VWO WB1  2005 - I
Inademen
Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen.
Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse lucht in de longen een functie van de tijd.
Voor gezonde mensen gebruiken we het volgende model:  L(t) = 3,6 • (1 - e-2,5t )
Hierbij is L de hoeveelheid verse lucht in liters en t  de tijd in seconden (0 ≤ t ≤ 5).

De maximale hoeveelheid verse lucht in de longen van gezonde mensen is volgens dit model ongeveer 3,6 liter.
3p

1.

 Bereken na hoeveel seconden 90% van deze maximale hoeveelheid verse lucht is ingeademd.
 
Astma is een aandoening van de luchtwegen. Bij astmapatiënten is de maximale hoeveelheid verse lucht in de longen kleiner en duurt het langer voor dit maximum bereikt wordt. Voor astmapatiënten gebruiken we het model: 
Lα(t) = α • 3,6(1 - e -2,5αt)
Hierbij is α een constante tussen 0 en 1 die afhankelijk is van de zwaarte van de astma.
In de figuur hiernaast is de grafiek van de hoeveelheid ingeademde verse lucht getekend voor een gezond persoon en voor een zekere astmapatiënt.
4p

2.

 Bereken voor deze astmapatiënt α in één decimaal nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.

 
Een gezond persoon heeft na 2 seconden al 99% van de maximale hoeveelheid verse lucht van 3,6 liter ingeademd.
Voor een bepaalde astmapatiënt geldt  α = 0,3
4p

3.

 Bereken hoeveel procent van de maximale hoeveelheid verse lucht deze astmapatiënt na 2 seconden heeft ingeademd.

 
Ga bij de volgende vraag weer uit van de formule  Lα(t) = α • 3,6(1 - e -2,5αt)
De snelheid waarmee de hoeveelheid verse lucht toeneemt is maximaal op het tijdstip t = 0
5p

4.

 Bereken voor welke waarde van α deze maximale snelheid gelijk is aan 4,5 liter per seconde.

 
Lichaamsgewicht
Het gewicht van volwassen Nederlanders is bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde 76 kg en standaardafwijking 10 kg. In deze opgave werken we met deze normale verdeling.

Bij een onderzoek worden 1200 personen gewogen.
3p

5.

 Bereken de verwachtingswaarde van het aantalproefpersonen met een gewicht tussen 66 en 86 kg.

 
5p

6.

 Bereken de kans dat van twee willekeurig gekozen personen er één zwaarder is dan 82 kg en één lichter dan 82 kg.

 
Rechthoek om driehoek

Een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 30º (1/6π radialen) en twee zijden van lengte 1 wordt op een rechthoekig blaadje papier gelegd met de top in een hoekpunt van het papier. Zie de figuur hierboven. Vervolgens wordt door elk ander hoekpunt van de driehoek een lijn getrokken evenwijdig aan een rand van het blaadje. Door de getekende lijnen en de randen van het blaadje papier wordt zo een rechthoek gevormd.

In de figuur hierboven is voor vijf verschillende posities van de driehoek de bijbehorende rechthoek getekend.
In de figuur hiernaast zijn voor een willekeurige situatie letters bij de hoekpunten gezet.
Om driehoek ABC met tophoek A is rechthoek APQR gevormd.
Bij elke stand van driehoek ABC hoort een hoek PAB. Noem de grootte van deze hoek x radialen.
Dus ∠PAB = x met  0 ≤ x ≤ 1/3π.
Verder is AB = AC = 1 en ∠BAC = 1/6π
3p

7.

 Bereken voor welke waarde van x rechthoek APQR een vierkant is.

 
De oppervlakte van rechthoek APQR is een functie van x en wordt aangegeven met O(x)
Er geldt:  O(x) =  cosx • cos(1/3π - x)
4p

8.

 Toon dit aan

 
Voor de afgeleide functie van O geldt:  O'(x) = sin(1/3π - 2x)
5p

9.

 Toon dit langs algebraïsche weg aan.

 
4p

10.

 Bereken de exacte waarden die O(x) kan aannemen.
De badkuipkromme
Bij veel in massaproductie vervaardigde apparaten is de levensduur afhankelijk van het toeval. Bij de modellering daarvan onderscheidt men vaak drie tijdsintervallen:
• een korte beginperiode waarin fabricage- en materiaalfouten aan het licht komen; er gaan dan relatief veel apparaten stuk.
• een (lange) normale werkperiode waarin slechts weinig apparaten stukgaan.
• een korte eindperiode, waarin vrijwel alle apparaten door veroudering en slijtage stukgaan.

De figuur hieronder illustreert  een wiskundig model dat voor de analyse van de levensduur van een bepaald type apparaten gebruikt wordt. Het gaat om apparaten waarbij de begin- en eindperiode beide ongeveer een half jaar duren en de normale werkperiode ongeveer 10 jaar bedraagt. De apparaten worden maximaal 11 jaar oud.

Op de horizontale as van deze figuur staat de tijd t, gemeten in jaren. De figuur toont de grafiek van een functie f waarvoor geldt dat de oppervlakte onder de grafiek op het interval 0 ≤ t ≤ 11 gelijk is aan 1. Voor ieder tijdstip a tussen 0 en 11 jaar is de kans dat een willekeurig apparaat stukgaat vóórdat het een leeftijd van a jaren heeft bereikt, gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van f tussen de tijdstippen t = 0 en t = a. In bovenstaande figuur is die oppervlakte voor a = 1 grijs aangegeven. De grafiek van f wordt vanwege de vorm een badkuipkromme genoemd.
In dit geval heeft de badkuipkromme de volgende eigenschappen:
• de grafiek is symmetrisch in de lijn t = 5,5
• de oppervlakte onder de grafiek tussen t = 0 en t = 1 is ongeveer gelijk aan 0,14.
• de grafiek loopt tussen t = 1 en t = 10 ongeveer horizontaal.
4p

11.

 Bereken met behulp van bovenstaande eigenschappen de kans dat een apparaat een levensduur bereikt tussen 2 en 7 jaar.
Zie de figuur hiernaast.

 
De kans op stukgaan tussen 0 en a jaar (met  0 ≤ a ≤ 11) noemen we F(a). Dus F(1) ≈ 0,14.
5p

12.

 Schets de grafiek van F. Licht je werkwijze toe. De grafiek moet in overeenstemming zijn met de hierboven genoemde eigenschappen van de badkuipkromme.

 
Voor de badkuipkromme van de figuren hierboven geldt het functievoorschrift: f(t) = 0,08 + 2 • 10-23 • (t - 5,5)30
3p

13.

 Bereken met behulp van dit functievoorschrift de kans op stukgaan tijdens het eerste halfjaar.

 
De fabrikant geeft één jaar garantie op het apparaat. Als het binnen één jaar stukgaat wordt het gratis vervangen door een nieuw exemplaar. Ook dat kan binnen een jaar stukgaan, waarna ook dat exemplaar gratis wordt vervangen, enzovoort.
Iemand koopt vier van deze apparaten.
5p

14.

 Bereken de kans dat precies één keer een apparaat van deze persoon gratis wordt vervangen door een nieuw exemplaar.

 
Als de gemiddelde levensduur van een apparaat 5,5 jaar is, geldt voor het trekken van een aselecte steekproef van 150 apparaten: de gemiddelde levensduur van de 150 apparaten in de steekproef is bij benadering normaal verdeeld met verwachtingswaarde 5,5 jaar en standaardafwijking 0,285 jaar.

Van een groep van 150 aselect gekozen apparaten bleek de gemiddelde levensduur slechts 5,1 jaar te zijn.
5p

15.

 Geeft dit voldoende aanleiding om de veronderstelde gemiddelde levensduur van een apparaat naar beneden bij te stellen? Neem een significantieniveau van 10%

 
Richtingen
Gegeven is de functie  f(x) = -0,01x3 + 0,1x2 + x

In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend.

De raaklijn in de oorsprong aan de grafiek van f  gaat door een top van de grafiek van f .
6p

16.

 Toon dit langs algebraïsche weg aan.
Verder is gegeven het punt A(0, 4)
Voor elk punt P(x, f(x)) op de grafiek van  f  tussen de punten  O(0,0) en  (10,10) bekijken we de lijn AP.
4p

17.

 Bereken de x-coördinaat van het punt P waarbij de lijn AP de grootste richtingscoëfficiënt heeft.

 
Onafhankelijk van n
De grafieken van y = 1/2x2 en  y = x sluiten een gebied G in. Door dit gebied G te wentelen om de x-as ontstaat een omwentelingslichaam.
6p

18.

 Bereken de exacte waarde van de inhoud van dit omwentelingslichaam.

 
Voor n = 1, 2, 3, ...  bekijken we het vierkant OQnPnRn waarvan twee zijden langs de coördinaatassen vallen en waarvan het punt Pn(n, n) een hoekpunt is.
De grafiek van de functie  y = 1/nx2 gaat door O en door Pn. In de figuur hiernaast is dat voor n = 1,  n = 2, n = 3 en n = 4 getekend.

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van y = 1/nx2 in het punt Pn is onafhankelijk van n

3p

19.

 Toon dit aan.

 
De grafiek van y = 1/nx2 verdeelt het vierkant OQnPnRn in twee stukken V en W.
Zie de figuur hiernaast.

De verhouding van de oppervlakten van V en W is onafhankelijk van n

6p

20.

 Toon dit aan

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 90% van 3,6 is 3,24  ⇒  3,24 = 3,6(1 - e-2,5t ) ⇒  1 - e-2,5t = 0,9  ⇒  e-2,5t = 0,1  ⇒   -2,5t = ln(0,1)
 ⇒  t = ln(0,1)/-2,5 ≈ 0,92
2. de lijn van de astmapatiënt loopt naar ongeveer L = 2,2
3,6α = 2,2  ⇒  α ≈ 0,6
3. L(2) = 0,3 • 3,6 • (1 - e-2,5 • 0,3 • 2 ) ≈ 0,84
De maximale hoeveelheid is 0,3 • 3,6 = 1,08 dus dat is 0,84/1,08 • 100% ≈ 78%
4. De snelheid is de afgeleide:  L '(t) = 3,6 • α • (-e -2,5αt ) • -2,5α = 9α2 • e -2,5αt 
L'(0) = 9α2 = 4,5  ⇒  α2 = 0.5  ⇒  α ≈ 0,71
5. normalcdf(66, 86, 76, 10) ≈ 0,6827.  Dus dat zijn 0,6827 • 1200 = 819 personen
6. P(zwaarder dan 82 kg) = normalcdf(82, ∞ , 76, 10) ≈ 0,2743
P(lichter dan 82 kg) = 1 - 0,2743 = 0,7257
P(één zwaarder en één lichter) = P(ZL) + P(LZ) = 0,2743 • 0,7257 + 0,7257 • 0,2743 ≈ 0,40
7. Bij een vierkant is de figuur symmetrisch in lijn AQ, dus is ∠RAC = ∠BAP
Samen met ∠BAC vormen deze drie een rechte hoek.
Daarom is  ∠RAC = ∠BAP = 1/6π
8. Teken de lijn van C loodrecht op AP. Dat geeft punt R. Dan geldt  sin(1/6π + x) = CR = QP
Verder in driehoek ABP:  AP = cosx
AP • QP = cosx • sin(1/6π + x)
omdat sinα = cos(1/2π - α) geldt sin(1/6π + x) = cos(1/2π -  (1/6π + x) ) = cos (1/3π - x)
Daarmee is de formule bewezen.
9. O'(x) = -sinx • cos (1/3π - x) + cosx • -sin(1/3π - x) • -1 = cosx • sin(1/3π - x) - sinx • cos (1/3π - x)
=  sin(1/3π - x - x) = sin(1/3π - 2x)
10. O'(x) = 0  ⇒  sin(1/3π - 2x) = 0  ⇒  1/3π - 2x = 0 (mod 2π)  ∨  1/3π - 2x = π  (mod 2π)
⇒  2x = 1/3π  (mod 2π)  ∨  2x = -2/3π  (mod 2π)
⇒  x =  1/6π  (mod π)  ∨  x = 2/3π (mod π)
x =  1/6π  geeft  O = 3/4
x = 2/3π valt af omdat 0 ≤ x ≤ 1/3π
x = 0 geeft  O = 1/2  en  x = 1/3π  geeft  O = 1/2
Conclusie:  O zit in het interval [1/2 , 3/4]
11. Tussen 0 en 1 jaar is 0,14, dus tussen 10 en 11 ook.
Voor de oppervlakte tussen 1 en 10 blijft dus 1 - 0,14 - 0,14 = 0,72 over
De oppervlakte tussen 2 en 7 is daar  5/9 deel van  dus 0,40
12. De grafiek moet door (1, 0.14) en (10, 0.86) gaan
Daartussen is het lineair.
tussen 0 en 1 is er afnemende stijging, tussen 10 en 11 toenemende stijging.
13.
= (0,0370) - (-0,0577) = 0,0947
(maar het kan natuurlijk ook met de GR)
14. Dan moet er precies één van de vier kapot gaan, en zijn vervanger niet.
P(één van de vier kapot) = 4 • 0,14 • 0,863 
P(vervanger niet) = 0,86
samen geeft dat 4 • 0,14 • 0,863 • 0,86 = 0,31
15. H0:  μ = 5,5 en σ = 0,285
H1:  μ < 5,5  (de toets is éénzijdig)
 α = 0,10
De meting was  x = 5,1
overschrijdingskans:  normalcdf(0, 5.1, 5.5, 0.285) = 0,08
Dat is kleiner dan 0,10 dus H0 moet verworpen worden; Er is inderdaad voldoende aanleiding
16. f '(x) = -0,03x2 + 0,2x + 1
f '(x) = 0  ⇒  (ABC-formule met a = -0,03 en b = 0,2 en c = 1)  ⇒  x = -31/3  ∨  x = 10
De top is het punt (10,10)

f '(0) = 1 dus de raaklijn heeft formule  y = x
Die gaat inderdaad door (10,10)  

17. De helling van AP is Δy/Δx = -0,01x2 + 0,1x + 1 - 4/x
Calc - Maximum geeft  x ≈ 8,07 en y ≈ 0,66
De x-coördinaat is dus ongeveer 8,07
18. Snijpunt:  1/2x2 = x  ⇒  x = 0  ∨  x = 2

= π • (16/15 - 0) = 16/15π
19. punt P:  1/nx2 = x  ⇒  x = 0  ∨  x = n  en de laatste hoort bij punt P.
Helling  y ' = 2/nx  dus  y '(n) = 2/n • n = 2 en dus onafhankelijk van n
20. voor de oppervlakte van W geldt:

Dan is de oppervlakte van V gelijk aan  n2 - 1/3n2 = 2/3n2
De verhouding is dan  1 : 2 en onafhankelijk van n