VWO WISKUNDE B12,  2001 - II
Koordentrapezium
In de figuur hiernaast is koordenvierhoek ABCD getekend. AB is evenwijdig aan DC; ABCD is dus een trapezium.

5p 1. Bewijs de volgende stelling:
Als een koordenvierhoek een trapezium is, heeft hij twee overstaande zijden die even lang zijn.

 
Vouwen
Van een strook papier van 14 cm lengte zit de rechterrand los en is de linkerrand vastgeplakt op de ondergrond. De strook wordt linksom dubbelgevouwen (stap 1 in de figuur hiernaast); hierbij verdeelt de vouwlijn de strook in twee gelijke delen. Het bovenste deel wordt rechtsom dubbelgevouwen (stap 2 in de figuur hiernaast). Daarna wordt het bovenste deel hiervan weer linksom dubbelgevouwen (stap 3 in de figuur). Dit proces kan in theorie eindeloos herhaald worden. We willen de limiet van de plaats van de losse rand weten.
De plaats van de losse rand na n keer vouwen noemen we un.
De rij u0, u1, u2, ....  is gegeven door:


In de figuur hieronder zijn op een getallenlijn de startwaarden 14 en 0 aangegeven.
4p 2. Geef op de getallenlijn de plaats van u3 en u4. Licht je werkwijze toe.
De rij u0, u1, u2, .... is convergent.
Om de plaats op de getallenlijn van  te berekenen bekijken we de verschilrij;

vk = uk - uk - 1  (k = 1,2,3,4,...)

5p 3. Bewijs dat voor k = 2,3,4,... geldt  vk = -0,5 • vk -1

 
De termen van de rij un zijn te vinden met behulp van de rij vk:
u1 = u0 + v1
u2 = u0 + v1 + v2
u3 = u0 + v1 + v2 + v3
.
.
.
un = u0 + v1 + ... + vn
7p 4. Toon aan dat voor n = 1,2,3,... geldt:  un = 14 + 91/3•((-1/2)n - 1)

 
4p 5. Bereken exact de limiet van de plaats van de losse rand

 
Vierkant met twee ellipsen.
Van twee congruente ellipsen  liggen de brandpunten op de hoeken van een vierkant. Zie de figuur hiernaast. De ellipsen snijden elkaar in de middens van de zijden van het vierkant.
In elk van de snijpunten van de ellipsen is de hoek tussen de raaklijnen even groot.
7p 6. Bereken deze hoek in graden nauwkeurig.

 
Zwaartepunt
De coördinaten van het zwaartepunt van een vlakdeel kun je met de formule in het kader hieronder berekenen
Van vlakdeel V is Z het zwaartepunt.
De coördinaten van Z zijn xZ en yZ.
Er geldt:
Hierbij is h(x) de bij x behorende hoogte van V, voor  p £ x £ q
De berekening van yZ verloopt op een soortgelijke manier.
De vlakdelen in deze opgave zijn symmetrisch in de lijn y = x, dus geldt  xZ = yZ
De hoekpunten van driehoek OAB zijn  O(0,0), A(3,0) en B(0,3): zie de figuur hiernaast.
6p 7. Toon met de formule in het kader aan dat het zwaartepunt van driehoek OAB het punt (1,1) is.

 
Het vlakdeel OAPQB in de figuur hiernaast wordt begrensd door de x-as, de y-as, de lijn x = 3 en de hyperbool  y = 3/x
8p 8. Bereken exact de x-coördinaat van het zwaartepunt van dit vlakdeel.

 
Rechte banen
Een punt P beweegt in een baan die gegeven is door de vergelijkingen:
met  0 ≤ a ≤ π
De beweging van P kan ook beschreven worden door de vergelijkingen:
4p 9. Toon dit aan.

 
Als je voor enkele waarden van a de baan van P tekent lijkt deze steeds een deel van een rechte lijn door (0,0)
5p 10. Toon voor a = 2 aan dat de baan van P inderdaad een deel van een lijn  y = mx is.

 
Tussen twee vierkanten
In de figuur hieronder is binnen een groot vierkant een kleiner vierkant getekend. De vierkanten hebben het zelfde middelpunt en zijn 45 º ten opzichte van elkaar gedraaid. B1 is het binnengebied van het kleine vierkant, B2 is het buitengebied van het grote vierkant.
In de figuur hieronder is driekwart van deze figuur afgedekt.
8p 11. Teken in het resterende kwart de conflictlijn van B1 en B2. 
Licht je tekening toe.

 

Wereldbevolking
Op 12 oktober 1999 werd de zesmiljardste wereldburger geboren. Naar aanleiding hiervan publiceerde de VN het jaarrapport Six billion - a time for choices. Hierin wijst de VN Sarajewo aan als de plaats waar de zesmiljardste wereldburger geboren werd. Dat is natuurlijk een symbolische daad: waar precies de zesmiljardste wereldburger geboren werd is helemaal niet bekend. Het zou, gezien de bevolkingsgrootte van Azië, meer voor de hand gelegen hebben de zesmiljardste wereldburger geboren te laten worden in Azië. Zie de figuur hieronder.
Op basis van deze figuur nemen we aan dat het aandeel van Azië in de wereldbevolking tussen 1998 en 2050 nagenoeg gelijk blijft.
De zevenmiljardste wereldburger verwacht de VN in 2013 en de achtmiljardste in 2028. Stel dat de VN dor loting een continent aanwijst waarin symbolisch de zevenmiljardste wereldburger geboren wordt en dat hierbij voor elk continent de kans om aangewezen te worden gelijk is aan het aandeel van dat continent in de wereldbevolking. En zo ook bij de achtmiljardste wereldburger.
5p 12. Bereken met behulp van de figuur hierboven hoe groot in dat geval de kans is dat de VN voor tenminste één van deze twee geboorten Azië aanwijst.

 
De figuur hierboven komt uit het VN-rapport.
De grootte van de wereldbevolking voldoet bij benadering aan het volgende groeimodel:

Hierbij is:
  • W de wereldbevolking in miljarden
  • t het aantal jaren na 1804
  • g een constante met  0 < g < 1
  • L de limietwaarde van de wereldbevolking in miljarden; dat is de grenswaarde waar W op den duur naar toe zal groeien.
De groeisnelheid  dW/dt van de wereldbevolking is het grootst als  t = g log (1/(L - 1)) 
5p 13. Toon aan dat voor die waarde van t geldt:  dW/dt = -0,25 • L • ln(g)

 
De constante g is gelijk aan 0,983. De wereldbevolking t jaar na 1804 wordt dus gegeven door:

De limietwaarde L is niet precies bekend.

We zijn geïnteresseerd in de kans dat de voorspelde wereldbevolking in 2054, 250 na 1804, groter dan 10,5 miljard is, met andere woorden de kans dat W(250) > 10,5

W(250) > 10,5 komt overeen met  L > 12,1
5p 14. Leg dit uit.

 
Er zijn veel prognoses gemaakt. Daarin blijken de waarden van L normaal verdeeld te zijn met een verwachtingswaarde 10 en standaardafwijking 1,5.
4p 15. Bereken onder bovengenoemde aannames in hoeveel procent van de prognoses de voorspelde wereldbevolking in 2054 groter is dan 10,5 miljard.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. hoek DCA = hoek BAC (Z - hoeken)
Het zijn de omtrekshoeken van bgDA en bg CB,  dus  bg DA = bg CB
Dus DA = CB en dat zijn twee even lange overstaande zijden.
   
2. u0 = 14, u1 = 0 , u2 = 0,5•(0 + 14) = 7, u3 = 0,5•(7 + 0) = 3,5 , u4 = 0,5•(7 + 3,5) = 5,25
Teken ze zelf maar op een lijn.
   
3. vk = 0,5(uk-1 + uk-2) - uk-1 = -0,5uk-1 + 0,5uk-2 = 0,5(uk-2 - uk-1) = -0,5•vk-1
   
4. Gebruik vn = -0,5vn-1:
un = u0 + v1 + v2 + ... + vn
= u0 + v1 + (-0,5)v1 + (-0,5)2v1 + (-0,5)3v1 + ... (-0,5)n-1v1
Maar u0 = 14  en   v1 = -14. Dat geeft:  un = 14 - 14•(1 + -0,5 + (-0,5)2 + (-0,5)3 + ... + (-0,5)n-1)
Het laatste deel tussen haakjes is een meetkundige rij met reden -0,5 en beginwaarde 1.
De som van de eerste n-1 termen daarvan is (formulekaart):

Dat geeft un = 14 - 14/1,5 • (1 - (-0,5)n) = 14 + 91/3•((-0,5)n - 1)  en dat is inderdaad de gevraagde formule.
   
5. Als n een groot getal is, gaat  (-0,5)n naar nul, en de hele formule naar :
14 + 91/3•(0-1) = 42/3
     
6. Vanwege de raaklijneigenschappen van een ellips zijn de rode hoeken aan elkaar gelijk en de blauwe ook.
Vanwege de symmetrie van de figuur is een rode hoek gelijk aan een blauwe.
Daarom is hoek QPR = hoek BPA (beide een rood/blauwe plus de hoek met het sterretje)
tan BPA = 4/2 = 2   ⇒  BPA = 63º
   
7. Lijn AB heeft vergelijking  y = 3 - x  dus  h = 3 - x
De oppervlakte van driehoek OAB is 4,5.

En dus ook  yZ = 1
   
8. Je kunt de oppervlakte verdelen in een rechthoek van 1 (breedte)  bij 3 (hoogte) + een deel onder de grafiek van y = 3/x.
De rechthoek heeft oppervlakte 3. De hele oppervlakte is dus gelijk aan:

Verder geldt:
   
9. Kijk maar op de formulekaart.
10. a = 2 geeft  x(t) = 2 • cos(1) • cos(1 - t)   en   y(t) = 2 • sin(1) • cos(1 - t)
x en  y op elkaar delen geeft:


Dat is een constante dus de punten P liggen op een rechte lijn door de oorsprong met helling m = sin(1)/cos(1).
   
11.
U en V worden gevonden door de zijden van het kleine vierkant door te trekken.
De conflictlijn bestaat uit drie delen: PQ, QS en ST.
PQ is de conflictlijn tussen twee rechte lijnstukken en is de bissectrice van de hoek ertussen. (PV is de bissectrice van hoek UVS). Hetzelfde geldt voor ST
QS is de conflictlijn tussen een punt en een lijnstuk en is een deel van een parabool met top R.
   
12. Het aandeel van Azië is ongeveer 60%
De kans op een keuze buiten Azië is dan 1 - 0,6 = 0,4
De kans op beide keuzes buiten Azië is  0,42 = 0,16  dus de kans op één van beide in Azië is 1 - 0,16 = 0,84
13.
Daarbij is het gedeelte (L-1) • gt • lng afkomstig van de kettingregel.

substitueren in W' levert:
14.
⇒  L > 10,5•(1 + (L-1)•0,01375)  ⇒   L > 10,5 • (1 + 0,01375 • L - 0,01375)
 ⇒  L > 10,5 + 0,14438•L - 0,14438  ⇒  L > 10,3556 + 0,14438 • L  ⇒  0,8556•L > 10,3556
 ⇒ L > 12,1

(het kan ook door middel van INTERSECT met de GR)
15. NORMALCDF(12.1 , 1E99 , 10 , 1.5) = 0,08075...
Deze kans is ongeveer 0,08 en dat is 0,08 • 100 = 8%