deze beslissing van de Hoge Raad wel terecht was. In het verslag over dit experiment schrijven zij op welke manier zij het behendigheidsniveau van het pokerspel ‘Texas Hold’Em’ hebben bepaald. Zij deelden de spelers in drie typen in:
 

(Die fictieve speler bestond alleen in dit experiment: hij verkreeg zijn extra informatie door het gebruik van een ‘oortje’ waarmee hem informatie doorgegeven werd die in een normaal spel onbekend is voor een speler).

Leg uit dat TE groter is naarmate het toeval een grotere rol speelt bij de uitkomst van het spel.

In een ander experiment, vergelijkbaar met dat van Nieuwslicht, speelden een beginner, een ervaren speler en een fictieve speler aan aparte tafels onder dezelfde omstandigheden elk drie rondes. Allen kregen bij het begin van iedere ronde evenveel geld om in te kunnen zetten. Na die drie rondes werd de stand opgemaakt van de winst per ronde. Zie de tabel.

Om na te gaan of poker wel of niet als kansspel gezien moet worden, kun je de totale winst van ieder van de drie spelers in de tabel berekenen en daarmee het behendigheidsniveau B bepalen van het pokerspel ‘Texas Hold’Em’.

Is het pokerspel ‘Texas Hold’Em’ volgens de methode van Borm en Van der Genugten een kansspel als je uitgaat van de tabel? Licht je antwoord toe.