Diabetesrisicotest.
In de apotheek is voor mensen ouder dan 45 jaar een test verkrijgbaar om het risico op diabetes (suikerziekte) te voorspellen. Dit is een vragenlijst met zeven vragen, onder andere over gewicht en hoeveelheid beweging. Elk antwoord levert een bepaald aantal punten op. Het totale aantal punten is een voorspeller van het risico op diabetes. Zie de volgende tabel. Verborgen diabetes betekent dat iemand zonder het te weten al diabetes heeft of dit binnen vijf jaar krijgt. Voor de duidelijkheid: mensen die al weten dat ze diabetes hebben, doen deze test niet.
aantal punten risico op verborgen diabetes 6 of minder kans 0,02 op verborgen diabetes 7, 8, 9 kans 0,10 op verborgen diabetes 10 of meer kans 0,20 op verborgen diabetes
Een willekeurige groep mensen ouder dan 45 jaar heeft op zeker moment de test gedaan. Het blijkt dat 400 personen een score van 10 punten of meer hebben.
4p.	1.	Bereken, uitgaande van deze tabel, de kans dat 100 of meer van deze 400 mensen verborgen diabetes hebben.
Iemand met een score van 7, 8 of 9 krijgt het advies goed te letten op gewicht en hoeveelheid beweging. Als iemand een score van 10 of hoger heeft, wordt hij doorverwezen naar de huisarts voor verder onderzoek naar diabetes. Veronderstel dat in totaal 12000 mensen ouder dan 45 jaar deze diabetesrisicotest invullen en dat van deze groep 27% een score van 10 of hoger heeft en 29% een score van 7, 8 of 9. Van die 12000 mensen heeft, uitgaande van de kansen in tabel 1, naar verwachting een bepaald gedeelte ook echt verborgen diabetes. Van deze groep met verborgen diabetes wordt slechts een gedeelte doorverwezen naar de huisarts, namelijk alleen die mensen die in de test 10 of meer punten scoren.
6p.	2.	Bereken hoeveel procent van deze groep mensen met verborgen diabetes door deze diabetesrisicotest naar de huisarts doorverwezen wordt.
In 2006 is in Korea een onderzoek gedaan waarbij in totaal 8199 mensen een dergelijke diabetesrisicotest invulden. Er deden geen mensen mee die al wisten dat ze diabetes hadden. Bij deze test waren er slechts twee uitslagen mogelijk: bij 7 punten of meer scoorde iemand positief op de test (dat betekent dat de test aangeeft dat deze persoon diabetes heeft), bij 6 punten of minder scoorde iemand negatief op de test. Na het invullen van de test werden alle 8199 mensen onderzocht op diabetes. De resultaten staan in de volgende tabel.
aantal personen diabetes geen diabetes test positief (7 punten of meer) 125 790 test negatief (6 punten of minder) 474 6810
Zoals te zien is in deze tabel, is het mogelijk dat iemand met een positieve test bij verder onderzoek geen diabetes blijkt te hebben. Ook is het mogelijk dat iemand met een negatieve test toch diabetes blijkt te hebben. Men wil natuurlijk graag dat een test zoveel mogelijk correcte voorspellingen geeft. Het percentage van alle mensen met een bepaalde ziekte die door een test ‘ontdekt’ wordt, heet de sensitiviteit van de test. De sensitiviteit is in dit geval dus het percentage van de mensen met diabetes waarbij de diabetesrisicotest terecht een positieve uitslag geeft. Het percentage van alle mensen zonder de ziekte waarbij de diabetesrisicotest terecht een negatieve uitslag geeft, heet de specificiteit van de test. In formulevorm:
en
3p.	3.	Bereken de sensitiviteit en de specificiteit van deze diabetesrisicotest voor dit onderzoek in Korea.
Bij het onderzoek in Korea scoorde iemand positief op de test bij 7 of meer punten en negatief bij 6 of minder punten. Stel dat men met deze test meer mensen met diabetes zou willen ‘ontdekken’. Men zou dan kunnen besluiten dat bij deze test (met dezelfde 8199 mensen) de uitslag bij 6 of meer punten positief is en bij 5 of minder negatief. Je mag aannemen dat er dan meer mensen met een positieve testuitslag zijn en dat hierbij zowel mensen met als mensen zonder diabetes zitten.
4p.	4.	Toon aan dat de sensitiviteit van de test nu groter is en beredeneer of in deze situatie de specificiteit groter of kleiner geworden is.
Het onderzoek in Korea maakte deel uit van een internationaal onderzoek. Hierbij vulden mensen uit verschillende landen dezelfde diabetesrisicotest in. In Denemarken deden 6271 mensen aan deze test mee. Ook deze mensen wisten niet of ze diabetes hadden. Na afloop werden ook daar alle deelnemers onderzocht op diabetes. Hieruit kon voor Denemarken geconcludeerd worden dat de sensitiviteit 41,8% was en de specificiteit 84,0%. Er bleken in totaal 263 van de 6271 personen diabetes te hebben. Dat is een ander aantal dan het aantal mensen met een positieve uitslag op de diabetesrisicotest.
5p.	5.	Bereken voor het onderzoek in Denemarken hoeveel procent van de mensen met een positieve diabetesrisicotest uiteindelijk diabetes bleek te hebben.

Kosten van betalingsverkeer.
Winkeliers maken kosten bij elke betaling die een klant voor een aankoop doet. Uit een onderzoek van het Hoofdbedrijfschap Detailhandel uit 2002 blijkt dat deze kosten afhangen van de manier waarop de klant zijn aankoop betaalt. Alle bedragen in deze opgave hebben betrekking op het jaar 2002. Om de kosten voor de detailhandel bij contant betalen, pinnen en chippen met elkaar te kunnen vergelijken, is de onderstaande figuur gemaakt. Daarin zie je de kosten voor deze drie betaalmiddelen in grafieken weergegeven. De figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. Langs de verticale as staan de transactiekosten per euro K voor elk type betaling. Die transactiekosten K zijn in euro’s. Langs de horizontale as staat het transactiebedrag B in euro’s
In deze figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat bij een transactiebedrag van € 20 chippen het voordeligst is, namelijk ongeveer € 0,006 per euro. Nu kunnen we de transactiekosten voor een transactie van € 20 chippen berekenen, namelijk (ongeveer) € 0,006 × 20 = € 0,12.
4p.	6.	Bereken met behulp van de figuur het verschil in transactiekosten bij contant betalen en chippen bij een transactiebedrag van € 80.
Bij de grafieken in de figuur kunnen we formules opstellen. Voor contant betalen geldt:
Hierin is Kcont de transactiekosten per euro bij contant betalen in euro’s. Uitgaande van de formule voor Kcont kunnen we een formule opstellen voor de transactiekosten bij contant betalen. Deze kosten geven we aan met TKcont. De formule heeft de vorm TKcont = aB + b
4p.	7.	Laat dit zien en bepaal a en b.
Bij de grafiek van transacties met pinnen kunnen we de volgende formule opstellen:
Hierin is Kpin de transactiekosten per euro bij pinnen in euro’s. Omdat de meeste betalingen contant of per pin uitgevoerd worden, is het snijpunt van Kcont en Kpin belangrijk voor de detailhandel.
3p.	8.	Bereken met behulp van de formules voor Kcont en Kpin bij welke bedragen de transactiekosten per euro voor het pinnen lager zijn dan voor contant betalen. Rond je antwoord af op centen.
De formule voor de transactiekosten per euro bij chippen heeft ook de vorm  Kchip = p + q/B  met p en q constanten.
Op basis van de figuur is vast te stellen of p groter of kleiner is dan 0,00488 en ook of q groter of kleiner is dan 0,0744.
4p.	9.	Beredeneer aan de hand van de figuur, zonder p of q te berekenen, of de waarde van p groter of kleiner is dan 0,00488 en beredeneer vervolgens of de waarde van q groter of kleiner is dan 0,0744.

Piramiden.
Een kunstenaar ontwerpt een kunstwerk. Hij wil een serie piramiden maken, elk met een vierkant grondvlak. Hij wil dat het grondvlak van de opeenvolgende piramiden steeds groter wordt en de hoogte steeds kleiner. In onderstaande figuur zie je de eerste drie piramiden van een mogelijk ontwerp.
De kunstenaar gaat de piramiden uitvoeren in beton. Hij moet dus weten hoeveel beton hij nodig heeft. Daarom rekent hij met de formule voor de inhoud van een piramide. De zijde van het vierkante grondvlak, uitgedrukt in dm, noemt hij x. De hoogte van een piramide in dm noemt hij h. Zie de figuur. De kunstenaar kiest voor een lineair verband tussen h en x en daarvoor gebruikt hij de volgende formule:  h = 9 - ax. Omdat hij nog niet wil vastleggen hoe snel de hoogte afneemt, gebruikt hij de letter a in deze formule. Voor de inhoud van een piramide geldt de volgende formule:    I = 1/3 • oppervlakte grondvlak • hoogte In eerste instantie neemt de kunstenaar a = 1.
3p.	10.	Bereken in die situatie de inhoud van zo’n piramide met een grondvlak van 2,5 bij 2,5 dm.
Als de waarde van a nog niet gekozen is, geldt voor de inhoud van zo’n piramide de volgende formule:
	I  =  1/3 x2 (9 - ax)
Hierin is I de inhoud in dm3 en x de lengte van de zijde van het grondvlak in dm. Als de kunstenaar eenmaal een waarde voor a gekozen heeft, liggen de afmetingen en dus de inhoud van de piramide nog niet vast. Als x verandert, verandert ook de inhoud I. Neem voor de volgende vraag weer a = 1.
4p.	11.	Toon met behulp van differentiëren aan dat de inhoud van zo’n piramide dan maximaal is voor x = 6.
De kunstenaar maakt een nieuw ontwerp. Hij wil de breedte van het grondvlak van de piramiden constant houden en zowel de lengte als de hoogte laten veranderen. In zijn nieuwe ontwerp is de breedte van het grondvlak van een piramide gelijk aan 2 dm en de lengte van dat grondvlak gelijk aan x dm. Voor de hoogte in dm van een piramide neemt hij weer:  h = 9 - ax . Voor de inhoud van een piramide in dit nieuwe ontwerp geldt dan de formule:    I  = 6x - 2/3ax2
3p.	12.	Toon dit aan door deze formule af te leiden uit de gegevens.
De kunstenaar wil nu die waarde van a berekenen waarbij de inhoud van zo’n nieuwe piramide maximaal is als x gelijk is aan 6.
5p.	13.	Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van a geldt dat een piramide van het nieuwe ontwerp voor x = 6 de grootste inhoud heeft.

Bevingen in Japan.
De laatste jaren waren de zeebevingen in de buurt van Japan regelmatig in het nieuws. De zeebeving van 11 maart 2011 met de daaropvolgende tsunami zorgde voor grote problemen bij de kerncentrale Fukushima I. Om de reactoren te koelen, werd zeewater in de reactoren gepompt. Dit water lekte, radioactief geworden, weer terug in zee. Hierdoor raakte vis besmet met radioactief jodium en moest de visvangst tijdelijk worden stopgezet. Radioactief jodium verdwijnt volgens een exponentieel proces. De halveringstijd van radioactief jodium is 8 dagen. Op 6 april 2011 gaven metingen aan dat er 4800 keer de maximaal toegestane hoeveelheid radioactief jodium in het zeewater aanwezig was. De maximaal toegestane hoeveelheid radioactief jodium is 5 becquerel/liter. Op het moment dat de maximaal toegestane hoeveelheid werd bereikt, mocht er weer gevist worden. We gaan ervan uit dat er na 6 april 2011 geen nieuw radioactief jodium meer in zee lekte.
5p.	14.	Bereken na hoeveel dagen er weer gevist mocht worden.
De zeebeving van Sendai in 2011 en de aardbeving van 2004 die een enorme tsunami in de Indische Oceaan veroorzaakte, zijn allebei bevingen met een kracht van 9,0 of meer op de schaal van Richter. De Amerikaan Charles Richter gebruikte seismogrammen om de magnitude (kracht) van een beving te kunnen bepalen. In de figuur zie je een voorbeeld van een seismogram. In dit seismogram zie je de gemeten trillingen van de aarde als uitwijkingen in mm. De grootste uitwijking in het seismogram heet de maximale amplitude.
Om de magnitude van een beving te bepalen, gebruikt men de formule van Richter. Hieronder staat een vereenvoudigde versie daarvan:
		M = log(A) + 3
In deze formule is M de magnitude en A de maximale amplitude in mm. Uit de formule blijkt, dat als de maximale amplitude A tien keer zo groot wordt, de magnitude met 1 eenheid toeneemt.
3p.	15.	Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat  log(10A) + 3 altijd 1 groter is dan log(A) + 3.
Met de formule M = log(A) + 3 kan M berekend worden als A bekend is. Men kan echter ook A berekenen als M bekend is. Dat kan met de formule  A = 0,001 • 10M. Deze laatste formule is af te leiden uit de formule M = log(A) + 3.
3p.	16.	Toon dit aan.
Bij een beving komt heel veel energie vrij. Hierbij wordt een andere formule van Richter gebruikt:
	M = 0,67 • log(E) - 0,9
Hierin is E de energie die vrijkomt in kilojoule en M de magnitude op de schaal van Richter. Een van de naschokken van de aardbeving van 2004 had een maximale amplitude van 120 mm.
5p.	17.	Bereken de hoeveelheid energie die bij deze naschok vrijkwam.

 

 

UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1.	Het is een binomiale verdeling met n = 400 p = 0,20 (10 of meer uit de tabel) P(X ≥ 100) = 1 - P(X ≤ 99) = 1 - binomcdf(400, 0.20, 99) = 0,008595
2.	de 12000 mensen zijn als volgt verdeeld: • score 10 of hoger:  27%  is  3240 mensen, en daarvan hebben 0,20 • 3240 = 648 verborgen diabetes • score 7, 8 of 9:  29%  is 3480 mensen, en daarvan hebben  0,10 • 3480 = 348  verborgen diabetes • score 6 of minder:  12000 - 3240 - 3480 = 5280 mensen, en daarvan hebben 0,02 • 5280 = 105,6 verborgen diabetes. (Dat zijn uiteraard allemaal verwachte aantallen) Er zijn hiervan 648 naar de huisarts verwezen (die van score 10 of hoger) Het totaal was  648 + 348 + 105,6 = 1101,6  dus dat  is  648/1101,6 • 100% = 58,8%
3.	met diabetes en positief zijn 125 mensen. met diabetes in totaal zijn  125 + 474 = 599 mensen sensitiviteit is dan  125/599 • 100% = 20,87% geen diabetes en negatief zijn 6810 mensen geen diabetes zijn in totaal 790 + 6810 = 7600 mensen specificiteit is dan  6810/7600 • 100% = 89,61%
4.	er is een aantal mensen bijgekomen dat positief scoort en diabetes heeft, dus de teller van de sensitiviteit is groter geworden. de noemer is gelijk gebleven, dus de hele breuk is ook groter geworden. er is een aantal mensen bijgekomen dat geen diabetes heeft en positief scoort, dus het aantal mensen dat geen diabetes heeft en negatief scoort is kleiner geworden, dus de teller van de specificiteit is kleiner geworden. de noemer is gelijk gebleven, dus de specificiteit is kleiner geworden.
5.	263 mensen hadden diabetes en de sensitiviteit was 41,8%,  dus  0,418 = x/263 dan is x = 0,418 • 263 = 110 en dat zijn mensen die positief scoorden en diabetes hadden 6271 - 263 = 6008 mensen hadden geen diabetes en de specificiteit was 84,0% dus  0,840 = y/6008 dan is  y = 0,840 • 6008  = 5047 en dat zijn mensen die geen diabetes hebben en negatief scoorden er waren dus 6008 - 5047 = 961 mensen die geen diabetes hadden en positief scoorden in totaal hadden dus  961 + 110 = 1071 mensen een positieve diabetestest en daarvan hadden 110 inderdaad diabetes. Dat is  110/1071 • 100% = 10,27%
6.	Aflezen: B = 80  geeft  Kchip = 0,0025  dus de kosten zijn dan  0,0025 • 80 = 0,20 B = 80  geeft  Kcont = 0,006  dus de kosten zijn dan  0,006 • 80 = 0,48 Dat scheelt  0,48 = 0,20 = 0,28 euro
7.	TK = K • B TK = (0,00488 + 0,0744/B) • B TK = 0,00488 • B  +  0,0744/B • B TK = 0,00488B + 0,0744 dus a = 0,00488  en  b = 0,0744
8.	snijpunt berekenen: 0,00488 + 0,0744/B = 0,00093 + 0,193/B 0,00488 - 0,00093 = 0,193/B - 0,0744/B 0,00395 = 0,1186/B B = 0,1186/0,00395 = 30,0253 = 30,03 De transactiekosten voor pinnen zijn lager vanaf B = 30,03 (het kan uiteraard ook met de GR en dan intersect)
9.	Om de grafiek van  K = p + q/B  te krijgen is de grafiek van  K = 1/B   vermenigvuldigd tov de B-as met factor q (en daardoor q keer zo steil geworden) en vervolgens p omhoog geschoven p geeft dus de horizontale asymptoot. omdat de asymptoot van Kchip lager ligt dan die van Kcont is p < 0,00488 q geeft aan hoe snel de grafiek daalt. omdat de grafiek van Kchip sneller daalt dan de grafiek van Kcont is q > 0,0744
10.	a = 1  geeft  h = 9 - x x = 2,5 geeft dan h = 9 - 2,5 = 6,5 I = 1/3 • 2,5 • 2,5 • 6,5 = 13,54 dm3
11.	I = 1/3x2(9 - x) = 3x2 - 1/3x3 I ' =  6x - x2 I ' = 0   geeft dan  6x - x2 = 0  ⇒  x(6 - x) = 0   ⇒  x = 0  of  x = 6 maximale inhoud bij x = 6
12.	grondvlak is nu 2 bij x  dus oppervlakte is 2x h = 9 - ax I = 1/3 • 2x • (9 - ax) = 2/3x(9 - ax) = 2/3x • 9 - 2/3x • ax  = 6x - 2/3ax2
13.	De afgeleide moet dan nul zijn als x = 6 I ' = 6 - 2/3 • 2ax x = 6  geeft dan  6 - 2/3 • 2a • 6 = 0 6 - 8a = 0 a = 3/4.
14.	Als de halveringstijd gelijk is aan 8 dagen dan is  g8 = 0,5 g = 0,5(1/8) = 0,917 Eindwaarde is 5,  beginwaarde is  4800 • 5 = 24000 y = B • gt  invullen:   5 = 24000 • 0,917t Het mag nu met de GR (intersect) maar het kan natuurlijk ook algebraïsch: 5/24000 = 0,0002083 = 0,917t t = log(0,0002083)/log(0,917) = 97,8 dagen.
15.	log(10A) = log(10) + log(A)  = 1 + log(A)   want log(10) = 10log(10) = 1 Dat is dus één meer dan log(A)
16.	log(A) = M - 3 A = 10M - 3 = 10M  • 10-3 = 10M  • 0,001
17.	M = log(120) + 3 =  5,07918 5,07918 = 0,67 • log(E) - 0,9 5,97918 = 0,67 • log(E) 8,92415 = log(E) E = 108,92415 = 839752129  ≈  840000000  kilojoule
18.	minder dan 2 cm afwijkend is tussen 278 en 282 normalcdf(287, 282, 280, 0.65) = 0,9979 meer dan 2 cm afwijkend is dan 1 - 0,9979 = 0,0021  en dat is  0,21%
19.	er moet gelden:   normalcdf(284, 1099, μ, 0.65) = 0,05 Y1 = normalcdf(284, 10^99, X, 0.65) Y2 = 0,05 intersect geeft  X = 282,93   ≈  283 cm
20.	Als het gemiddelde van de steekproef groter is dan de streefwaarde, dan is Crechts het kleinst. Als het gemiddelde dan verder van de streefwaarde af gaat, dan wordt  (rechtergrens - g)  nog kleiner,  dus Crechts ook (de noemer blijft immers gelijk) dus wordt Crechts kleiner, dus C ook. Precies zo'n verhaal geldt aan de andere kant ook als Clinks de kleinste is. Dus wordt C altijd kleiner.
21.	H0:  μ = 1,25 en σ = 0,25 H1:  μ ≠ 1,25  dus een tweezijdige toets:  neem 0,5α = 5% Meting is het gemiddelde van 50 lampen dus  σ wordt  0,25/√50. Overschrijdingskans:    normalcdf(1.32 ,  1099, 1.25, 0,25/√50) = 0,0238 0,0238 < 0,05  dus  H0 verwerpen er mag WEL geconcludeerd worden dat het gemiddelde niet gelijk is aan 1,25.