VWO WB12,  2001 - I
Boottocht
In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes , M en F. We beschouwen de eilandjes als punten. M ligt precies in het midden van het meer. Zie de figuur hieronder.
S is een punt aan de rand van het meer. een bootje start in S en vaart in een rechte lijn naar M.
5p 1. Teken in de figuur het punt P op de route van het bootje waar het bootje even ver van punt S verwijderd is als van punt F. Licht je werkwijze toe.

 
Een ander bootje start in een punt aan de rand van het meer en vaart ook in een rechte lijn naar M. Halverwege is de afstand van dit bootje tot het land even groot als de afstand van dit bootje tot beide eilandjes.
6p 2. Teken in de figuur de punten aan de rand van het meer van waaruit het bootje vertrokken kan zijn. Licht je werkwijze toe.

 
Oppervlaktebenadering
Deze opgave gaat over een voorbeeld uit de farmacokinetiek, de wetenschap die onder andere het verloop bestudeert van de concentratie van een geneesmiddel in het bloed.
In een praktijktest wordt op geregelde tijden met tussenpozen Dt de concentratie van een geneesmiddel bij een persoon gemeten.
Op de tijdstippen t0, t1 , t2, ...,tn is de gemeten concentratie c0, c1, c2, ... , cn. In de figuur hieronder zijn de punten Ck (tk,ck) weergegeven. Deze punten liggen op de kromme die het verloop weergeeft van de concentratie van dit geneesmiddel.
Een maat voor de werkzaamheid van een geneesmiddel is de oppervlakte onder deze kromme. In de farmacokinetiek noemt men dit de AUC (Area Under Curve)
In de figuur hieronder is aangegeven hoe de oppervlakte onder de kromme benaderd kan worden. Twee opeenvolgende meetpunten bepalen een trapezium. Het trapezium tussen tk en tk+1 is grijs aangegeven. De som van de oppervlakten van alle trapezia is een benadering van de AUC.
De vraag rijst natuurlijk: "Hoe nauwkeurig is deze methode?". Dit gaan we in deze opgave voor een speciaal geval onderzoeken.
3p 3. Toon aan dat de oppervlakte van het grijs gemaakte trapezium gelijk is aan  0,5 • (ck + ck+1)• Δt

 
4p 4. Bewijs dat de AUC tussen t0 en tn benaderd wordt door:

 
Om de nauwkeurigheid van deze manier van benaderen aan de hand van een voorbeeld te testen nemen we aan dat het dalende gedeelte van de kromme gegeven wordt door  c = 32 • e(-0,5t + 0,5) met c in  mg/liter en t in uren , 1 ≤ t ≤ 5
5p 5. Bewijs met behulp van integraalrekening dat de AUC voor 1 ≤ t  ≤ 5 gelijk is aan  64 - 64/e²

 
Neem aan dat de concentratie om het half uur gemeten wordt en dat de meetpunten inderdaad op de grafiek van c liggen.
7p 6. Bereken hoeveel procent de benadering van de AUC voor 1 ≤ t ≤ 5, bepaald met de formule van vraag 9, afwijkt van de werkelijke oppervlakte. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Machten van sinus en cosinus
Gegeven is de functie  f(x) = (1 - √x)2  met  0 £ x £ 1
Verder is gegeven het lijnstuk AB met A(1,0) en B(0,1). Zie de bovenste figuur hiernaast.
Tussen de grafiek van f en het lijnstuk AB worden verticale verbindingslijnstukken getekend. In de figuur zijn enkele lijnstukken getekend.
5p 7. Toon aan dat de lengte van een verticaal verbindingslijnstuk gegeven wordt door de formule  
L = -2x + 2√x

 
4p 8. Bereken exact de maximale lengte van zo'n verbindingslijnstuk.

 
Voor elk positief geheel getal n bekijken we de baan Kn van een punt dat beweegt volgens:
Met 0 ≤ t ≤ 0,5π
In de figuur hiernaast zijn vier banen getekend.

Gegeven een punt P van K6.
5p 9. Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K6 in punt P gelijk is aan -tan4t

 
In een punt P van K6 heeft de raaklijn aan K6 richtingscoëfficiënt  -9.
3p 10. Bereken de coördinaten van P.
Voor een bepaalde waarde van n liggen de punten van Kn op de grafiek van f en voor een bepaalde waarde van n liggen de punten van Kn op het lijnstuk AB.
6p 11. Onderzoek welke twee waarden van n dit zijn en toon met behulp van formules de juistheid van je bewering aan.

 
Water met koolzuur
Hieronder staat een samenvatting van een krantenartikel afkomstig uit NRC-Handelsblad van 23 oktober 1997.
DEN HAAG, 23 OKT
   De Consumentenbond verrichtte een smaaktest met een panel van 23 geoefende proevers. De proevers dronken het kraanwater van negen waterleidingbedrijven en negen gebottelde koolzuurvrije waters.
Op merkelijk was dat het lekkerste flessenwater werd verslagen door zes kraanwaters.
Tegelijkertijd met dit onderzoek werd een onderzoek onder

Water met
koolzuur

cafés gehouden. Wie in een café een glas mineraalwater bestelt krijgt vaak een glas leidingwater vermengd met koolzuur. Dat concludeert de consumentenbond in zijn gids van november. Onderzoekers kregen bij 11 van de

 31 bezochte horecagelegenheden hetzelfde water geserveerd als uit de kraan van het toilet van de uitspanning. Achter de bar werd het water door een pompje van koolzuur voorzien.
In een reactie op de conclusies zegt directeur J.H. Peters van het Bedrijfschap Horeca dat de gesuggereerde omvang van het verschijnsel "schromelijk overdreven" is.
In het artikel wordt het opmerkelijk genoemd dat het lekkerste flessenwater werd verslagen door zes kraanwaters. Stel dat de 18 geproefde waters in een willekeurige volgorde worden geplaatst. Je kunt je nu afvragen hoe groot de kans is dat op de zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.
5p 12. Bereken in 4 decimalen nauwkeurig de kans dat op de zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.

 
In een reactie op het onderzoek beweert de heer Peters dat de omvang van het verschijnsel schromelijk overdreven is.
Een café dat kraanwater-met-koolzuur serveert als mineraalwater noemen we een "knoeier". Misschien heeft Peters wel gelijk en schetst het artikel een te somber beeld. Veronderstel dat in werkelijkheid 20% van de cafés tot de "knoeiers" behoort.
4p 13. Bereken in 4 decimalen de kans dat in een aselecte steekproef van 31 cafés minstens 11 "knoeiers" voorkomen.

 
Een functie en een rij
Gegeven is de functie f(x) = 3 - 3/(x + 1)  Zie de figuur hiernaast.
In deze figuur is een rechthoek OPQR getekend met R(0,3) en P(b,0) met b > 0
De grafiek van f verdeelt de rechthoek in twee delen met gelijke oppervlakte.
8p 14. Bereken b in twee decimalen nauwkeurig.

 
Voor de rij v0, v1, v2, ... geldt  vn = f (vn - 1) 
met v0 ≥ 0 en n ≥ 1
In de figuur hiernaast is een gedeelte van de grafiek van f getekend.
6p 15. Onderzoek voor welke waarden van v0 de rij convergeert. Licht je antwoord toe met behulp van een webgrafiek.

 
Voor bepaalde startwaarden  v0 < 0 breekt de rij  v0, v1, v2, ...
met vn = f (vn -1)  en n ≥ 1 af, omdat termen niet meer gedefinieerd zijn.
5p 16. Geef twee van dergelijke startwaarden. Licht je antwoord toe.

 
Bewegende, gelijkbenige, rechthoekige driehoek
Een gelijkbenige rechthoekige driehoek wordt in de linker onderhoek van een vel papier gelegd. De eindpunten van de schuine zijde van de driehoek zijn A en B en het derde hoekpunt is C. Punt A ligt op de linkerzijde van het papier en punt B op de onderzijde van het papier. De hoekpunten van het papier noemen we D, E, F en G. Zie de figuur hieronder.
We laten de driehoek over het papier bewegen waarbij A op de linker zijde en B op de onderzijde van het papier blijft. In de beginsituatie valt B samen met D. B beweegt over de onderzijde van het papier tot A samenvalt met D. Tijdens de beweging beschrijft C een baan over het papier.
5p 17. Bewijs dat C tijdens deze beweging over de bissectrice van hoek D beweegt.

 
Het punt M is het midden van AB. Bij de beweging beschrijft ook M een baan.
5p 18. Laat zien dat deze baan een kwartcirkel is en geef het middelpunt van deze cirkel.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. Even ver van S als van F, dan ligt het op de middelloodlijn van SF. Dat is punt P in de tekening hiernaast.
2. Halverwege: dan ligt het bootje op een cirkel c met middelpunt M en straal de helft van het meer.
De afstand tot beide eilandjes is gelijk, dus ligt het bootje op de middelloodlijn m van MF.
Dat geeft twee mogelijke snijpunten. Dezen met M verbinden en doortrekken levert op het land de mogelijke punten P en Q. Zie de figuur hiernaast.
3. Het trapezium bestaat uit een rechthoek en een driehoek.
De rechthoek heeft oppervlakte  Δt • ck+1
De driehoek heeft oppervlakte  0,5 • Δt • (ck - ck+1)
De totale oppervlakte is  Δt • ck+1 + 0,5 • Δt • (ck - ck+1) = Δt • (ck+1  + 0,5•ck - 0,5 • ck+1) = Δt • 0,5 • (ck+1 + ck)
4. De som van alle trapezia is:
Dat is  Δt • 0,5 • { (c0 + c1) + (c1 + c2) + (c2 + c3) + ... + (cn-1 + cn-1) + (cn-1 + cn)}
= Δt • 0,5 • (c0 + 2c1 + 2c2 + 2c3 + ... + 2cn-2 + 2cn-1 + cn)
= Δt  • {0,5 • (c0 + cn) + (c1 + c2 + c3 + ... + cn-2 + cn-1)}
En dat is inderdaad de gevraagde formule
5.
6. Δt = 0,5 geeft een oppervlakte van
De laatste som is met de GR te bepalen. Bijvoorbeeld als volgt:
L1 = {1,2,3,4,5,6,7} en  L2 = 32*e^(-L1/4) en dan LIST - MATH - SUM(L2) geeft 93,0875...
De eerste term tussen haakjes is  18,1653......
Samen geeft dat  0,5 • (18,1653... + 93,0875...) = 55,62646...
Het exacte antwoord was  64 - 64/(e2) = 55,3385...  dus dat scheelt  0,2879...
en dat is  (0,2879 / 55,3385) * 100% = 0,5202... %  Afgerond dus 0,52%.
7. AB heeft vergelijking   y = 1 - x
De lengte van het verbindingslijnstuk is het verschil van de y - coördinaten
L = (1 - x) - (1 - √x)2 = (1 - x) - (1 - 2√x + x) = 1 - x - 1 + 2√x - x = 2√x - 2x
8. L = 2 • x0,5 - 2x  dus  L'  = 2 • 0,5 • x-0,5 - 2 =  1/√x  -  2
L' = 0  geeft  1/√x = 2  ofwel  x = 1/4
L(1/4) is de maximale lengte en is gelijk aan 1/2
9.
10. -tan4t = -9  ⇒ tan2t = 3 ⇒ tant = √3  ∨  tant = -√3 ⇒  t = π/3 
(de andere oplossingen zitten niet binnen het interval [0,½p])
P heeft dan coördinaten (cos6(π/3) , sin6(π/3)) =(½6 , (½√3)6)  = (1/64 , 27/64)
11.. De enige formule die we met  cosnx en sinnx kennen is  cos2x + sin2x = 1. 
Ofwel  sin2x = 1 - cos2x
Die proberen we dus maar te gebruiken...

y = 1 - x geeft sinnx = 1 - cosnx  en dat levert voor n = 2 direct op sin2x = 1 - cos2x

y = (1 - √x)2  geeft  sinnx = (1 - √(cosnx))2    dus    √(sinnx) = 1 - √(cosnx)
Voor n = 4 reduceert dat inderdaad tot sin2x = 1 - cos2x

De oplossingen zijn dus  n = 2 en  n = 4
12. 1e opl. Er zijn in totaal  18! mogelijke volgorden
Als er eerst zes kraanwaters moeten komen en dan een flessenwater zijn er nog  9•8•7•6•5•4•9•11! volgorden mogelijk.
De gevraagde kans vind je door deze twee getallen op elkaar te delen en dat geeft  0,0034
2e opl. P(KKKKKKF) = (9/18) • (8/17) • (7/16) • (6/15) • (5/14) • (4/13) • (9/12) = 0,0034
13. Dit is een binomiaal experiment met n = 31 en p = 0,20.
P(X ≥ 11) = 1 - P(X ≤ 10) = 1 - BINOMCDF(31 , 0.20 , 10) = 1 - 0,9672... = 0,0327
14. De oppervlakte van de rechthoek is 3b. Dus moet de oppervlakte onder de grafiek 1,5b zijn.

dus moet 3b - 3ln(b+ 1) = 1,5b
Invoeren in de GR  Y1 = 3X - 3ln(X+1) en Y2 = 1,5X en dan INTERSECT gebruiken levert de oplossing  b = 2,51
15. Teken de lijn y = x in de figuur. Die heeft snijpunten (0,0) en (2,2) met de grafiek van f.
Aan de figuur hiernaast zie je dat als we willekeurig ergens beginnen, de webgrafiek naar het punt (2,2) loopt, dus de rij convergeert naar 2. ((2,2)is een attractor)
De enige uitzondering is als we in x = 0 beginnen: dan blijven we daar ook.
Conclusies:
voor v0 > 0 convergeert de rij naar 2
voor v0 = 0 convergeert de rij naar 0
16. De functie bestaat niet voor x = -1. Dus als er ergens in de rij -1 voorkomt zijn de volgende termen niet meer gedefinieerd. Hoe kan er -1 voorkomen?

Als we beginnen bij v0 = -1.
Als we beginnen bij een getal waarvan de functiewaarde -1 is (want dan wordt v1 = -1),
dus als 3 - 3/(x+ 1) = -1  ⇒ 3/(x + 1) = 4 ⇒ x + 1 = 0,75  ⇒ x = -0,25 dus v0 = 0,25
Als we beginnen bij een getal waarvan de functiewaarde -0,25 is (want dan wordt v1 = -0,25 en v2 = -1)
dus als  3 - 3/(x+ 1) = -0,25  ⇒  3/(x + 1) = 3,25  ⇒ x + 1 = 12/13  ⇒  x = -1/13 dus v0 = -1/13
enzovoort.....
17. Bekijk in vierhoek ABCD:
∠D = 90º en ∠C = 90º, dus ∠D + ∠C = 180º
Maar dan is ook ∠A + ∠B = 180º  dus vierhoek ABCD is een koordenvierhoek.
∠BDC = ∠BAC want deze hoeken staan op dezelfde cirkelboog BC. Maar ∠BAC is 45º, dus ∠BDC is 45º
∠BDC is de helft van ∠D, dus ligt C op de bissectrice van ∠D
18. ΔDBA is een rechthoekige driehoek, dus M is het middelpunt van een cirkel die door A, B en D gaat.
Dus is MD de straal van die cirkel en dus is MD constant (immers MB = MA is constant)
∠ADB = 90º dus ligt M op een kwartcirkel met D als middelpunt.