Nieuwe pagina 1

Twee benaderingen van sin x

Met domein [0, π] is gegeven de functie f(x) = sin x
De grafiek van f snijdt de x-as in O en A en heeft als top T.
Zie de figuur hiernaast.

Gegeven is verder de tweedegraadsfunctie g(x) = ax(x - π), eveneens met domein [0, π]
In de vragen 1 en 2 nemen we a = ^-4/_π2
De grafieken van f en g lijken dan erg op elkaar.

Toon aan dat ook de grafiek van g door O, A en T gaat.

In O is de helling van de grafiek van g groter dan de helling van de grafiek van f

Toon dit aan met behulp van differentiëren.

Een andere benadering voor de grafiek van f krijgen we als we a zodanig kiezen dat geldt:

Bereken in dit geval de exacte waarde van a

Eén, twee of drie keer testen

Bij een experiment doen proefpersonen een test. Zodra de test succesvol is is de proefpersoon klaar. Als de eerste test niet succesvol is doet de proefpersoon een tweede test. Als dien tweede test ook niet succesvol is doet de proefpersoon een derde test. Een proefpersoon doet hoogstens drie keer een test. We nemen aan dat elke keer dat een test gedaan wordt de kans op succes 0,3 is, onafhankelijk van eventuele vorige testen. De verwachtingswaarde van het aantal keren dat een proefpersoon een test doet is 2,19.

4p	4.	Toon dat aan.

Voor het experiment is €10000,- beschikbaar. Men betaalt elke proefpersoon €100,- voor zijn deelname aan het experiment. De kosten per test bedragen €50,- Men wil zoveel mogelijk proefpersonen laten meedoen.

4p	5.	Bereken hoeveel proefpersonen men naar verwachting aan dit experiment kan laten deelnemen.

5p	6.	Bereken de kans dat van tien proefpersonen meer dan de helft na drie keer testen nog geen succes heeft.

Reistijd

Een boot vaart op een rivier van A naar B en terug. De afstand tussen A en B is 10 km. De boot vaart altijd met een snelheid van 20 km/uur ten opzichte van het water. De rivier stroomt in de richting van A naar B. Zie de figuur hiernaast.

Tijdens de reis van de boot van A naar B en terug is de stroomsnelheid van de rivier constant. We noemen de stroomsnelheid v (in km/uur)

Een voorbeeld: als v = 5 dan vaart de boot op de heenreis met een snelheid van 25 km/uur ten opzichte van de oever en op de terugreis met een snelheid van 15 km/uur ten opzichte van de oever.
De totale reistijd T van de retourtocht wordt gegeven door:

Hierbij is T in uren en v in km/uur met 0 < v < 20.

Toon aan dat deze formule juist is.

Bereken bij welke waarde van v de totale reistijd van een retourtocht 2 uur is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Als de stroomsnelheid van de rivier groter wordt neemt de totale reistijd van een retourtocht toe.

Toon dit aan met behulp van de formule van de afgeleide functie van T.

Veronderstel dat v varieert tussen 0 en 10 km/u. en dat alle waarden van 0 tot en met 10 even vaak voorkomen. De gemiddelde reistijd kun je dan benaderen door T uit te rekenen voor v = 0, v = 0.1, v = 0.2, v = 0.3, enzovoort tot en met v = 10 en van de reistijden het gemiddelde te nemen.

10.

Bereken de gemiddelde reistijd met deze benaderingswijze. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

Je kunt de gemiddelde reistijd ook uitrekenen met een integraal.

11.

Toon langs algebraïsche weg aan dat de gemiddelde reistijd gelijk is aan ln3 uur.

Maximumsnelheid

De snelheidsmeter van een auto geeft meestal niet precies aan wat de werkelijke snelheid is waarmee de auto rijdt. Voor een bepaald type snelheidsmeter geldt het volgende: als de snelheidsmeter een snelheid van v km/u aangeeft is de waarde van de werkelijke snelheid normaal verdeeld, waarbij het gemiddelde gelijk is aan v en de standaardafwijking gelijk is aan 1,5% van dat gemiddelde. Bij snelheidscontrole wordt een marge aangehouden van 3%. Dus bijvoorbeeld bij een maximumsnelheid van 100 km/u wordt er beboet bij snelheden van 103 km/u en hoger. Van een auto is de snelheidsmeter van bovenstaand type. De bestuurder rijdt volgens de meter steeds met precies de toegestane maximumsnelheid. Stel dat de toegestane maximumsnelheid 70 km/u is. De kans dat de werkelijke snelheid van de bestuurder zo groot is dat hij voor een boete in aanmerking komt is dan, afgerond op 3 decimalen, gelijk aan 0,023.

4p	12.	Toon dit aan.

De kans dat hij in aanmerking komt voor een boete is bij elke toegestane maximumsnelheid even groot

4p	13.	Toon dit aan

De bestuurder passeert in een jaar 200 keer een elektronisch bord dat waarschuwt wanneer men te hard rijdt, dat wil zeggen wanneer men de boetegrens overschrijdt. De kans dat de bestuurder voor een boete in aanmerking komt is telkens 0,023.

4p	14.	Bereken de kans dat de bestuurder van die 200 keer meer dan 2 keer gewaarschuwd wordt.

Achtervolging

Op tijdstip t = 0 beginnen de punten P en Q met een eenparige cirkelbeweging.
De bewegingsvergelijkingen zijn:


voor P:			en voor Q:

Hierbij is t in seconden en zijn x(t) en y(t) in centimeters.
In de figuur hiernaast staat de beginsituatie op schaal getekend.

Tijdens de beweging wordt Q telkens door P ingehaald.

17.

Bereken na hoeveel seconden Q voor het eerst door P wordt ingehaald.

Op een bepaald tijdstip heeft P over de cirkel een afstand van 20 cm afgelegd.

18.

Teken in de figuur hierboven de plaats van P op dit tijdstip. Licht je werkwijze toe.

Het punt M is het midden van lijnstuk PQ.
De coördinaten van M zijn:

De bewegingsvergelijkingen van M zijn van de vorm:

19.

Geef een formule voor j uitgedrukt in t. Licht je antwoord toe.

OPLOSSINGEN

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	O = (0,0) en g(0) = 0 A = (π, 0) en g(π) = 0 T = (¹/₂π, 1) en g(¹/₂π) = ^-4/_a2 • ¹/₂π • (¹/₂π - π) = 1

2.	g(x) = ^-4/_π2 • x²+ ⁴/_px g'(x) = ^-⁸/_π2 • x + ⁴/_π dus g'(0) = ^-4/_πf'(x) = cosx dus f '(0) = 1 -⁴/_π > 1

3.	= (¹/₃aπ³ - ¹/₂aπ³ - 1) - (1) = -¹/₆aπ³ - 2 = 0 ⇒ a = - ¹²/_π3

4.	P(1 test) = 0,3 P(2 testen) = 0,7 • 0,3 = 0,21 P(3 testen) = 0,7 • 0,7 = 0,49 Gemiddelde is 1 • 0,3 + 2 • 0,21 + 3 • 0,49 = 2,19

5.	Per persoon zal het gemiddeld 100 + 2,19 • 50 = €209,50 kosten ¹⁰⁰⁰⁰/_209,50 = 47,7 dus zijn maximaal 47 personen mogelijk.

6.	De kans dat iemand na drie keer testen geen succes heeft is 0,7³ = 0,343 Voor 10 personen geldt dan de binomiale verdeling met n = 10 en p = 0,343. De kans op meer dan 5 is 1 - kans op 5 of minder. 1 - binomcdf(10, 0.343, 5) ≈ 0,087

7.	Snelheid van A naar B is 20 + v, dus de tijd is ¹⁰/_{(20 + v)} Snelheid van B naar A is 20 - v, dus de tijd is ¹⁰/_{(20 - v)} Dezen bij elkaar optellen geeft de gevraagde formule.

8.	¹⁰/_{(20 + v)}^{+ 10}/_{(20 - v)}= 2 ⇒ 10(20 - v) + 10(20 + v) = 2(20 - v)(20 + v) ⇒ 200 - 10v + 200 + 10v = 800 - 2v² ⇒ 2v² = 400 ⇒ v² = 200 ⇒ v = √200 ≈ 14,14 km/u (de oplossing v = -√200 valt uiteraard af). het kan uiteraard ook allemaal met de GR via intersect...

9.	T = 10(20 + v)^-1 + 10(20 - v)^-1 T' = -1 • 10(20 + v)^-2 - 1 • 10 • (20 - v)^-2 • -1 In de noemer staan allemaal kwadraten, dus die is altijd positief. De teller is ook altijd positief omdat v > 0 Dus is de hele breuk altijd positief.

10.	T(0) + T(0.1) + ... + T(10) moet uitgerekend worden, en dan gedeeld door 101. u(n) = u(n - 1) + ¹⁰/_{(0,1n + 20)} + ¹⁰/_{(20 - 0,1n)} Voer deze in de GR in bij MODE - Seq en dan Y= nMin = 0, u(n) als hierboven, u(nMin) = 1 De som staat nu in de tabel bij u(100) en is ongeveer gelijk aan 111,03 Delen door 101 geeft 1,0993 uur dus dat is ongeveer 66 minuten.

11.	= (ln(30) - ln(10)) - (ln20)-ln(20)) = ln30 - ln10 = ln(³⁰/₁₀) = ln3

12.	P(boete) = P(v > 72,1) = normalcdf(72.1, ∞ , 70, 1.05) ≈ 0,02275 ≈ 0,023

13.	z = ^{(x - μ)}/_σ Noem de maximumsnelheid v, dan geldt: x = 1,03 • v en μ = v en σ = 0,015v Dat geeft z = ^{(1,03v - v)}/_(0,015v) = ^0,03v/_0,015v = 2 Omdat z altijd gelijk is, is de oppervlakte onder de klokvorm dat ook.

14.	binomiale verdeling met n = 200, p = 0,023 P(meer dan 2) = 1 - P(2 of minder) = 1 - binomcdf(200, 0.023, 2) ≈ 0,84

15.	Lijn AB gaat door (0,1) en (1, ¹/_e) en heeft vergelijking y = (¹/_e - 1)x + 1 = (¹/_2e - ¹/₂ + 1 + ¹/_e) - (0 + 0 + 1) = ³/_2e - ¹/₂

16.	De helling van AB is ^{(1/e - 1)}/_{(1 - 0)}= ¹/_e - 1 f '(x) = -e ^-^x -e ^-^x = ¹/_e - 1 ⇒ *^-1/_ex* = ^(1-e)/_e** ⇒ e^x= ^e/_{(e - 1)} ⇒ x = ln(^e/_{e - 1}) ≈ 0,46 Maar deze laatste regel mag natuurlijk ook met de GR (intersect)...

17.	x_P = x_Q ⇒ ¹¹/₁₀t = t + ²/₃π ∨ ¹¹/₁₀t = 2π - t - ²/₃π ⇒ t = ²⁰/₃π ∨ t = ⁴⁰/₆₃π y_P = y_Q ⇒ ¹¹/₁₀t = t + ²/₃π ∨ ¹¹/₁₀t = π - t - ²/₃π ⇒ t = ²⁰/₃π ∨ t = ¹⁰/₆₃π De eerste t die gelijk is, is t = ²⁰/₃π ≈ 21 sec. Op de natuurkunde manier: de periode van P is ¹⁰/₁₁ • 2π dus in ²⁰/₁₁π sec draait P over 2π rad, dat is ²/_20/11 = 1,1 rad/sec de periode van Q is 2π dus in 2π sec draait Q over 2π rad, dat is 1 rad/sec per seconde loopt P dus 0,1 rad in. P moet in totaal ²/₃π rad inhalen, dus dat kost ²⁰/₃π seconden.

18.	De omtrek van de cirkel is 2π • 5 = 10π cm 10π cm komt overeen met 360º, dan komt 20 cm overeen met ^{(20 • 360)}/₍₂_π₎ ≈ 229º

19.	x_M =¹/₂ • ( 5cos ¹¹/₁₀t + 5cos(t + ²/₃π)) = 2,5 • (cos ¹¹/₁₀t + cos(t + ²/₃π)) = = 5 • cos(²¹/₂₀t + ¹/₃π) • cos(¹/₂₀t - ¹/₃π) Op dezelfde manier: y_M = 5 • sin(²¹/₂₀t + ¹/₃π) • cos(¹/₂₀t - ¹/₃π) Kennelijk moet gelden φ = 5cos(¹/₂₀t - ¹/₃π)

VWO WB1, 2005 - II