Nieuwe pagina 1

VWO Wiskunde B12, 2004 - II

Voedselbehoefte

In een zeker gebied wordt een grote toename van de bevolking voorzien. Om de daarmee gepaard gaande problemen het hoofd te kunnen bieden, heeft men een schatting nodig van de grootte van de bevolking voor de komende jaren. Daarvoor stelt men het volgende model op voor de grootte van de bevolking: B(t) = 228 • e^0,1tHierin is B het aantal mensen in duizenden en t de tijd in jaren. Het komende jaar loopt van t = 0 tot t = 1. In deze opgave werken we met jaren van 360 dagen en maanden van 30 dagen.

4p	1.	Bereken de procentuele toename van de bevolking per maand.

Voedseldeskundigen hanteren als vuistregel: per persoon is er per dag 0,4 kg vast voedsel nodig. De totale benodigde hoeveelheid vast voedsel voor de inwoners van het gebied in het komende jaar noemen we V (in kg). Iemand wil berekenen hoe groot V is.

Een schatting van V kan verkregen worden door voor iedere dag van het jaar de voedselbehoefte te berekenen en deze voedselbehoeften op te tellen.

5p	2.	Bereken V volgens deze methode.

Een tweede methode om V te berekenen is met behulp van een integraal.

4p	3.	Bereken V met behulp van primitiveren volgens deze tweede methode.


Spreekuur

Een huisarts heeft op elke werkdag twee uren gereserveerd voor een spreekuur. De ervaring heeft haar geleerd dat zij tijdens het spreekuur gemiddeld tien minuten voor een patiënt nodig heeft.
We maken bij deze situatie het volgende wiskundige model:
elke werkdag komen er 12 patiënten op het spreekuur. De tijd die de huisarts tijdens het spreekuur voor een patiënt nodig heeft is normaal verdeeld met een gemiddelde van 10 minuten en een standaardafwijking van 4 minuten.
Voor sommige patiënten heeft de arts meer dan 15 minuten nodig.

4p	4.	Bereken de verwachtingswaarde van het aantal van zulke patiënten tijdens een spreekuur in twee decimalen nauwkeurig

5p	5.	Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat de huisarts tijdens een spreekuur minstens 6 patiënten meer dan 10 minuten kosten.

Neem aan dat de totale tijd die de arts voor 60 patiënten nodig heeft normaal verdeeld is met een gemiddelde van 600 minuten en een standaardafwijking van 4Ö60 minuten. In een week voor de 60 patiënten op haar spreekuur in totaal 654 minuten nodig. Dat is aanzienlijk meer dan de 600 minuten die je zou verwachten.

5p	6.	Onderzoek of deze gegevens voldoende aanleiding geven om de veronderstelde gemiddelde tijd van 10 minuten te verhogen, bij een significantieniveau van 5%.

De wijzers van een uurwerk

We volgen de eindpunten van de wijzers van een uurwerk. Daartoe brengen we een assenstelsel aan met de oorsprong in het draaipunt van de wijzers, de positieve x-as door "3-uur" en de positieve y-as door "12-uur". We rekenen de tijd t in uren, vanaf 0:00 uur.

De bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de grote wijzer zijn:
x = 3sin2πt, y = 3cos 2πt

De bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de kleine wijzer zijn:
x = 2sin¹/₆πt, y = 2cos¹/₆πt

Op het tijdstip t = 0 liggen de wijzers over elkaar heen.

Bereken het eerste tijdstip na t = 0 waarop dit weer het geval is.

De (rechtstreekse) afstand tussen de eindpunten van de wijzers verandert voortdurend.

Toon aan dat deze afstand op tijdstip t gelijk is aan:

10.

Bereken het eerste tijdstop na t = 0 waarop de eindpunten van de wijzers, samen met de oorsprong, een gelijkbenige driehoek vormen.

Een rij punten

We definiëren in een assenstelsel twee rijen punten P_n en Q_n (n = 1, 2, 3, ...) als volgt:

P₁ is het punt (1,4)
Q₁ ligt recht onder P₁, op afstand 1 van P₁, dus Q₁ = (1,3)
P₂ is het snijpunt van de lijn OQ₁ met de lijn x = 2
Q₂ ligt recht onder P₂, op afstand 1 van P₂
P₃ is het snijpunt van de lijn OQ₃ met de lijn x = 3
Q₃ ligt recht onder P₃, op afstand 1 van P₃.

Enzovoort.
In de figuur hiernaast zijn van beide rijen de eerste vijf punten aangegeven.

De richtingscoëfficiënt van de lijn OP_k noemen we r_k (k = 1, 2, 3,...). Van de rij van richtingscoëfficiënten kun je de eerste drie termen uitrekenen: r₁ = 4, r₂ = 3, r₃ = 2¹/₂.
Uit elke term r_k kan de volgende term r_k_{+ 1} worden berekend met de recursieve formule:
r_k₊₁ = r_k - ¹/_k (k = 1, 2, 3,...)
Zie de figuur hiernaast.

17.

Toon de juistheid van deze recursieve formule aan.

Uit de figuur bovenaan blijkt dat de hoogtes van de eerste vijf punten P₁, P₂, P₃, P₄ en P₅ weliswaar een stijgende rij vormen, maar dat de toenames in hoogte steeds minder worden. Hoe het verdere verloop van de hoogtes is, is niet onmiddellijk duidelijk.

18.

Onderzoek met behulp van de grafische rekenmachine voor welke waarden van n de punten P_n onder de x-as liggen. Licht je werkwijze toe.

Ook zonder grafische rekenmachine kan worden aangetoond dat de punten P_n voor voldoende grote waarden van n onder de x-as komen te liggen.

Daarvoor mag je gebruiken dat de limiet voor n nadert tot oneindig van

oneindig is.

20.

Toon met behulp van deze limiet aan dat de punten P_n voor voldoende grote waarden van n onder de x-as liggen.

OPLOSSING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	De groeifactor per jaar is e^0,1 dus per maand (e^0,1)^1/12 = 1,00836... Dat is dus ongeveer 0,84%

2.	Op dag 1: V = 0,4 • 228 • e^{0,1 • 1/360}Op dag 2: V = 0,4 • 228 • e^0,1•2/360enz. Alles optellen geeft V = 0,4 • 228 • (e^{0,1 • 1/360}+ e^0,1•2/360 + e^0,1•3/360 + ... + e^{0,1•360/360} ) Tussen haakjes staat een meetkundige rij met reden e^1/360 De som van deze 360 termen wordt dan : Daar komt uit (vermenigvuldig met 1000 omdat B in duizendtallen is: V = 0,4 • 228 • 1000 • 37,8194... = 3449136 kg

3.	= 144000 • (2519,789... - 2280) = 34529716 kg


4.	De kans op zo'n patiënt is normalcdf(15,1E99,10,4) = 0,1056 De verwachtingswaarde is dan 12 • 0,1056 = 1,27 zulke patiënten per spreekuur

5.	P(meer dan 10 minuten) = 0,5. Het aantal is binomiaal verdeeld met n = 12 en p = 0,5 P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - binomcdf(12 , 0.5 , 5) = 1 - 0,387 = 0,61

6.	H₀: het gemiddelde is 10 (de huisarts). Voor 60 patiënten wordt dit μ = 600 met σ = 4√60 H₁: het gemiddelde is meer dan 10 eenzijdige toets met α = 0,05 overschrijdingskans is P(X > 654) = normalcdf(654, 1E99 , 600 , 4√60) = 0,4068... Dat is kleiner dan α dus moet H₀ verworpen worden Er is dus WEL voldoende aanleiding om het gemiddelde te verhogen.

Zie de figuur hiernaast.
De hoek die de lichtstralen bij B met elkaar maken is 180 - β (omdat l₁ en l₃ evenwijdig zijn, vormt de andere hoek bij B een Z-hoek met β)
We zien bij B dat 2γ + 180 - β = 180 ofwel γ = 0,5β
We zien bij A dat 2α + β = 180 ofwel α = 90 - 0,5β
Samen volgt daaruit dat α + γ = 90 - 0,5β + 0,5β = 90
Dus is ook δ gelijk aan 90º.


8.	Als de wijzers over elkaar liggen moeten de x-coördinaten én de y-coördinaten van hun uiteinden gelijk zijn. cos 2πt = cos ¹/₆πt ⇒ 2πt = ¹/₆πt (mod 2π) ∨ 2πt = 2π - ¹/₆πt (mod 2π) ⇒ 1⁵/₆πt = 0 (mod 2π) ∨ ¹/₆πt = 0 (mod 2π) ⇒ t = 0 (mod ¹²/₁₁) ∨ t = 0 (mod 12) Dat geeft de rij oplossingen: 0 , ¹²/₁₁ , ²⁴/₁₁ , ³⁶/₁₁ , ..... sin 2πt = sin ¹/₆πt ⇒ 2πt = ¹/₆πt (mod 2π) ∨ 2πt = π - ¹/₆pt (mod 2π) Het eerste deel is gelijk dus ook hier zal als oplossing t = ¹²/₁₁ uitkomen. Conclusie: op t = ¹²/₁₁ liggen de wijzers voor het eerst weer over elkaar.

9.	Maar omdat cos²x + sin²x = 1 vereenvoudigt dit tot: Het deel tussen haakjes onder de wortel staat op de formulekaart: sinasinb + cosacosb = cos(a - b), dus: en dat is inderdaad de gezochte formule.

10.	Als de wijzers voor 't eerst een gelijkbenige driehoek vormen, dan moet de afstand tussen de uiteinden van de wijzers gelijk zijn aan de lengte van de kleine wijzer, in dit geval 2. Dus 13 - 12cos¹¹/₆πt = 4 ⇒ 12 cos ¹¹/₆πt = 9 ⇒ cos ¹¹/₆πt = 0,75 ¹¹/₆πt = 0,7227 (mod 2π) ∨ ¹¹/₆pt = 2π - 0,7227 = 5,5605 (mod 2π) ⇒ t = 0,125 (mod 1,09) ∨ t = 0,965 (mod 1,09) (maar oplossen met de GR mag natuurlijk ook....) De kleinste oplossing is t = 0,125


11.	De lengte van AB is L = y_g - y_f = √x - x² Dat is maximaal als de afgeleide nul is. L' = 0,5 • x^-0,5 - 2x 0,5 • x^-0,5 - 2x = 0 ⇒ 0,5x^-0,5 = 2x ⇒ 0,5 = 2x^1,5 ⇒ x^1,5 = 0,25 ⇒ x = 0,25^1/1,5 = 0,25^2/3

12.	Verdeel het gebied in twee stukken. gebied I: tussen x = 1 en x = 2 Daar ligt f boven g gebied II : tussen x = 2 en x = 4. Daar ligt 6 - x boven g Totale oppervlakte is dan 3 - ⁴/₃√2 + ²/₃ + ⁴/₃√2 = 3²/₃

13.

In driehoek APB is de som van de hoeken 180º
Dus ∠APB = 180º - (∠BAP + ∠ABP)
Maar ∠BAP = 0,5 • ∠A en ∠ABP = 0,5 • ∠B
Omdat ∠A + ∠B + γ = 180 geldt 0,5 • ∠A + 0,5 • ∠B = 0,5 • (∠A + ∠B) = 0,5 • (180 - g)
Dus ∠APB = 180 - 0,5 • (∠A + ∠B) = 180 - 0,5 • (180 - γ) = 90 - 0,5γ.

14.

g verandert niet als C over boog I beweegt (omtrekshoek van cirkel)
Maar dan verandert APB ook niet, want die is immers 90 - 0,5γ
Als hoek APB niet verandert, dan ligt P op een cirkel.

15.

∠AMB is de middelpuntshoek van boog AB en is dus dubbel zo groot als de omtrekshoek van boog AB.
De omtrekshoek van boog AB = ∠PAB + ∠PBA
Dus ∠AMB = 2 • (∠PAB + ∠PBA) = 2 • ∠PAB + 2 • ∠PBA = ∠CAB + ∠CBA = 180 - γ

16.

∠AMB + g = 180º, dus is AMBC een koordenvierhoek
Dus ligt M op boog II

17.

Noem de projectie van P_k op de x-as het punt V_k, dan geldt:

18.

P_n ligt onder de x-as als r_n < 0
Maak een rij voor r_n met de GR:
nmin=1
u(n)=u(n-1) - ¹/_(n-1)
u(nmin)= 4
kijk in de tabel wanneer dit kleiner dan nul wordt. Dat is voor het eerst bij n = 32 (u₃₂ = -0,0272...)
Dus r_n < 0 als n ³ 32

19.

r_n₊₁ = r₁ - 1 - ¹/₂ - ¹/₃ - ... - ¹/_n= 4 -

omdat de laatste som voor voldoende grote n groter dan 4 wordt, wordt r_n₊₁ negatief en liggen de punten P onder de x-as.

Een holle spiegel

Als een lichtstraal wordt weerkaatst door een holle spiegel, maken de invallende en de weerkaatste lichtstraal gelijke hoeken met de raaklijn in het betreffende punt aan de spiegel. Zie de figuur hiernaast.
Een lichtstraal wordt twee keer door een holle spiegel weerkaatst: eerst in punt A en dan in punt B. Zie de figuur hieronder.



We onderscheiden drie stukken van de lichtstraal:
l₁ is het stuk vóórdat hij in A op de spiegel valt. l₂ is het stuk tussen de punten A en B l₃ is het stuk nadat hij in B door de spiegel is weerkaatst.

6p	7.	Bewijs dat geldt: als l₁ en l₃ evenwijdig zijn, staan de raaklijnen in A en B aan de spiegel loodrecht op elkaar.

Twee halve parabolen

Gegeven zijn de functies: f(x) = x² en g(x) = √x, beide met domein [0,→〉. Zie de volgende figuur.



De lijn x = p, met 0 < p < 1, snijdt de grafiek van f in A en de grafiek van g in B.

7p	11.	Bereken de exacte waarde van p waarvoor de lengte van het lijnstuk AB maximaal is.

In de figuur hieronder zijn de grafieken van f en g en ook de lijn y = 6 - x getekend. Het gebied, ingesloten door de grafiek van f, de grafiek van g, en de lijn y = 6 - x, is in de figuur grijs gekleurd.



7p	12.	Bereken algebraïsch de exacte oppervlakte van dit gebied.

Het bissectricepunt

Op een cirkel liggen twee vaste punten A en B en een bewegend punt C. Het gemeenschappelijke punt van de bissectrices (deellijnen) van driehoek ABC is P; dit punt noemen we het bissectricepunt van de driehoek. ÐACB noemen we γ. Zie de volgende figuur.



Er geldt: ∠APB = 90º - ¹/₂γ

4p	13.	Bewijs dit.

De punten A en B verdelen de cirkel in twee bogen: boog I (de grote boog waar in de figuur punt C op ligt) en de kleinere boog II. We laten het punt C boog I doorlopen. We bekijken de baan die het bissectricepunt P dan beschrijft. Deze baan is in onderstaande figuur getekend.



4p	14.	Bewijs dat deze baan een cirkelboog is.

Het middelpunt van de cirkel waarvan deze baan een deel is noemen we M.

3p	15.	Druk ∠AMB uit in γ.

3p	16.	Bewijs dat punt M op boog II ligt.