VWO WA, 2014 - I

 

Chips.
       
Pringles-chips zijn vooral een succes  geworden door de beroemde koker waarin je de chips wel vijftien maanden kunt bewaren.
Pringles worden in Nederland onder andere verkocht in kokers van 88 stuks. Op de verpakking staat dat er 165 gram in zit. De chips wegen per stuk natuurlijk niet allemaal precies hetzelfde. We nemen aan dat het gewicht van een Pringles-chip normaal verdeeld is met een gemiddeld gewicht van 1,89 gram en een standaardafwijking van 0,06 gram.

       
Deze chips moeten volgens de producent een bepaald minimumgewicht hebben. Toch kan het gebeuren dat geproduceerde chips lichter zijn dan het minimumgewicht. Dat te lichte deel vormt 0,2% van het geproduceerde totaal.
       
3p. 1. Bereken het minimumgewicht dat een chip volgens de producent moet hebben.
     

 
Ook van het merk Lay’s worden chips in kokers gedaan. Op de foto zijn kokers uit Shanghai te zien waarin 92 stuks zitten en waarbij op de verpakking een inhoud van 180 gram staat.
Het gewicht van een Lay’s-chip is ook normaal verdeeld. Een Lay’s-chip weegt gemiddeld 1,97 gram met een standaardafwijking van 0,08 gram.

 

Ongeveer 35% van de Lay’s-chips weegt meer dan 2 gram. Iemand beweert dat het percentage Pringles-chips die meer dan 2 gram wegen meer dan tien keer zo klein is als het percentage Lay’s-chips die meer dan 2 gram wegen.
       
3p. 2. Onderzoek met een berekening of deze bewering juist is.
     

 
Zowel bij een koker Pringles als bij een koker Lay’s kan het gebeuren dat de inhoud minder weegt dan het aantal gram dat op de verpakking staat.
       
6p. 3. Bereken van welk merk de kans daarop het kleinst is.
     

 

Een mooie bijkomstigheid van de koker is dat de chips niet snel breken. In een supermarkt in Amstelveen klagen klanten echter geregeld over het feit dat de Pringles-chips in de kokers gebroken zijn. De supermarktmanager legt de klacht bij de fabrikant neer. De reactie van de fabrikant is dat hoogstens 2% van de kokers gebroken chips zou bevatten en dat de rest door onzorgvuldigheid van transport, winkelpersoneel of de klant zou komen.
Een consumentenorganisatie besluit een steekproef van 20 kokers uit een grote verzameling Pringleskokers te nemen net voordat de kokers op transport naar de supermarkt gaan. In 2 van de 20 kokers blijken gebroken chips te zitten.
       
6p. 4. Onderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding geeft om de verklaring van de fabrikant in twijfel te trekken. Gebruik een significantieniveau van 5%.

 

Ontslagvergoeding.
       
Als een werknemer ontslagen wordt, moet zijn werkgever hem vaak een bepaald bedrag betalen: de zogenoemde ontslagvergoeding. Er zijn verschillende manieren om de hoogte van dit bedrag vast te stellen. Een veelgebruikte manier is de kantonrechtersformule. Deze formule is in 1996 opgesteld door de gezamenlijke kantonrechters en wordt sindsdien veel toegepast in rechtszaken betreffende ontslag.
De kantonrechtersformule voor de ontslagvergoeding (in euro’s) luidt als volgt:

hoogte ontslagvergoeding = A • B • C

Hierbij geldt:
- A is het Aantal gewogen dienstjaren;  
- B is de Beloning per maand: dat is het meest recente maandsalaris in euro’s;
- C is de Correctiefactor: deze wordt door de rechter vastgesteld afhankelijk van de situatie. In een ‘neutraal’ geval geldt C =1.
       
Voor de berekening van A kijken we naar de leeftijd en het aantal dienstjaren bij de betreffende werkgever. Deze dienstjaren worden als volgt gewogen:
- dienstjaren tot de leeftijd van 40 jaar tellen voor 1;
- dienstjaren van 40 tot 50 jaar tellen voor 1,5;
- dienstjaren vanaf 50 jaar tellen voor 2.
       
Voor elke periode wordt het aantal dienstjaren afgerond op gehele jaren.
Hierbij wordt dus een aantal dienstjaren van bijvoorbeeld 27,3 jaar geteld als 27 jaar en een aantal dienstjaren van 36,8 jaar geteld als 37 jaar.
Bijvoorbeeld: voor een werknemer die geboren is op 11 februari 1965, die per 1 maart 1995 bij een werkgever in dienst kwam en daar per 1 april 2008 ontslagen is, geldt: A = 10 • 1 + 3 • 1,5 = 14,5.

Mevrouw De Wilde, geboren op 12 mei 1953, wordt na een dienstverband van precies 14 jaar per 1 mei 2008 ontslagen. Haar maandsalaris was toen €3464.
De rechter gebruikt de kantonrechtersformule en besluit dat in haar geval geldt: C = 0,75 .
       
3p. 5. Bereken haar ontslagvergoeding.
     

 

Per 1 januari 2009 is de kantonrechtersformule aangepast. In de nieuwe formule wordt de factor A (het aantal gewogen dienstjaren) als volgt berekend:
- dienstjaren tot de leeftijd van 35 jaar tellen voor 0,5;
- dienstjaren van 35 tot 45 jaar tellen voor 1;
- dienstjaren van 45 tot 55 jaar tellen voor 1,5;
- dienstjaren vanaf 55 jaar tellen voor 2.
       
We gaan er in deze opgave van uit dat de aanpassing geen gevolgen heeft voor de factoren B en C.
Voor een zekere werknemer, die ontslagen wordt na een dienstverband van precies 19 jaar, geldt volgens de oude regeling:  A = 16 • 1 + 3 • 1,5 = 20,5 .
Uitgaande van C = 1 bedraagt zijn ontslagvergoeding volgens de kantonrechtersformule €91700.
       
5p. 6. Bereken hoeveel procent lager zijn ontslagvergoeding zou zijn als hij onder de nieuwe regeling zou vallen. Ga hierbij weer uit van C = 1.
     

 

Voor veel mensen pakt de nieuwe regeling ongunstiger uit dan de oude.
       
3p. 7. Onderzoek of er een situatie mogelijk is waarbij een werknemer erop vooruit gaat door de nieuwe regeling.
     

 

 
Keramiek.
     

 
Op de foto zie je een stad van keramiek, gemaakt door de kunstenares Elly van de Merwe.
De huisjes zijn in 3 rijen geplaatst. Er zijn 13 huisjes in het kunstwerk zelf en er is nog 1 reservehuisje.
De voorste rij heeft 4 posities om huisjes te plaatsen, de middelste rij heeft 5 posities en de achterste rij weer 4 posities.
De opstelling van de huisjes kan veranderd worden. Je kunt daarbij de huisjes op de voorste rij en de huisjes op de middelste rij willekeurig verwisselen.
De huisjes op de achterste rij kunnen alleen onderling verwisseld worden. Het reservehuisje past alleen op de voorste twee rijen.

     
4p. 8. Bereken hoeveel opstellingen er mogelijk zijn met de 14 verschillende huisjes.
     

 

De huisjes zijn gebakken in een elektrische oven. De maximale opwarmsnelheid waarmee de temperatuur in deze oven kan stijgen, hangt onder andere af van de temperatuur van de oven. Hoe heter de oven wordt, hoe meer warmte hij af zal staan aan de omgeving waardoor de temperatuur steeds langzamer kan stijgen.
In de volgende figuur zie je dat de maximale opwarmsnelheid v steeds sterker daalt.
       

       
Omdat het over opwarmen gaat, is in deze figuur alleen een niet-negatieve waarde van v weergegeven.

De formule die hierbij hoort, is de volgende:
       

       
Hierin is v de maximale opwarmsnelheid van de oven in ºC per seconde en T de temperatuur van de oven in ºC.

Met behulp van de afgeleide van v kan men aantonen dat de maximale opwarmsnelheid v steeds sterker daalt bij toenemende oventemperatuur.
       
6p. 9. Stel de formule op van de afgeleide van v en toon daarmee die steeds sterkere daling aan.
     

 

Bij een bepaalde temperatuur van de oven zal deze niet verder opwarmen. Dat is de maximale temperatuur die met deze oven bereikt kan worden.
       
3p. 10. Bereken met behulp van de formule van v deze maximale temperatuur.
     

 

Tijdens het bakken van de huisjes laat men de temperatuur in de oven niet met de maximale snelheid stijgen, omdat de huisjes dan kapot zouden springen. In onderstaande figuur zie je een grafiek van de temperatuur tijdens het bakproces.
Tot 600 ºC zorgt men voor een constante, niet te snelle stijging van de temperatuur. Daarna laat men de temperatuur met een grotere, eveneens constante snelheid stijgen tot 1100 ºC, waarna het afkoelen begint.
       

       
Om na te gaan of de werkelijke opwarmsnelheid van deze figuur inderdaad mogelijk is, kan men deze vergelijken met de maximale opwarmsnelheid van de oven.
       
5p. 11. Laat met een berekening zien dat bij elke temperatuur tussen 600 en 1100 ºC de werkelijke opwarmsnelheid (zie de figuur) kleiner is dan de maximale opwarmsnelheid van de oven.
     

 

Nadat bij het bakproces van deze figuur de maximale temperatuur bereikt is, laat men de oven eerst met constante snelheid afkoelen tot 650 ºC. Dan wordt de oven uitgezet.
Vanaf dat moment neemt het verschil tussen de oventemperatuur en omgevingstemperatuur bij benadering exponentieel af. Zie de tabel. Hierbij is uitgegaan van een constante omgevingstemperatuur van 20 ºC.
       
tijdstip t na het uitzetten van de oven 0 uur 4 uur 8 uur
oventemperatuur (in ºC) 650 225 90
verschil V tussen oventemperatuur en
omgevingstemperatuur (in ºC)		 630 205 70
       
Omdat het verschil tussen oven- en omgevingstemperatuur, dus V, bij benadering exponentieel afneemt, kan dit verschil worden beschreven met de formule:  V = B • gt 
Hierin is V het verschil tussen oven- en omgevingstemperatuur in ºC en t de tijd in uren na het uitzetten van de oven.
       
6p. 12. Bereken met behulp van deze formule hoeveel minuten na het uitzetten van de oven deze is afgekoeld tot 30 ºC.
     

 

Uitslagen voorspellen
       
In de tijd voor Tweede Kamerverkiezingen worden allerlei onderzoeken gedaan naar kiezersgedrag.
Media publiceren vrijwel elke dag voorspellingen gebaseerd op onderzoek. Zo ging het ook voor de verkiezingen in juni 2010. Op 3 juni publiceerde de krant Tubantia de persoonlijke voorspellingen van elf lijsttrekkers over de te verwachten zetelverdeling voor de elf partijen. Zie de volgende tabel.
       

       
In deze tabel valt onder andere op dat de voorspellingen van Wilders en Thieme behoorlijk van elkaar verschillen, terwijl de voorspellingen van Rutte en Van der Staaij tamelijk dicht bij elkaar liggen.
Om voorspellingen met elkaar te kunnen vergelijken, gebruiken we het begrip afstand. Om de afstand tussen twee voorspellingen te berekenen, tellen we alle verschillen tussen de voorspelde zetelaantallen bij elkaar op. Zo is de afstand tussen de voorspellingen van Roemer (lijsttrekker SP) en Halsema (lijsttrekker GroenLinks) 24, want de som van de
positieve verschillen tussen hun voorspellingen is:
 
  (29 - 27) +  (33 - 30) + (18 - 11) + (31 - 29) + (15 - 11) +
(13 - 10) +  (7 - 6) + (12 - 10) +  (2 -  2) +  (2 -  2) +  (0 - 0) =  24
       
3p. 13. Onderzoek of de afstand tussen de voorspellingen van Wilders en Thieme meer dan tweemaal zo groot is als de afstand tussen de voorspellingen van Roemer en Halsema.
       
Je kunt een overzicht maken van alle onderlinge afstanden tussen de voorspellingen van de lijsttrekkers. Een klein stukje van dat overzicht zie je in onderstaande tabel 2. Zo lees je bijvoorbeeld af dat de afstand tussen de voorspellingen van Roemer en Halsema 24 is.
       
afstanden Wild. Roem. Hals. Verd. Coh. Balk. Pecht. Rut. Thie. Sta. Rou.
Roemer 28 0 24 26 22 20 18 18 18 18 18
Halsema 34 24 0 36 22 26 20 18 26 24 16
       
Als je dat hele overzicht zou bekijken, dan zou opvallen dat alle afstanden even getallen zijn. Ook bij diverse andere tabellen van dit type valt op dat al deze afstanden even zijn.
       
3p. 14. Onderzoek of het in het algemeen mogelijk is dat een afstand tussen twee voorspellingen een oneven getal is.
     

 

Na afloop van de verkiezingen kun je de voorspellingen van ieder van de lijsttrekkers met de werkelijke uitslag vergelijken. Dat doen we hier op twee verschillende manieren. Bij de eerste methode berekenen we de afstand tussen de voorspelling en de werkelijke uitslag. Die werkelijke uitslag van de verkiezingen op 9 juni 2010 staat in de volgende  tabel.
       
partij CDA PvdA SP VVD PVV GL CU D66 PvdD SGP TON
werkelijk
aantal zetels		 21 30 15 31 24 10 5 10 2 2 0
       
De voorspelling van Roemer blijkt de kleinste afstand, namelijk 22, tot de werkelijke uitslag op te leveren.
De afstand tussen de voorspelling van Wilders en de werkelijke uitslag blijkt exact gelijk te zijn aan de afstand tussen de voorspelling van Van der Staaij en de werkelijke uitslag.
       
2p. 15. Bereken deze afstand.
       
Een andere methode om voorspellingen te vergelijken met de werkelijke uitslag is om te kijken naar het totaal aantal juist voorspelde zetels. Als een partij bijvoorbeeld 8 zetels haalt terwijl er 5 voorspeld zijn, dan krijgt de voorspeller daar 5 punten voor. En als er 8 zetels behaald worden terwijl er 10 voorspeld zijn, dan krijgt de voorspeller 8 punten.
Op deze manier is het aantal juist voorspelde zetels van Roemer:

21 + 30 + 15 + 29 + 15 + 10 + 2 + 2 = 139

Als je het aantal juist voorspelde zetels van Wilders vergelijkt met het aantal juist voorspelde zetels van Van der Staaij, blijkt ook nu weer dat deze aantallen aan elkaar gelijk zijn.
Dat is niet toevallig als je kijkt naar het aantal juist voorspelde zetels en de afstand tussen de voorspelling en de werkelijke uitslag. Tussen deze afstand (de eerste methode) en het aantal juist voorspelde zetels (de tweede methode) bestaat een verband. Bij de afstand let je op de verschillen (altijd positief) en bij de tweede methode tel je het aantal goed
voorspelde zetels. Het verband heeft de volgende vorm:
       
    aantal juist voorspelde zetels = a • afstand  + b  
       
4p. 16. Bereken de waarden van a en b in bovenstaand verband.
     

 

Toevalvoetbal
       
Nederlandse competitie
De eindstand van de Nederlandse voetbalcompetitie van het seizoen 2008-2009 staat in onderstaande tabel.
       
plaats ploeg punten
1 AZ 80
2 FC Twente 69
3 Ajax 68
4 PSV 65
5 SC Heerenveen 60
6 FC Groningen 56
7 Feyenoord 45
8 NAC Breda 45
9 FC Utrecht 44
 
plaats ploeg punten
10 Vitesse 43
11 NEC 42
12 Willem II 37
13 Sparta Rotterdam 35
14 ADO Den Haag 32
15 Heracles Almelo 32
16 Roda JC 30
17 De Graafschap 30
18 FC Volendam 29
       
De 18 ploegen hebben een hele competitie tegen elkaar gespeeld, dat betekent dat elke ploeg tegen elke andere ploeg een thuiswedstrijd en een uitwedstrijd heeft gespeeld.
       
3p. 17. Bereken hoeveel wedstrijden er in totaal zijn gespeeld.
     

 

Voor een overwinning krijgt een ploeg 3 punten, voor een gelijkspel 1 punt en voor een verliespartij geen punten.
De kampioen, AZ, heeft 4 wedstrijden verloren en in de overige 30 wedstrijden 80 punten gehaald.
       
4p. 18. Bereken hoeveel wedstrijden AZ gewonnen heeft.
     

 

Competitie met even sterke ploegen
Op een Engelse website met voetbalstatistieken wordt gekeken in hoeverre een competitie-uitslag zoals die in de tabel staat, wordt bepaald door het verschil in sterkte tussen de ploegen en in hoeverre door toeval.
Daartoe bekijken we eerst een competitie waarin alle ploegen even sterk zijn en alle uitslagen alleen door toeval bepaald worden. Dit noemen we een toevalscompetitie. Wel houden we in onze toevalscompetitie rekening met verschil tussen uit- en thuiswedstrijden.
Daarom nemen we aan dat elke wedstrijd met kans pt gewonnen wordt door de thuisspelende ploeg, met kans pu gewonnen wordt door de uitspelende ploeg, en met kans pg in een gelijkspel eindigt.
Omdat we hier een toevalscompetitie bekijken, zijn deze kansen voor elke ploeg en voor elke wedstrijd gelijk. Er geldt natuurlijk: pt +  pu + pg = 1
Vanwege het verschil tussen uit- en thuiswedstrijden zijn pt en pu niet gelijk aan elkaar.

Omdat een overwinning 3 punten oplevert en een gelijkspel 1 punt, geldt nu voor elk team het volgende: voor een thuiswedstrijd is het verwachte aantal punten te berekenen met de formule  μt = 3pt + pg  en voor een
uitwedstrijd is dat te berekenen met de formule μu = 3pu + pg
Omdat elke ploeg in totaal 17 thuis- en 17 uitwedstrijden speelt, is voor elke ploeg het verwachte aantal punten in de hele competitie gelijk aan   mtotaal = 17μt + 17μu

Dit is te herleiden tot μtotaal = 51 - 17pg
       
4p. 19. Voer deze herleiding uit.
     

 

We nemen aan dat het aantal punten van elke ploeg in de toevalscompetitie bij benadering normaal verdeeld is met gemiddelde  μtotaal ≈ 46,6 en standaardafwijking σtotaal ≈ 7,4.

AZ werd in de competitie van 2008-2009 kampioen met 80 punten.
We vragen ons af hoe groot voor een ploeg in de toevalscompetitie de kans is om 80 punten of meer te halen.
       
3p. 20. Bereken deze kans met behulp van de normale verdeling.  
     

 

Vergelijking beide competities
Volgens de Engelse website wordt de standaardafwijking van het aantal punten in de werkelijke competitie niet alleen bepaald door toeval maar ook door het verschil in sterkte tussen de ploegen. In dat geval zou de standaardafwijking in de werkelijke competitie dan ook groter moeten zijn dan de standaardafwijking in de toevalscompetitie.
Met behulp van de tabel aan het begin van deze opgave kun je voor de Nederlandse competitie van het seizoen 2008-2009 de standaardafwijking van het aantal punten berekenen.
       
3p. 21. Onderzoek of deze standaardafwijking inderdaad groter is dan de standaardafwijking in de toevalscompetitie.
     

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. μ = 1,89  en  σ = 0,06
Als het minimumgewicht X is, is de oppervlakte onder de klokvorm links van X gelijk aan 0,002
normalcdf(-1099, X, 1.45, 0.06) = 0,002
Y1 = normalcdf(-1099, X, 1.89, 0.06)  en Y2 = 0,002
intersect geeft X = 1,72 gram
   
2. Pringles:  μ = 1,89  en  σ = 0,06 dus meer dan 2 gram is  normalcdf(2, 1099, 1.89, 0.06) = 0,0338
Lays:  35% weegt meer dan 2 gram, dus dat is 0,35
0,35/0,0338 = 10,35 en dat is meer dan 10 keer, dus de bewering is juist.
   
3. Pringles:  voor een hele koker geldt;
μ = 88 • 1,89 =166,32  en  σ = 0,06 • √88
P(inhoud < 165 gram) = normalcdf(0, 165, 166.32, 0.06√88) =  0,0095

Lays:  voor een hele koker geldt:
μ = 92 • 1,97 = 181,24 en  σ = 0,08 • √92
P(inhoud < 180) = normalcdf(0, 180, 181.24, 0.08√92) = 0,0530

Dus de kans is kleiner bij een koker Pringles.
   
4. H0: (fabrikant)  p = 0,02
H1: (klant):  p > 0,02
De meting is 20 stuks, en dat gaf 2 kokers met gebroken chips.
Overschrijdingskans:  P(aantal kokers ≥ 2) = 1 - P(aantal kokers ≤ 1) = 1 - binomcdf(20, 0.02, 1) = 0,0599
Dat is groter dan α = 0,05 dus H0 wordt aangenomen.
Er is GEEN reden de bewering van de fabrikant in twijfel te trekken
   
5. 1 mei 2008 was ze bijna 50.
Ze heeft dus 5 jaar (afgerond) in de leeftijdscategorie  "vanaf 50 jaar" gewerkt plus 9 jaar in de categorie "40 tot 50"
A = 5 • 2 + 9 • 1,5 = 23,5
B = 3464  en C = 0,75
Dat geeft de ontslagvergoeding  23,5 • 3464 •  0,75 = €61053,-
   
6. Kennelijk heeft hij 16 jaar in de categorie "tot 40 jaar " gewerkt en 3 jaar in de categorie "40 tot 50"
In de nieuwe situatie wordt dat dan  11 jaar in de categorie "tot 35" en  8 jaar in de categorie "35 tot 45"
Dan is A = 11 • 0,5 + 8 • 1 = 13,5

In de oude situatie was A = 20,5.

Omdat B en C gelijk blijven gaat het alleen om de verandering in A.
De nieuwe ontslagvergoeding is  13,5/20,5  • 100% = 65,85% van de oude situatie.
Dat is een vermindering van 34,15%
   
7. Zie de figuur hiernaast voor de factor A.
De bovenste categorie (OUD) is overal hoger dan of gelijk aan de onderste (NIEUW).

Dus de werkgever kan er nooit op vooruit gaan.
   
8. Voor de achterste rij:  4 huisjes voor 4 plaatsen kan op 4 • 3 • 2 • 1 = 24 manieren.
De voorste twee rijen; 10 huisjes voor 9 plaatsen kan op 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 = 3628800 manieren
Samen geeft dat  3628800 • 24 = 87091200 manieren.
   
9.
     
  Hiernaast zie je een plot van v'

v' ligt geheel onder de x-as dus de opwarmsnelheid daalt.

v' wordt steeds negatiever dus de daling van de opwarmsnelheid is toenemend.
 

   
10. Als de temperatuur maximaal is dan is de opwarmsnelheid nul, immers dan neemt de temperatuur niet verder toe.
 
  1,60752 - 3419,92 + T - 20 = 0
2,60752T = 3439,92
T = 3439,92/2,60752 = 1319,23 ºC
   
11. Bij 600 ºC en 1100 ºC horen de tijdstippen 9,5 uur en  14,5 uur.
Dat is een opwarming van 500ºC in 5 uur dus 500ºC in 18000 seconden
Per minuur is dat  500/18000 = 0,02778  ºC per seconde
De werkelijke maximale opwarmsnelheid is 0,06 ºC/sec (aflezen bij 600 ºC in de eerste grafiek)
De werkelijke opwarmsnelheid is dus inderdaad overal kleiner dan de maximale opwarmsnelheid.
   
12. Tussen 0 en 8 uur is de factor tussen de verschillen  70/630 = 0,1111
Dat is in 8 uur, dus g8 = 0,1111  en dan is  g = (0,1111)1/8 = 0,7598
De beginwaarde bij t = 0  is V = 630  dus bij V hoort de formule  V = 630 • 0,7598t 
Als de oven is afgekoeld tot 30ºC is V = 10ºC
10 = 630 • 0,7598t
10/630 = 0,0159 = 0,7598t
t = log(0,0159)/log(0,7598) = 15,08 uur en dat is 905 minuten
   
13. Afstand tussen Wilders en Thieme:
(29-24) + (29-29) + (21-10) + (31-29) + (25-12) + (9-8) + (8-6) + (12-8) + (4-1) + (2-2) + (1-0)
= 5 + 0 + 11 + 2 + 13 + 1 + 2 + 4 + 3 + 0 + 1
= 42
Dat is NIET meer dan tweemaal zo groot als 24.
   
14. NEE dat kan niet.
Begin met twee precies gelijke voorspellingen; dan is de aftand NUL en dat is even.
Als je nu één zetel bij één van beiden verplaatst naar een andere partij dan wordt het verschil bij de ene partij eentje meer maar bij de andere partij eentje minder.
Samen blijft dat dus even.
Maar dat geldt bij ELKE zetel die je verplaatst, dus blijft het verschil ALTIJD even, hoeveel zetels je ook verplaatst.
   
15. Afstand tussen Wilders en de werkelijke uitslag;
(29-21) +  (30-29) +  (15-10) +  (31-29) +  (25-24) +  (10-8) +  (8-5) +  (10-8) +  (2-1) +  (2-2) + (1-0)
= 8 + 1 + 5 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1
= 26
   
16. Bij alle zetels goed (150 goed voorspelde zetels) is de afstand 0.
Dat geeft 150 = a • 0 + b  ofwel  b = 150

Voor Roemer is het aantal juist voorspelde zetels 139.
De afstand tussen Roemer en de werkelijke uitslag is
(27-21) +  (30-30) +  (18-15) +  (31-29) +  (24-15) +  (10-10) +  (7-5) +  (10-10) +  (2-2) + (2-2) + (0-0)
= 6 + 0 + 3 + 2 + 9 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0 = 22

invullen geeft  139 = a • 22 + 150
22a = -11
a = -0,5
   
17. Het aantal wedstrijden is gelijk aan het aantal keer dat een team thuis speelt.
Elk team speelt 17 keer thuis, dus dat is 18 • 17 = 306 keer dat een team thuis speelt.
Er zijn dus 306 wedstrijden.
   
18. Als AZ alle 30 overige wedstrijden haf gewonnen hadden ze 30 • 3  = 90 punten gehad.
Ze hebben 80 punten, dus 10 punten gemist.
Elk gelijk spel geeft 2 punten minder dan een overwinning, dus dat waren 5 gelijke spelen.
Dus 5 keer gelijk en 25 keer gewonnen.
   
19. μtotaal = 17μt + 17μu
 μtotaal = 17(3pt + pg) + 17(3pu + pg)
μtotaal = 51pt + 17pg + 51pu + 17pg
 μtotaal = 51pt + 34pg + 51pu
 μtotaal = 51pt + 34pg + 17pg - 17pg + 51pu
 μtotaal = 51pt + 51pg + 51pu - 17pg
μtotaal = 51(pt + pg + pu) - 17pg   maar wacht eens even......  pt + pg + pu = 1
μtotaal = 51 - 17pg
   
20. μtotaal ≈ 46,6 en  σtotaal ≈ 7,4.
Het gaat om de kans op 80 of meer punten.
Omdat het aantal punten een geheel getal is, moet je de continuïteitscorrectie toepassen.
80 of meer wordt dan  vanaf  79,5
Normalcdf(79.5, 1099, 46.6, 7.4) = 0,0000044
   
21. SRTAT - EDIT en dan:
L1 =  80, 69, 68, 65, .......
STAT-CALC - 1-VAR-Stats (L1)  geeft ergens in die lijst  σ = 15
Dat is inderdaad  groter dan de 7,4.