VWO WB12,  2002 - I
Uit de kust
Een kustlijn bestaat uit drie rechte stukken AB, BC en CD, die hoeken 90º met elkaar maken. De lengte van elk recht stuk is 4 kilometer. Zie de figuur hieronder.
In de figuur zijn twee stippellijnen getekend die loodrecht staan op AB en CD. In deze opgave beperken we ons tot het gebied tussen deze stippellijnen.
De lengte van  de iso-afstandslijn (in kilometers) tussen de stippellijnen, op een afstand van x kilometer uit de kust, noemen we L(x).
In deze figuur is een iso-afstandslijn getekend, x kilometer uit de kust. De lengte van deze iso-afstandslijn wordt gegeven door:  L(x) = 12 - 2x + 1/2px
4p 1. Toon dat aan.
Deze formule geldt alleen voor x ≤ 4; voor x > 4 geldt een andere formule voor L(x). Zonder deze andere formule te kennen kun je beredeneren tot welke waarde L(x) nadert als x nadert tot oneindig.
4p 2.
Hoe groot is  Licht je antwoord toe.

  
In de figuur hieronder liggen de punten E en F op de stippellijnen die loodrecht op AB en CD staan. EF is evenwijdig aan AB en CD. De afstand van EF tot CD is 3 kilometer.
Een speedboot S vaart met een snelheid van 1 km per minuut van E naar F. We noemen de afstand (in km) van S tot de kust na t minuten varen  K(t).
Voor  4 ≤ t ≤ 8  geldt:  K(t) = 3.
5p 3. Toon aan dat voor  0 ≤ t ≤ 4  geldt:  K(t) = √(t2 - 8t + 25)

  
In de figuur hieronder is de grafiek van K(t) getekend voor  0 ≤ t ≤ 8. De gemiddelde afstand van S tot de kust noemen we g. In de figuur hieronder is ook de lijn y = g getekend. De oppervlakte onder de grafiek van K is dus gelijk aan de oppervlakte onder de lijn y = g op het interval [0, 8]
5p 4. Bereken de waarde van g in twee decimalen nauwkeurig.

  
Pestgedrag
Om meer te weten te komen over het pestgedrag op een school wordt er een onderzoek gedaan. Aan elke leerling die aan het onderzoek meedoet wordt de volgende vraag gesteld: pest jij wel eens? Omdat het onderwerp gevoelig ligt zal niet elke pester naar waarheid willen antwoorden.
Daarom laat men de leerlingen antwoorden volgens de methode van randomized response . Deze methode werkt als volgt: er wordt gebruik gemaakt van een kansschijf die verdeeld is in de sectoren ja (15%), nee (15%) en naar waarheid (70%). Zie de figuur hiernaast.
De leerling laat de kansschijf langs de wijzer draaien. Hij komt tot stilstand in een willekeurige positie. Als de wijzer bij de sector naar waarheid staat moet de leerling eerlijk antwoorden. Als de wijzer bij één van de andere sectoren staat moet de leerling verplicht antwoorden wat die sector aangeeft, omgeacht of hij wel of niet pest.
4p 5. Bereken de kans dat van 7 leerlingen er 5 naar waarheid moeten antwoorden en 2 verplicht met "ja". Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

   
Leerlingen die het antwoord "ja" geven doen dat om één van de volgende redenen:
  • de wijzer komt in de sector "ja" dus ze antwoorden verplicht "ja"
  • de wijzer komt inde sector "naar waarheid" en ze pesten wel eens.
Aan het onderzoek doen 900 leerlingen mee.
Neem bij de volgende vraag aan dat 20% van deze leerlingen wel eens pest.
4p 6. Toon aan dat dan naar verwachting 261 leerlingen "ja" zullen antwoorden..

  
Bij de telling blijkt dat 311 leerlingen de vraag met "ja" hebben beantwoord. Dit doet vermoeden dat het percentage leerlingen dat wel eens pest groter is dan 20%.
5p 7. Bereken bij welk percentage leerlingen dat wel een pest het verwachte aantal antwoorden "ja" 311 is.

  
Brandpunt en richtlijn zoeken.
In de figuur hiernaast is punt A een punt op de parabool p.
De lijn r is de raaklijn aan p in het punt A.
De lijn m is de as van p.
5p 8. Teken in deze figuur het brandpunt en de richtlijn van p. Licht je werkwijze toe.

  
Een beweging door (0,0)
De beweging van een punt in het Oxy vlak wordt voor  0 ≤ t ≤ 2π gegeven door:

In de figuur hiernaast is de baan van het punt getekend.
6p 9. Bereken de exacte snelheid van het punt  op het tijdstip t = 0

  
De bewegingsvergelijkingen kunnen herleid worden tot:

met  r(t) = 2 • cos(6,5t)
4p 10. Toon dit aan.
  
Bij het doorlopen van de baan van de figuur hierboven voor  0 ≤ t ≤ 2π passeert het punt een aantal keren (0,0).
6p 11. Bereken dit aantal langs algebraïsche weg.

  
Wel of niet convergent?
Voor elke beginwaarde u0 is gegeven de rij  un = -1/2 • (un-1)3  (voor  n = 1, 2, 3, ...)
In de figuur hiernaast is de grafiek van de functie y = -1/2 • x3 getekend.

Neem u0 = 1,5
5p 12. Geef in deze figuur op de x-as de waarden u1 en u2 aan met behulp van een webgrafiek.
Of de rij u0, u1, u2, ... naar 0 convergeert hangt af van de beginwaarde u0.
5p 13. Bereken exact voor welke waarden van u0 de rij u0, u1, u2, ... naar 0 convergeert

  
Bal te water
Een bal valt van enige hoogte in het water. Vanaf het moment dat de bal het wateroppervlak raakt wordt hij afgeremd. Door zijn snelheid zal hij nog een stuk onder het wateroppervlak komen. Vervolgens zal de bal weer opstijgen naar het wateroppervlak. Zie de figuur hiernaast.
Voor de snelheid v, in meters per seconde, van een bepaalde bal die in het water valt geldt de formule:

v(t) = 2 - 8 • e-2t

Hierbij is t de tijd in seconden vanaf het moment dat de bal in het water komt; v is positief als de bal omhoog gaat.
Deze formule geldt alleen zolang de bal onder water is. Ter vereenvoudiging verwaarlozen we de diameter van de bal.

 
In de onderste figuur hiernaast staat de grafiek van v voor de periode dat de bal onder water is.
de gemiddelde versnelling (in m/s2) van de bal tijdens de eerste t seconden dat hij onder water is, is gelijk aan de helling van het verbindingslijnstuk tussen de punten op de grafiek van v die horen bij de tijdstippen 0 en t. In de figuur is dit lijnstuk voor een waarde van t getekend.
4p 14. Bereken de gemiddelde versnelling in m/s2 gedurende de eerste 2 seconden. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

  
De bal bereikt het diepste punt na ongeveer 0,7 seconden.
5p 15. Bereken het exacte tijdstip waarop de bal op het diepste punt is.

  
Het aantal meters dat de bal zich op een bepaald tijdstip onder water bevindt kun je berekenen door de snelheid te integreren.
4p 16. Bereken de grootste diepte die de bal bereikt. Geef je antwoord in centimeters nauwkeurig.

  
Op één lijn
In de bovenste figuur hiernaast zijn twee elkaar rakende cirkels c1 en c2 getekend met middelpunten respectievelijk M1 en M2. Het raakpunt van deze cirkels is S.
Lijn l raakt c1 in P en c2 in Q.
De gemeenschappelijke raaklijn aan c1 en c2 in S snijdt lijn l in punt T.
5p 17. Bewijs dat de punten P, Q en S op één cirkel met middelpunt T liggen

  
Verder is gegeven dat QR een middellijn van c2 is. Zie de onderste figuur hiernaast.

6p 18. Bewijs dat P, S en R op één lijn liggen

  
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De lijn bestaat uit drie rechte stukken plus een kwartcirkel.
De lengte van de rechte stukken is  elk 4 - x en 4 - x en 4
De kwartcirkel heeft lengte 0,25 • 2πx  = 0,5πx
Samen is dat 4 - x + 4 - x + 4 + 0,5πx = 12 - 2x + 0,5πx
   
2. Deze limiet is gelijk aan 8, immers als je oneindig ver weg staat dan is de lengte van CB te verwaarlozen ten opzichte van de afstand, en zul je het land "zien" als een recht stuk AD met lengte 8. 
   
3. Tussen t = 0 en t = 4 is het dichtstbijzijnde punt van de kust punt C, dus is  K(t) = SC
Noem P het snijpunt van CB met EF.
ES = t (want de snelheid is 1 km/uur), dus  PS = PE - ES = 4 - t
Pythagoras in DCPS: (4 - t)2 + 32 = SC2 ⇒  SC2 = 16 - 8t + t2 + 9 = t2 - 8t + 25
Door de wortel te nemen volgt de gevraagde formule.
   
4. De oppervlakte onder y = g is   8 • g

Invoeren Y1 = √(X2 - 8X + 25) met bijv. window [0,8] × [0,10] en dan via CALC de integraal berekenen levert een oppervlakte van 29,8875... = 8 • g
Daaruit volgt g ≈ 3,74
   
5. Een mogelijke serie is  WWWWWJJ en de kans hierop is  0,75 • 0,152
Er zijn  7 nCr 2 zulke series. Dat is 21.
De totale kans wordt dan 21 • 0,75 • 0,152 = 0,079
6. Naar verwachting zullen 0,25 • 900 = 135 leerlingenverplicht "ja"  antwoorden.
Naar verwachting zullen  0,7 • 0,2 • 900 = 126 leerlingen naar waarheid "ja" antwoorden
In totaal zullen dus  135 + 126 = 261 leerlingen "ja" antwoorden.
7. Van de 900 leerlingen hebben er naar verwachting 0,15 • 900 = 135 verplicht "ja" geantwoord.
Dus hebben er  311 - 135 = 176 naar waarheid "ja" geantwoord.
In totaal hebben er 0,70 • 900 = 630 leerlingen naar waarheid geantwoord.
Van die 630 zeiden er 176 "ja"  dus dat is  (176/630) • 100% = 28%.
   
8. "de raaklijn in een punt van een parabool maakt gelijke hoeken met de lijn naar het brandpunt en de lijn loodrecht op de richtlijn"
De situatie is dus schematisch als hieronder links..
De oplossing staat rechts: teken lijn n evenwijdig aan m door A.
Noem het snijpunt van r en m punt S. Teken een lijn door S loodrecht op AS;  dat geeft punt P.
Zorg dat SP = SQ (door SP te omcirkelen om S) want dan is r  de bissectrice van hoek QAP. (driehoek AQP is dan gelijkbenig met tophoek A)
QA snijden met m geeft brandpunt F.
AF = AR door AF te omcirkelen om A geeft punt R en de richtlijn gaat door R en staat loodrecht op n
   
9. x ' (t) = -15sin(15t)- 2sin(2t) dus x'(0) = 0
y'(t) = 15cos(15t) + 2cos(2t) dus y '(0) = 17
De snelheid is √(x'2 + y'2) = √172 = 17
10.
dus  x(t) = 2cos(8,5t)cos(6,5t)  en  y(t) = 2sin(8,5t)cos(6,5t)
Neem r(t) = 2cos(6,5t) dan staat er  x(t) = r(t) • cos(8,5t)  en   y(t) = r(t) • sin(8,5t)
11. In de oorsprong is x(t) = 0  en y(t) = 0
Dat kan alleen als r(t) = 0, want cos(8,5t) en sin(8,5t) kunnen nooit tegelijk nul zijn
cos(6,5t) = 0  geeft  6,5t = 0,5π + k • π
dat geeft  t  = (1/13)π + k •  (2/13)π
tussen 0 en 2p  geeft dat de oplossingen  (1/13)π, (3/13)π, (5/13)π, ... , (25/13)π, en dat zijn er 13.
   
12. De tekening spreekt voor zich:
   
13. Het grensgeval vinden we als  x = 0,5x3  want dan is u1 = -u0  en dan draaien we in de weggrafiek een vierkantje.
Dat geeft  0,5x3 - x = 0  ⇒  x(0,5x2 - 1) = 0  ⇒  x = 0  ∨  x2 = 2 
⇒  x = 0  ∨  x = √2  ∨  x = -√2
De rij convergeert naar nul voor -√2 < u0 < √2
   
14. gemiddelde versnelling = (v(2) - v(0) )/2 = 3,93
   
15. v = 0  ⇒  2 - 8e-2t = 0 ⇒ 8e-2t = 2  ⇒  e-2t = 0,25  ⇒  -2t = ln0,25  ⇒  t = -0,5 • ln(0,25)  = ln2
   
16.
= (2ln2 + 1) - (0 + 4) = 2ln2 - 3 ≈ -1,61  dus het diepste punt is 161 centimeter onder water
     
17. Omdat P en S op een cirkel liggen is MP = MS
Dus driehoek MPS is gelijkbenig.
Dan is hoek MSP gelijk aan hoek MPS.
Omdat T op de raaklijn ligt is hoek MPT 90º en ook hoek MST = 90º.
Dus zijn de hoeken TPS en TSP óók gelijk
Dus is driehoek TSP óók gelijkbenig,
Dus is TP = TS
In de andere cirkel geldt op precies dezelfde manier dat TS = TQ.
Conclusie:  TS = TP = TQ dus de punten P, Q en S liggen even ver van T, dus op een cirkel met T als middelpunt.
   
18. Hoek RSQ is 90º  (Thales)
P,Q en S liggen op cirkel met middelpunt T (vraag 17), dus ook hoek QSP is 90º (Thales)
Dus hoek RSP = 90º + 90º = 180º dus R,S en P liggen op één lijn.