VWO  WISKUNDE  B1,  2003 - II
Loterij
Ter gelegenheid van een jubileum organiseert een grote universiteit een loterij. Elke student krijgt één lot. Er vinden twee trekkingen plaats. Bij de eerste trekking wordt bepaald op welke nummers een hoofdprijs van € 500,- valt. Deze nummers worden teruggedaan en uit het totaal worden vervolgens de nummers getrokken waarop een troostprijs van €100,- valt. Op 5% van de loten valt een prijs van €500,- en op 20% van de loten een prijs van €100,-
Op één lot kunnen dus zowel een hoofd- als een troostprijs vallen.

Thomas is één van de studenten die zo'n lot gekregen heeft.
4p 1. Toon aan dat de kans dat Thomas minstens één prijs wint, gelijk is aan 0,24.

 
Een studentenvereniging bestaande uit 20 studenten spreekt af dat ieder lid het gewonnen prijzengeld in de clubkas stort. Aan het eind van het studiejaar zal er dan een activiteit georganiseerd worden die betaald wordt met het prijzengeld.
3p 2. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat minstens acht leden van de studentenvereniging in de prijzen vallen.

 
4p 3. Bereken hoeveel prijzengeld de studentenvereniging bij de twee trekkingen naar verwachting zal winnen.

 
Gebroken functie
Gegeven is de functie:  f(x) = x  + 4/x
5p 4. Bereken langs algebraïsche weg de coördinaten van de toppen van de grafiek van f.

 
V is het gebied dat wordt ingesloten door de lijn y = 5 en de grafiek van f.
6p 5. Bereken met behulp van primitiveren de exacte waarde van de oppervlakte van V.

 
4p 6. Bereken de omtrek van V in twee decimalen nauwkeurig.

 
Vervoer
Een transportonderneming brengt elke dag over een vast traject verse vlaaien van Limburg naar Twente. De tijd die daarvoor nodig is, is normaal verdeeld met een gemiddelde van 2,5 uur en een standaardafwijking van een kwartier. De vlaaien moeten om half negen afgeleverd zijn.
Enerzijds wil de directeur de loonkosten van de chauffeur beperken door hem niet te vroeg te laten vertrekken. Anderzijds kan de directeur zich niet permitteren om op meer dan 5% van de dagen de vlaaien te laat af te leveren.
6p 7. Bereken, in minuten nauwkeurig, hoe laat de chauffeur moet vertrekken.

 
Op zijn dagelijkse ritten is het de chauffeur opgevallen dat er door veel automobilisten veel te hard gereden wordt op de stukken waar de maximumsnelheid van 120 km per uur geldt. Hij is er dan ook niet verbaasd over dat bij een controle blijkt dat 13% van de automobilisten harder rijdt dan 137 km per uur.
Neem aan dat de gereden snelheid normaal verdeeld is met een gemiddelde snelheid van 126 km per uur.
6p 8. Bereken hoeveel procent van de automobilisten zich aan de maximumsnelheid houdt.

 
Migratie
In een bepaalde streek in Frankrijk trekt de oorspronkelijke bevolking weg, omdat de economische situatie daar slecht is. De rust van de streek trekt evenwel buitenlanders aan die er gaan wonen. We nemen aan dat na verrekening van de effecten van sterfte en geboorte het volgende model geldt.
Op 1 januari 1965 wonen er in de streek 150 000 mensen, uitsluitend oorspronkelijke bevolking. Jaarlijks vertrekt 1% van de aanwezige oorspronkelijke bevolking. Vanaf 1 januari 1965 komen er elk jaar evenveel mensen in de streek wonen: de zogenaamde 'instromers'. Dat constante aantal noemen we c. We gaan er in beide gevallen van uit dat het aantal mensen geleidelijk verandert en niet schoksgewijs.
Op een bepaald moment, het 'omslagmoment', zullen er evenveel oorspronkelijke bewoners als instromers in de streek wonen.

Neem bij de vragen 9 en 10 aan dat c = 1000. Zie de figuur hieronder.
6p 9. Bereken in welk jaar het 'omslagmoment' zich voor zal doen.

 
4p 10. Bereken in welk jaar de totale bevolking minimaal zal zijn.

 
De omvang van de totale bevolking van de streek kan zich na 1 januari 1965 op twee manieren ontwikkelen, afhankelijk van de waarde van c:
1. de omvang van de totale bevolking daalt eerst een aantal jaren en stijgt vervolgens, zoals bij c = 1000
2. de omvang van de totale bevolking stijgt direct vanaf het begin, zoals bij c = 2000.
Zie de figuur hieronder.
We gaan er nog steeds van uit dat het aantal mensen geleidelijk verandert en niet schoksgewijs.
5p 11. Bereken voor welke waarden van c de totale bevolking na 1 januari 1965 steeds stijgt.

 
Lissajous-kromme
De baan van een punt P wordt bepaald door de volgende bewegingsvergelijkingen:

zie de volgende figuur.
4p 12. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de x-as.
P passeert de y-as steeds met dezelfde snelheid.
7p 13. Bereken de exacte waarde van deze snelheid.

 
Op het tijdstip t = a bevindt het punt P zich in A en op het tijdstip t = π - a in B, met  0 < a < 1/2π. A en B liggen op een verticale lijn. Zie de figuur hierboven.
6p 14. Bewijs dat de lengte van AB gelijk is aan sin 2a

 
Oppervlaktes
Gegeven zijn de functies:   
De raaklijnen aan de grafieken van f en g met richtingscoëfficiënt 1 en richtingscoëfficiënt -1 sluiten een vierkant in. Zie de figuur hieronder.
7p 15. Bereken de lengte van de diagonaal van dit vierkant.

 
De lijn x = a,  met  a > 0, snijdt de grafiek van  f in C en de grafiek van g in B. De lijn x = -a snijdt de grafiek van  f in D en de grafiek van g in A.
De grafiek van f deelt de rechthoek ABCD in twee stukken met gelijke oppervlaktes. Zie de figuur hieronder.
7p 16. Bereken de waarde van a.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. P(geen prijs) = 0,95 • 0,80 = 0,76
Dus P(minstens één prijs) = 1 - 0,76 = 0,24
   
2. Binomiaal met n = 20,  p = 0,24
P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7) = 1 - binomcdf(20, 0.24 , 7) = 0,083
   
3. Voor één lot geldt de volgende tabel:
prijs 0 100 500 600
kans 0,76 0,19 0,04 0,01

Dat levert gemiddeld  0 • 0,76 + 100 • 0,19 + 500 • 0,04 + 600 • 0,01 = 45 euro op
20 loten zullen dan naar verwachting  20 • 45 = 900 euro opleveren.
   
4. f(x) = x + 4 • x-1  dus  f '(x) = 1 - 4 • x-2
 f '(x) = 0  ⇒  4 • x-2 = 1  ⇒  x-2 = 1/4  ⇒  x = 2  ∨  x = -2 
x = 2 levert  y = 4  en de top  (2,4)
x = -2 levert  y = -4 en de top (-2,-4)
     
5. Het gebied staat hiernaast geschetst.
Snijpunten van de grafieken:
x + 4/x = 5  ⇒  x2 + 4 = 5x ⇒  x2 - 5x + 4 = 0
⇒ (x - 4) • (x - 1)= 0  ⇒  x = 4  ∨  x = 1

= (20 - 8 - 4ln4) - (5 - 1/2 - 4ln1) = 71/2 - 4ln4 = 71/2 - 8ln2

     
6. De lengte van het deel van de grafiek van f is:

Invoeren bij Y1 in de grafische rekenmachine en dan uitrekenen via CALC levert integraal  3,79
De omtrek wordt dan 3,79 + 3 = 6,79
   
7. Hoe lang duren de 5% langste ritten van de chauffeur? Stel X uur of langer
Dan geldt  normalcdf(X , 1E99, 2.5 , 0.25) = 0,05

Y1 = normalcdf(X,1E99,2.5,0.25) en Y2 = 0.05 levert (met bijv. window [2.5 , 3] × [0 , 0.1]) een snijpunt bij  X = 2,91121... en dat is 2 uur en 55 minuten

of:
invnorm(0.95)=1,644 = z = (X - 2.5)/(0.25)  ⇒  X - 2.5 = 0,411  ⇒  X = 2.911...

2 uur en 55 minuten voor half negen is  35 minuten over 5
   
8. Stel de standaarddeviatie X, dan geldt:
normalcdf(137 , 1E99 , 126 , X) = 0,13
Y1 = normalcdf(137, 1E99, 126, X) en Y2 = 0,13 levert (met bijv. window [0,20] × [0,0.2]) een snijpunt bij  X = 9,7657...

of:
invnorm(0,87) = 1,126 = z = (137 - 126)/X  geeft  X = 9,7657...

Hoeveel houden zich aan de maximumsnelheid?
normalcdf(0,120,126,9.7657) = 0,269... en dat is ongeveer 27%
   
9. Voor de oorspronkelijke bewoners geldt:  N = 150000 • 0,99t
Voor de instromers geldt:  N = 1000 • t
Invoeren bij Y1 en Y2 en dan snijpunt bepalen levert  t ≈ 72,43
Dat zal in het jaar 2037 zijn.
   
10. 1e oplossing:
Stel de afgeleide functie gelijk aan nul.  f(t) = 150000•0,99t + 1000•t
Dan is f '(t) = 150000 • ln 0,99 • 0,99t + 1000
150000 • ln 0,99 • 0,99t + 1000 = 0  ⇒  0,99t = -1000 / (150000 • ln 0,99) ≈ 0,6633
 ⇒  t ≈ 40,84  dus in het jaar 2005

2e oplossing:
Y1 = 150000 • 0,99X + 1000X invoeren en dan minimum berekenen.
Geeft X ≈ 40,84 en hetzelfde antwoord.

   
11. Als de functie alsmaar stijgt, moet de afgeleide steeds groter dan nul zijn. 
  f(t) = 150000•0,99t + c • t  ⇒ f '(t) = 150000 • ln 0,99 • 0,99t + c > 0
t = 0 (daar is de afgeleide minimaal) invullen levert 150000 • ln 0,99 > -c  Þ c > 1507,55...
   
12. y = 0  ⇒  sin(2t + 1/3π) = 0  ⇒  2t + 1/3π = 0  (mod 2π)  ∨  2t + 1/3π = π  (mod 2π)
 ⇒  2t = -1/3π (mod 2π)  ∨  2t = 2/3π (mod 2π)
 ⇒  t = -1/6π (mod π)  ∨  t = 1/3π (mod π)
Tussen 0 en 2π (de gemeenschappelijke periode) geeft dat de oplossingen:
 t = 1/3π , 5/6π , 4/3π en 11/6π
Dat levert de snijpunten  (1/2√3 , 0) en (-1/2 , 0) en (-1/2√3 , 0) en  (1/2 , 0) 
   
13. x = 0  geeft  t = 0  ∨  t = π
De snelheid v  is  v = √((x')2 + (y')2) = √ (cos2t + 4 • cos2(2t + 1/3π))
t = 0 levert v = √((1)2 + 4 • (1/2)2) = √2
en t = π zal dan wel dezelfde snelheid leveren.
   
14. A heeft y-coördinaat sin(2a + 1/3π) 
en  B heeft y- coördinaat  sin(2(π - a) + 1/3π) = sin(2π - (2a - 1/3π)) = -sin(2a - 1/3π)
Het verschil daartussen is  sin(2a + 1/3π) - - sin(2a - 1/3π) = sin(2a + 1/3π) + sin(2a - 1/3π)
Uitschrijven met de somformules geeft:
AB = sin 2a • cos1/3π + cos 2a • sin 1/3π + sin 2a • cos 1/3π - cos 2a • sin 1/3π
= 1/2sin2a + 1/2sin2a = sin 2a
   
15. Als de richtingscoëfficiënt -1 is,  is de afgeleide functie -1.
f '= -1  ⇒  1/2x = -1  ⇒  x = -2.  het raakpunt is (-2 ,1) en de raaklijn is de lijn y = -x - 1.
Die snijdt de y-as in het punt (0,-1)
g'= -1 ⇒  8 • x-3 = -1  ⇒  x-3 = -1/8  ⇒  x = -2. Het raakpunt is  (-2 , -1)
en de raaklijn is de lijn y = - x - 3, en die snijdt de y-as in (0,-3)
De diagonaal van het vierkant heeft dus lengte 2. 
   
16. C = (a , 1/2a2) en D = (-a , 1/2a2) en A = (-a , -4/a2) en B = (a , -4/a2)
CD = 2a en  BC = 1/2a2 + 4/a2 dus de rechthoek heeft oppervlakte CD • BC = a3 + 8/a
Het donker gekleurde oppervlak is gelijk aan:

Dus moet gelden  10/12a3 = 1/2a3 + 4/a  ⇒  4/12a3 = 4/a  ⇒  a4 = 12  ⇒ a = 4√12