VWO WB12,  2003 - II
Loterij
Ter gelegenheid van een jubileum organiseert een grote universiteit een loterij. Elke student krijgt één lot. Er vinden twee trekkingen plaats. Bij de eerste trekking wordt bepaald op welke nummers een hoofdprijs van €500,- valt. Deze nummers worden teruggedaan en uit het totaal worden vervolgens de nummers getrokken waarop een troostprijs van €100,- valt. Op 5% van de loten valt een prijs van €500,- en op 20% van de loten een prijs van €100,-
Op één lot kunnen dus zowel een hoofd- als een troostprijs vallen.

Thomas is één van de studenten die zo'n lot gekregen heeft.
4p 1. Toon aan dat de kans dat Thomas minstens één prijs wint, gelijk is aan 0,24.

 
Een studentenvereniging bestaande uit 20 studenten spreekt af dat ieder lid het gewonnen prijzengeld in de clubkas stort. Aan het eind van het studiejaar zal er dan een activiteit georganiseerd worden die betaald wordt met het prijzengeld.
3p 2. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat minstens acht leden van de studentenvereniging in de prijzen vallen.

 
4p 3. Bereken hoeveel prijzengeld de studentenvereniging bij de twee trekkingen naar verwachting zal winnen.

 

 

 

Conflictlijnen

Santorini is een Grieks eiland. Door een vulkaanuitbarsting ruim 3550 jaar geleden is meer dan de helft van het eiland verzonken in zee. Het overgebleven deel van het eiland heeft de vorm van een croissant. Zie de figuur hierboven.

Geïnspireerd door de merkwaardige vorm van dit eiland gaan we over op het volgende wiskundige model.
Boog AB is een gedeelte van een cirkel met middelpunt M en straal MA. De punten A, T en M liggen op één lijn. Zie onderstaande figuur.

Veronderstel dat het vlak volgens het naaste-buur-principe wordt verdeeld tussen T en boog AB. De grens bestaat uit twee rechte delen en één gebogen deel.
8p

4.

 Teken de grens in de figuur en geef bij elk van de drie delen een toelichting.

 

 

Wortels optellen
Voor kleine waarden van n is de som √1 + √2 + √3 + ... + √n nog wel uit te rekenen met de grafische rekenmachine. Voor grote waarden van n is dat zelfs voor de GR te tijdrovend. Om voor grote waarden van n een schatting te hebben van die som bekijken we de bovensommen van y = √x op het interval [0, 1].

In de figuur hierboven is de grafiek van y = √x getekend op het interval [0,1].
Dit interval is in tien even brede stukjes verdeeld. De som van de oppervlakten van de tien gekleurde rechthoekjes is de bovensom; deze geven we aan met B10.
4p

5.
Toon aan:

 
De ondersom die hoort bij de verdeling van het interval [0,1] in tien even brede stukjes geven we aan met O10.
4p

6.

 Toon aan:  B10 - O10 = 1/10

 
Het interval [0,1] wordt in n even brede stukjes verdeeld. Bn is de bijbehorende bovensom en On is de bijbehorende ondersom. Aangetoond kan worden dat:
A is de oppervlakte onder de grafiek van y = √x op [0,1]
4p

7.

 Toon aan dat uit A < Bn en A > On volgt:  A • n√n < √1 + √2 + √3 + ... + √n < A• n√n + √n

 
Met behulp van deze ongelijkheid kan voor √1 + √2 + √3 + ... + √10000 een benadering berekend worden die ten hoogste 50 afwijkt van de werkelijke waarde.
5p

8.

 Bereken deze benadering.

 
Oppervlaktes en Rijen
Gegeven zijn de functies:   
De raaklijnen aan de grafieken van f en g met richtingscoëfficiënt 1 en richtingscoëfficiënt -1 sluiten een vierkant in. Zie de figuur hieronder.
8p

9.

 Bereken de oppervlakte van dit vierkant.

 
De lijn x = a,  met  a > 0, snijdt de grafiek van  f in C en de grafiek van g in B. De lijn x = -a snijdt de grafiek van  f in D en de grafiek van g in A.
De grafiek van f deelt de rechthoek ABCD in twee stukken met gelijke oppervlaktes. Zie de figuur hieronder.
7p 10. Bereken de waarde van a.

 
Bij een startwaarde u0 > 0 is de rij van positieve getallen un gedefinieerd door  un= f(un-1).
De rij van negatieve getallen vn is gedefinieerd door vn = g(un).
In de figuur hieronder zijn de plaats van u0 op de x-as, de grafieken van f en g en de lijn y = x getekend.

5p

11.

 Teken in bovenstaande figuur de plaats van v2 op de x-as.

 
Bij een bepaalde startwaarde van u0 krijgt v1 de waarde -1.
6p

12.

 Bereken deze startwaarde u0

 
Lissajous-kromme
De baan van een punt P wordt bepaald door de volgende bewegingsvergelijkingen:

zie de volgende figuur.
4p

13.

 Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de x-as.
P  passeert de y-as steeds met dezelfde snelheid.
7p

14.

 Bereken de exacte waarde van deze snelheid.

 

 

 
Lijn door het snijpunt van twee cirkels.
Gegeven zijn twee cirkels die elkaar snijden in de punten A en B.
Lijn l gaat door het punt A en snijdt de cirkels in de punten C en D. Zie onderstaande figuur.

Door de lijn l om A te draaien verandert driehoek BCD.
4p

15.

 Toon aan dat de grootte van ∠CBD onafhankelijk is van de stand van l.

 
In de figuur hieronder zijn opnieuw twee cirkels getekend die elkaar snijden in de punten A en B. De middelpunten van de cirkels zijn M en N. Lijn l door het punt A snijdt de cirkels weer inde punten C en D.

3p

16.

 Bewijs dat ∠AMN = ∠ACB

 
4p

17.

 Bewijs dat ∠MAN = ∠CBD

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. P(geen prijs) = 0,95 • 0,80 = 0,76
Dus P(minstens één prijs) = 1 - 0,76 = 0,24
2. Binomiaal met n = 20 , p = 0,24
P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7) = 1 - binomcdf(20, 0.24 , 7) = 0,083
3. Voor één lot geldt de volgende tabel:
prijs 0 100 500 600
kans 0,76 0,19 0,04 0,01

Dat levert gemiddeld  0 • 0,76 + 100 • 0,19 + 500 • 0,04 + 600 • 0,01 = 45 euro op
20 loten zullen dan naar verwachting  20 • 45 = 900 euro opleveren.
4. Als de cirkel volledig zou zijn, dan was de conflictlijn van punt T en de cirkel een ellips met brandpunten M en T.
Teken daarom deze ellips.
Maar links van lijnen  MB en MA is de afstand van een  punt tot de cirkelboog gelijk aan de afstand tot A of B.
Daarom wordt de conflictlijn daar de middelloodlijn van AT (groen) of van BT (blauw).
Het totaal bestaat daarom uit een deel van een ellips (rood) en twee delen van middelloodlijnen (groen en blauw).
5. Rechthoekje na rechthoekje (de breedte is steeds 0,1):
B10 = √0,1 • 0,1 + √0,2 • 0,1 + √0,3 • 0,1 + ... + √1 • 0,1
6. Op dezelfde manier als bij vraag 5 is O10 = √0 • 0,1 + √0,1 • 0,1 + √0,2 • 0,1 + ... + √0,9 • 0,1

Van elkaar aftrekken geeft :
7. A < Bn  geeft (omdat n√n groter dan nul is):   n√n • A < n√n • Bn = √1 + √2 + √3 + ... + √n

A > On geeft  A > Bn - 1/n  en dus  A • n√n > n√n • Bn - n√n • 1/n = n√n • Bn - √n
Ön naar de andere kant brengen geeft  A • n√n + √n = n√n • Bn = √1 + √2 + √3 + ... + √n

Daarmee zijn beide ongelijktekens bewezen.
8.
n = 10000 geeft  voor de ongelijkheden uit opgave 7:
2/3 • 10000 • √10000 < √1 + √2 + √3 + ... + √10000 < 2/3 • 10000 • √10000 + √10000
Þ  6666662/3 < √1 + √2 + √3 + ... + √10000  < 6667662/3
Midden tussen beide grenzen zit 6667162/3 en dat getal wijkt dus ten hoogste 50 af van de werkelijke waarde.
9. Als de richtingscoëfficiënt -1 is,  is de afgeleide functie -1.
f '= -1  ⇒  1/2x = -1  ⇒  x = -2.  het raakpunt is (-2 ,1) en de raaklijn is de lijn y = -x - 1.
Die snijdt de y-as in het punt (0,-1)
g'= -1 ⇒  8• x-3 = -1  ⇒  x-3 = -1/8  ⇒  x = -2. Het raakpunt is  (-2, -1)
en de raaklijn is de lijn y = - x - 3, en die snijdt de y-as in (0, -3)
De diagonaal van het vierkant heeft dus lengte 2.
De oppervlakte is dan gelijk aan de helft van 2 • 2 (een vierkant met de diagonaal, als zijde is dubbel zo groot) en dat is 2.
10. C = (a , 1/2a2) en D = (-a , 1/2a2) en A = (-a , -4/a2) en B = (a , -4/a2)
CD = 2a en  BC = 1/2a2 + 4/a2 dus de rechthoek heeft oppervlakte CD • BC = a3 + 8/a
Het donker gekleurde oppervlak is gelijk aan:

Dus moet gelden  10/12a3 = 1/2a3 + 4/a  ⇒  4/12a3 = 4/a  ⇒  a4 = 12  ⇒ a = 4√12
11.

12. u0 = x ⇒  u1 = 1/4x2 ⇒  u2 = 1/4(1/4x2)2 = 1/64x4
13. y = 0  ⇒  sin(2t + 1/3π) = 0  ⇒  2t + 1/3π = 0  (mod 2π)  ∨  2t + 1/3π = π  (mod 2π)
 ⇒  2t = -1/3π (mod 2π)  ∨  2t = 2/3π (mod 2π)
 ⇒  t = -1/6π (mod π)  ∨  t = 1/3π (mod π)
Tussen 0 en 2π (de gemeenschappelijke periode) geeft dat de oplossingen:
 t = 1/3π , 5/6π , 4/3π en 11/6π
Dat levert de snijpunten  (1/2√3 , 0) en (-1/2 , 0) en (-1/2√3 , 0) en  (1/2 , 0) 
14. x = 0  geeft  t = 0  V  t = π
De snelheid v  is  v = √((x')2 + (y')2) = √(cos2t + 4 • cos2(2t + 1/3π))
t = 0 levert v = √((1)2 + 4 • (1/2)2) = √2
en t = π zal dan wel dezelfde snelheid leveren.
15. ∠ADB is de omtrekshoek van boog AB (grote cirkel) en is dus constant.
∠ACB is de omtrekshoek van boog AB (kleine cirkel) en is dus ook constant.
∠BCD = 180º - ∠ACB en is dus ook constant.
In driehoek BDC zijn ∠BCD en ∠BDC constant, dus de derde hoek ∠CBD ook (som is 180º)
16. ∠ACB is de omtrekshoek van boog AB (linkercirkel)
∠AMB is de middelpuntshoek van boog AB.
Dus is ∠ACB de helft van ∠AMB.
Maar vanwege de symmetrie van de figuur (lijnsymmetrisch in MN) is ∠AMN ook de helft van ∠AMB
Dus is ∠AMN = ∠ACB
17. ∠AMN = ∠ACB (opgave 16)
∠ANM = ∠ADB (op dezelfde manier als in opgave 16, nu boog AB op de rechtercirkel)
Driehoek AMN:  ∠MAN = 180º- ∠AMN - ∠ANM = 180º- ∠ACB - ∠ADB = ∠CBD
(De laatste stap zie je door driehoek BCD te nemen: som is 180º).