VWO WB1, 2008 - II

 

Een exponentiële functie

De functie f is gegeven door f(x) = e−2x.  A is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. B is het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in A met de x-as. Zie de volgende figuur.

4p. 1. Bereken exact de x-coördinaat van B
 

In de volgende figuur is voor een waarde van p het vlakdeel grijs gemaakt dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de lijn x = p, de x-as en de y-as.

5p. 2.

Toon aan dat de oppervlakte van dit vlakdeel voor elke positieve waarde van p kleiner is dan 1/2 .

 

De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f door deze over een afstand a omlaag te schuiven, met 0 < a < 1. De grafiek van g heeft zowel een snijpunt met de x-as als met de y-as.
6p. 3. Bereken voor welke waarde van a deze snijpunten even ver van O(0, 0) liggen.

 

 

Looptijden.

Een gepensioneerde man bezoekt elke dag zijn hoogbejaarde moeder in een verzorgingstehuis. Daarvoor maakt hij dagelijks een wandeling van 2,1 km. De looptijd T van zijn wandeling is bij benadering normaal verdeeld met verwachtingswaarde 28 minuten en standaardafwijking 2,5 minuten.

Voor de gemiddelde loopsnelheid v tijdens de wandeling geldt:

Hierbij is T in minuten en v in km/uur.

De man maakt de wandeling 7 keer per week.
5p. 4.

Bereken op hoeveel dagen per week naar verwachting zijn gemiddelde loopsnelheid groter is dan 5,0 km/uur.

 

We bekijken het volgende vermoeden:
v is normaal verdeeld met verwachtingswaarde 126/28 = 4,5 km/uur.

Als een toevalsvariabele X normaal verdeeld is met verwachtingswaarde μ, geldt voor elke waarde
van a: P(X < μ − a) = P(X > μ + a). Zie de volgende figuur.

Als we een waarde van a kunnen vinden waarvoor P(v < 4,5 − a) niet gelijk is aan P(v > 4,5 + a) , dan geldt dat v niet normaal verdeeld is met verwachtingswaarde 4,5.
5p. 5.

Toon met een berekening aan dat het vermoeden dat v normaal verdeeld is met verwachtingswaarde 4,5 km/uur niet juist is.

 

 

Een zwaartepunt.

Van een cirkelschijf met middelpunt (0, 0) en straal 1 is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie f die gegeven is door f (x) = 1− x2 op het domein [0, 1]. Zie de bovenste figuur hiernaast.

We wentelen het kwart van de cirkelschijf om de x-as. Het omwentelingslichaam dat dan ontstaat is een halve bol. Zie de onderste figuur hiernaast.

Het zwaartepunt van de halve bol ligt op de positieve x-as

Voor de x-coördinaat xZ van dit zwaartepunt geldt:

xZ = M/V ,  met

V is de inhoud van de halve bol.

De inhoud van een bol met straal r is gelijk aan 4/3πr3 .

     
6p. 6. Bereken xZ exact.

 

 

Rechthoek in ovaal.

Het ovaal in onderstaande figuur bestaat uit een vierkant van 2 bij 2 met aan weerszijden een halve cirkel met straal 1. M is het middelpunt van een van de halve cirkels.

In het ovaal wordt een rechthoek ABCD getekend met de hoekpunten op de halve cirkels en met de zijden evenwijdig aan de zijden van het vierkant.  ∠MAB = α rad (0 < α < 1/2π). Zie volgende figuur. Hierin is de rechthoekige driehoek AMS te zien met rechthoekszijden sinα en cosα .

De oppervlakte O van rechthoek ABCD kan uitgedrukt worden in α. Er geldt: O = 2sin 2α + 4sin α.
4p. 7. Toon aan dat deze formule juist is.

 
Er geldt:  dO/dα = 8 • cos 11/2α • cos 1/2α.
4p. 8.

Toon aan dat de formule voor  dO/dα  juist is.

 

Er is een waarde van α, met 0 < α < 1/2π, waarvoor de oppervlakte van rechthoek ABCD maximaal is.
4p. 9.

Bereken langs algebraïsche weg de maximale oppervlakte van rechthoek ABCD.

 
Een dobbelspel.

De personen K en L spelen een dobbelspel. Elk van de spelers begint met twee fiches; de pot is dan nog leeg. Bij het spel wordt geworpen met speciale dobbelstenen: op vier kanten van zo'n dobbelsteen staat een stip (•), op één kant een A en op één kant een P.  Zie figuur.

De spelregels zijn:
- De spelers werpen om de beurt met één of twee dobbelstenen.
- De speler die aan de beurt is, werpt met één dobbelsteen als hij één fiche heeft en met twee dobbelstenen als hij twee of meer fiches heeft.
- Voor elke A die een speler werpt, moet hij 1 fiche aan de andere speler geven.
- Voor elke P die een speler werpt, moet hij 1 fiche in de pot doen.
- Voor een stip (•) hoeft hij geen fiche af te geven.
- Wanneer een speler geen fiches meer heeft, heeft hij verloren (en de andere speler gewonnen).

Hiernaast staat een mogelijk spelverloop waarbij speler K is begonnen. In zijn tweede beurt werpt speler K met één dobbelsteen want hij heeft nog maar één fiche.

Neem aan dat speler K begint.

De kans dat speler K na zijn eerste beurt nog 1 fiche heeft en L dan 3 fiches heeft, is 2/9.

3p. 10. Toon dit aan.

 

Op een gegeven moment heeft K 2 fiches, L 1 fiche en de pot 1 fiche. Op dit moment is L aan de beurt.
4p. 11.

Bereken de kans dat, na deze beurt van L, K nog één beurt krijgt en het spel daarna afgelopen is.

 

Een toeschouwer heeft het spel met de computer heel vaak gesimuleerd. Op grond van het resultaat beweert hij dat de speler die begint, 43% kans heeft om het spel te winnen en de andere speler 57%.
De spelers K en L spelen het spel tien keer, waarbij speler K steeds begint. Veronderstel dat de toeschouwer gelijk heeft.
6p. 12. Bereken de kans dat een van beide spelers minstens zeven keer wint.

 

 

Dozen met vaste inhoud.

Uit een lange strook karton met een breedte van 15,0 dm worden dozen gemaakt met vierkante bodem en deksel en rechthoekige zijkanten. Daartoe wordt het karton verknipt in rechthoeken waarvan de breedte gelijk is aan 15,0 dm en de lengte afhangt van de gewenste hoogte van de doos. We noemen de hoogte van de doos in dm x.
Zo’n rechthoekig stuk karton wordt op acht plaatsen x dm ingeknipt, waarna zes vierkantjes van x bij x dm worden omgevouwen. Zie figuur 9. De stippellijnen zijn vouwlijnen. Tot slot wordt het karton gevouwen tot een doos. Zie de figuur hieronder.

De inhoud van de doos moet 100 dm3 zijn.
6p. 13.

Bereken bij welke lengtes van de kartonnen rechthoek dit het geval is. Geef je antwoord in dm, afgerond op 1 decimaal.

 

Er zijn ook stroken karton te verkrijgen met een andere breedte dan 15,0 dm. De breedte van het stuk karton in dm noemen we b. Zie de volgende figuur.

We kijken in het vervolg van deze opgave steeds naar dozen waarvoor geldt:
− de bodem en het deksel zijn vierkant,
− de vier zijvlakken zijn rechthoekig,
− de inhoud is 100 dm3.

Er geldt:  (b - 2x)2 = 100/x
3p. 14. Toon aan dat deze formule juist is.

 

Uit deze formule volgt dat  b = 2x + 10/√x

De oppervlakte A van de kartonnen rechthoek waaruit de doos gemaakt wordt, is afhankelijk van x.

Er geldt: A = 6x2 + 70√x + 200/x
5p. 15. Toon aan dat deze formule juist is.

 
4p. 16.

Bereken bij welke afmetingen van de kartonnen rechthoek de oppervlakte A minimaal is. Geef de afmetingen in dm, afgerond op 1 decimaal.

 
File.

Op een autoweg bevindt zich een stilstaande file, waarvan F de achterste auto is. Op enige afstand nadert een auto A met een constante snelheid van 25 m/s. Op tijdstip t = 0 zet de file zich in beweging. De afstand tussen A en F is dan 300 meter. Zie onderstaande figuur

We nemen aan dat auto F met een constante versnelling van 0,80 m/s2 optrekt.
We bekijken de afstand s (in meters) na t seconden, gemeten vanaf de plaats waar de voorkant van auto A op tijdstip 0 is.
Voor de voorkant van auto A geldt: sA(t) = 25t.
Voor de achterkant van auto F geldt: sF(t) = 300 + 0,40t2.
In de figuur hiernaast  zijn de grafieken van sA en sF getekend.

Als auto A niet tijdig afremt, zal hij op een gegeven moment achterop auto F botsen.

 

6p. 17. Bereken met welk snelheidsverschil auto A in dat geval op auto F botst.

 

Als de afstand tussen A en F op tijdstip t = 0 groot genoeg geweest zou zijn, dan had A niet hoeven afremmen om een botsing te vermijden. De grafieken van sA en sF hebben in dat geval geen punt gemeenschappelijk.
4p. 18.

Bereken bij welke afstanden tussen A en F op tijdstip t = 0  A niet had hoeven afremmen. Geef je antwoord in tientallen meters nauwkeurig.

 
UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. f '(x) = e -2x • -2  dus  f '(0) = e-2 • 0 • -2 = -2
f (0) = e-2 • 0 = 1
De raaklijn is dus de lijn  y = -2x + 1
-2x + 1 = 0  ⇒  x = 1/2 
2.
omdat  -1/2e -2p  altijd kleiner dan nul is (voor p > 0) , is dit dus kleiner dan 1/2.
3. Het functievoorschrift van de verschoven grafiek is  y = e-2x - a
Snijpunt y-as:  e-2 • 0 - a = 1 - a
Snijpunt x-as:  e-2x - a = 0  ⇒  e-2x = a  ⇒  -2x = lna  ⇒  x = -1/2lna
De snijpunten liggen even ver van O als  1 - a = -1/2lna
Y1 = 1 - X en  Y2 = -1/2lnX en dan intersect levert  a ≈ 0,203
4. v = 5,0   geeft  5,0 = 126/T  ofwel T = 25,2 minuten
v > 5,0 is het geval als  T < 25,2 minuten
normalcdf(0, 25.2, 28, 2.5) = 0,1314
Dus naar verwachting  7 • 0,1314 = 0,92 dagen per week is zijn snelheid groter dan 5,0.
5. neem bijv. a = 1
P(v < 4,5 - 1) = P(v < 3,5) = P(T > 126/3,5) = P(T > 36) = normalcdf(36, 100000, 28, 2.5) = 0,788
P(v > 4,5 + 1) = P(v > 5,5) = P(T < 126/5,5) = P(T < 22,91) = normalcdf(0, 22.91, 28, 2.5) = 0,209
0,788  is duidelijk ongelijk aan 0,209.
6. V = 1/2 • 4/3 • p • 13 = 2/3p.

xZ = M/V = 3/8
7. De twee zijstukken hebben elk oppervlakte  cosα • 2sinα = sin2α dus samen 2sin2α
het middenstuk heeft oppervlakte 2 • 2sinα = 4sinα
Samen geeft dat de gezochte formule.
8. met de kettingregel:  dO/dα = 2cos2α • 2 + 4cosα = 4cos2α + 4cosα = 4(cos2α + cosα)
gebruik de formule voor cosa + cosb van de formulekaart met a = 2α en b = α
dat geeft  4 • (2cos1/2(2α + α) cos1/2(2α - α)) = 8cos11/2αcos1/2α
9. dO/dα = 0  ⇒  cos11/2α = 0  ∨  cos1/2α = 0
 ⇒  11/2α = 1/2π  ∨  11/2α = 11/2π  ∨  1/2α = 1/2π  ∨  1/2α = 11/2π
 ⇒  α = 1/3π  ∨  α = π  ∨  α = π  ∨  α = 3π
Omdat 0 < α < 1/2π zal de oplossing moeten zijn α = 1/3π.
Een tekenbeeld van dO/dα is       (0)++++(1/3π)-----(1/2π)     dus O heeft inderdaad een maximum
O(1/3π) = 2 • sin (2/3π) + 4sin(1/3π) = 2 • 1/2√3 + 4 • 1/2√3 = 3√3
10. Om dat te laten gebeuren moet K een stip en een A gooien.
P(•A) + P(A•) = 4/6 • 1/6 + 1/6 • 4/6 = 4/36 + 4/36 = 8/36 = 2/9.
11. Dan moet eerst L zijn fiche niet kwijt raken, en daarna K zijn beide fiches wél.
P(L raakt zijn fiche niet kwijt) = 4/6
P(K raakt beide fiches kwijt) = 2/6 • 2/6 = 4/36
De totale kans wordt dan  4/6 • 4/36 = 2/27
12. Dit is een binomiaal experiment met n = 10 en p = 0,57 of 0,43
P(K wint minstens 7 keer) = P(X ≥ 7) = 1 - P(X ≤ 6) = 1 - binomcdf(10, 0.43, 6) = 0,0806
P(L wint minstens 7 keer) = P(X ≥ 7) = 1 - P(X ≤ 6) = 1 - binomcdf(10, 0.57, 6) = 0,3102
P(één van beiden wint minstens 7 keer) = 0,0806 + 0,3102 = 0,3908
13. Stel de lengte L
De hoogte van de doos is x, de breedte van de doos is 15 - 2x en de breedte ook (de doos is vierkant)
De inhoud is dus  x • (15 - 2x) • (15 - 2x) = 100
Y1 = x • (15 - 2x) • (15 - 2x)  en  Y2 = 100  en dan intersect levert x = 0,512  of  x = 5,335
Lengte L = (15 - 2x) + (15 - 2x) + 3x = 30 - x  = 29,5 dm of 24,7 dm
14. De breedte van de bodem is  b - 2x
De inhoud is dan  (b - 2x)2 • x en dat moet gelijk zijn aan 100
(b - 2x)2 • x = 100  ⇒  (b - 2x)2 = 100/x
   
15. bodem + deksel hebben zijde b - 2x = 10/√x
De rechthoek heeft dus lengte 3x + 2 • 10/√x = 3x + 20/√x
de oppervlakte is dan  (3x + 20/√x) • (2x + 10/√x)
dat is  6x2 + 30x/√x + 40x/√x + 200/x = 6x2 + 30√x + 40√x + 200/x = 6x2 + 70√x + 200/x
   
16. Y1 = 6x2 + 70√x + 200/x  en dan calc - minimum geeft  x ≈ 2,0227
De breedte is dan  2x + 10/√x ≈ 11,1 dm  en de lengte  3x + 20/√x (zie vraag 15) ≈ 20,1 dm
   
17. Botsing als sF = sA:  25t = 300 + 0,40t2  ⇒  0,40t2 - 25t + 300 = 0
De ABC-formule geeft  t = (25 ± √145)/0,80  ofwel   t ≈ 46,30  of  t ≈ 16,19
De eerste zal de botsing zijn.
De snelheid van auto A is 25 m/s
De snelheid van auto F is de afgeleide van sF:  vF = sF' = 0,80t en dat is  0,80 • 16,19 = 12,96 m/s
Het snelheidsverschil is 12,04 m/s
   
18. Het grensgeval vinden we als de grafieken van sA en sF elkaar raken.
Noem de beginafstand A:

oplossing 1:
Ze raken elkaar als de hellingen gelijk zijn én de grafieken door het zelfde punt gaan.
hellingen gelijk: 25 = 0,8t  ⇒  t = 31,25
grafieken gelijk:  25 • 31,25 = A + 0,40 • 31,252   ⇒  781,25 = A + 390,625  ⇒  A = 390,625 ≈ 400 m

oplossing 2:
Ze raken elkaar als de grafieken één snijpunt (raakpunt) hebben.
25t = A + 0,40t2  ⇒  0,40t2 - 25t + A = 0
Dat heeft één oplossing als de discriminant nul is:  252 - 4 • 0,40 • A = 0  ⇒  A = 390,625 ≈ 400 m