Er wordt veel onderzoek gedaan naar het verband tussen het vermogen (het energieverbruik per seconde) en de vliegsnelheid bij vogels. Het vermogen V wordt gemeten per kg borstspier en uitgedrukt in Watt.

Een onderzoek heeft uitgewezen dat de grafiek van het verband tussen de vliegsnelheid en het vermogen U-vormig is. Dat wil zeggen: vliegen met lage of hoge snelheid kost veel vermogen, terwijl vliegen met een snelheid daartussenin minder vermogen kost.
In de figuur is dit verband voor valkparkieten en duiven weergegeven.

Dit onderzoek toont bij valkparkieten een bij benadering kwadratisch verband aan tussen de vliegsnelheid en het vermogen. Voor valkparkieten geldt de volgende formule:  V = 0,19s² - 8,71s + 169,72
Hierbij is V het vermogen in Watt en s de snelheid in km per uur.

Bereken met behulp van de formule bij welke snelheden het vermogen V van een valkparkiet 120 Watt is.

Bereken met behulp van de afgeleide bij welke snelheid het vermogen V van een valkparkiet minimaal is.

Het is bekend dat duiven die stil in de lucht hangen ( s = 0 ) een vermogen van 185 Watt ontwikkelen. Met dit gegeven kunnen we nu de constante p berekenen.

Bij het Europees Kampioenschap van 2008 heeft Paul ook al de uitslagen van verschillende wedstrijden voorspeld. In 2008 wist hij vier van de zes keer een correcte voorspelling te geven. Omdat dit aantal groter is dan het verwachte aantal juiste voorspellingen, kan het vermoeden ontstaan dat Paul over voorspellende gaven beschikt.

Bereken met een significantieniveau van 10% of het aantal juiste voorspellingen van Paul aanleiding geeft om te zeggen dat hij in 2008 al over voorspellende gaven beschikte.

Naast Paul waren er in 2010 nog meer dieren die voorspellingen deden, zoals de parkiet Mani uit Singapore. Als er maar genoeg dieren voorspellingen doen, dan is de kans dat er één tussen zit die alles goed voorspelt helemaal niet zo klein.
Stel dat 20 dieren een voorspelling doen voor 8 wedstrijden waarbij ze per wedstrijd allemaal een kans van 0,5 hebben dat hun voorspelling juist blijkt te zijn.

Engelse sportstatistici hebben zich voor het toernooi van 2010 ook aan voorspellingen gewaagd. Zij keken voor de deelnemende landen naar het bruto binnenlands product per hoofd van de bevolking (bbp), de bevolkingsomvang (pop) en de wedstrijdervaring (erv). Dat leverde de volgende formule op:

Voor Italië en Engeland zijn bbp en pop nagenoeg even groot, zodat alleen de wedstrijdervaring het verschil bepaalt. Vóór 2010 deed Italië 16 keer mee aan een wereldkampioenschap, Engeland 12 keer.

Bereken met behulp van de formule het voorspelde aantal doelpunten dat Italië méér maakt als het tegen Engeland zou spelen. Rond het antwoord af op twee decimalen.

Logischerwijs moet de uitkomst van de formule tegengesteld worden als je de landen verwisselt. Er zou dus voor elk tweetal landen A en B moeten gelden: GD(A,B) = -GD(B,A).

Toon de juistheid hiervan aan met behulp van de rekenregels voor logaritmen.

Volgens de formule wint Nederland niet van Brazilië omdat GD(Ned,Bra) = -0,67.

De waarde –0,67 valt eigenlijk nog wel mee. Brazilië heeft veel meer inwoners dan Nederland: 185,7 miljoen tegenover 16,6 miljoen. Ook nam Brazilië vóór 2010 vaker deel: 18 keer en Nederland maar 8 keer. Blijkbaar is het bbp van Nederland veel groter dan dat van Brazilië.

Bereken hoeveel keer zo groot het bbp van Nederland is als het bbp van Brazilië.

In onderstaande figuur zie je de groei van het aantal Turkse tortels in Nederland gedurende de periode 1953 tot en met 1963.

Langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt.
De punten liggen bij benadering op een rechte lijn. Dat betekent dat het aantal Turkse tortels in de periode 1953 tot en met 1963 bij benadering exponentieel groeide. De jaarlijkse groeifactor was 1,73.
In 1984 waren er ongeveer 250000 Turkse tortels in Nederland.

Stel een formule op voor het aantal Turkse tortels gedurende de periode 1953 tot en met 1963 en onderzoek of daarmee het aantal Turkse tortels in 1984 juist voorspeld kon worden.

Het gebied waar een soort voorkomt, wordt het verspreidingsgebied genoemd. De figuur hiernaast geeft informatie over de grootte van het verspreidingsgebied van de Turkse tortel.
Langs de verticale as staat de wortel van de oppervlakte (Öopp) van het verspreidingsgebied. In de figuur hiernaast kun je bijvoorbeeld aflezen dat voor 1957 geldt: √opp ≈ 4400 km.

Hiermee kan worden berekend dat de oppervlakte van het verspreidingsgebied in 1957 dus ruim 19 miljoen vierkante kilometer is.
We nemen aan dat het verspreidingsgebied cirkelvormig is, met straal r in km. Voor de oppervlakte van het gebied geldt dan: opp = πr². Hieruit volgt:

Bereken met behulp van de rechte lijn in deze figuur de gemiddelde toename in km per jaar van de straal van het verspreidingsgebied in de periode 1930 tot en met 1960.

Een ander model waarmee de groei van de straal kan worden berekend, wordt beschreven met de volgende formule:

s is de groei van de straal in km per jaar; V is het gemiddeld aantal vrouwelijke nakomelingen dat een wijfje gedurende haar hele leven voortbrengt, V ≥ 1; m is de gemiddelde leeftijd in jaren waarop een vrouwtje jongen krijgt, m > 0 .

Voor de Turkse tortel heeft men in een bepaalde periode de volgende waarden gevonden: m = 1,81 en V = 1,33. Neem aan dat door ongunstige omstandigheden voor de Turkse tortel de waarde van V met 10% afneemt, maar dat m gelijk blijft.

Bereken met hoeveel procent de waarde van s zal afnemen als gevolg van de afname van V.

We bekijken de volgende twee situaties:

De gemiddelde leeftijd waarop een vrouwtje jongen krijgt neemt toe, maar het gemiddeld aantal vrouwelijke nakomelingen verandert niet.

Het gemiddeld aantal vrouwelijke nakomelingen wordt groter, maar de gemiddelde leeftijd waarop een vrouwtje jongen krijgt verandert niet.

Beredeneer met behulp van de formule voor elk van deze twee situaties of de groei van de straal groter of kleiner zal worden.

Kakkerlakkensalade is een kaartspel uit Duitsland. Een variant van het spel wordt gespeeld met 112 groentekaarten met daarop de groenten paprika, bloemkool, sla en tomaat. Van elk van deze vier soorten groente zijn er evenveel kaarten. Aan het begin van het spel worden de kaarten geschud en krijgen alle spelers evenveel kaarten.

Annet, Beyza, Carin en Dick spelen dit spel.

Dick schudt de kaarten en geeft als eerste Annet vier kaarten uit het volledige spel kaarten.

Bereken de kans dat Annet bij deze vier kaarten van elke soort één kaart krijgt.

Tijdens een vakantie gaan deze vier vrienden het spel 150 keer spelen.

Annet is benieuwd hoe vaak de eerste kaart die uit een volledig spel gedeeld wordt een tomaatkaart zal zijn.

Op de doos waar het spel in is verpakt, staat vermeld dat de gemiddelde speelduur van een spelletje 20 minuten is. Tijdens de vakantie houden ze bij hoelang elk spel duurt. In de tabel staan hun gegevens.

Ze willen onderzoeken of de speelduur van een spelletje normaal verdeeld is.

Laat met behulp van normaal waarschijnlijkheidspapier zien dat de gegevens in de tabel bij benadering normaal verdeeld zijn en bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking van de speelduur.

Bij een andere variant van kakkerlakkensalade wordt met meer kaarten gespeeld. Dit heeft invloed op de speelduur van het spel. De speelduur is dan bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 25 minuten en een standaardafwijking van 9 minuten. De vier spelers spelen op deze manier 2 spellen.

Bereken de kans dat één spel langer dan 20 minuten en één spel korter dan 20 minuten duurt.

In de archeologie gebruikt men de C14-methode bij het vaststellen van de historische leeftijd (ouderdom) van bepaalde vondsten. Deze methode werd in 1949 ontwikkeld door de Amerikaanse scheikundige Libby, die hiervoor de Nobelprijs gekregen heeft. Volgens de theorie neemt de radioactiviteit van dood organisch materiaal exponentieel af en daarom kun je door de radioactiviteit te meten bepalen hoe oud een voorwerp is. De figuur hieronder komt uit een artikel van Libby uit 1949. Libby testte de C14-methode door deze te gebruiken op zes verschillende voorwerpen waarvan de historische leeftijd op een andere manier bekend was.

Volgens de theorie neemt de gemeten radioactiviteit exponentieel af. De grafiek gaat door de punten (0; 12,5) en (6000; 6). Hiermee kan men de groeifactor berekenen.

Bereken met deze punten de groeifactor per jaar in 7 decimalen nauwkeurig.

Voor het vervolg van de opgave gaan we uit van de formule:   N = 12,5 • 0,999878^t

De punten in de figuur stellen de metingen aan de voorwerpen voor. Het punt ‘Ptolemy’ hoort bij een stuk hout van een doodskist van een Egyptische mummie. Deskundigen schatten dat deze doodskist uit ongeveer 200 voor Chr. dateert. Voor dit hout werd in 1949 een radioactiviteit van 9,5 cpm per gram gemeten.

Bereken het verschil tussen de historische leeftijd volgens de C14-methode en de schatting van de deskundigen.

Als er meerdere metingen worden gedaan en van de bijbehorende historische leeftijden het gemiddelde wordt genomen, zal de kans dat het gemiddelde van deze historische leeftijden minder dan 100 jaar van de werkelijke historische leeftijd afwijkt, groter worden. Onderzoekers willen graag dat deze kans groter is dan 0,75.