VWO  WB12, 2006 - II

 

Drinkbak.
In de figuur hieronder staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant die aan de goot gelast zijn.
De bak is 20 dm lang, 4 dm breed en 2 dm diep.

In de figuur hieronder is het vooraanzicht van de goot getekend in een assenstelsel.

De gebogen vorm van de goot is de grafiek van de functie:
  f(x) = -1/8x4  + x3 - 2x2 + 2  (x en y in dm, en 0 ≤ x ≤ 4)
4p

1.

 Toon algebraïsch aan dat de helling van de grafiek van f gelijk is aan 0 voor x = 0 en voor x = 4.
De waterspiegel heeft de vorm van een rechthoek, waarvan de lengte 20 dm is. De breedte van de waterspiegel varieert met de waterhoogte. In de figuur hieronder is in het assenstelsel het vooraanzicht van de bak getekend bij een bepaalde waterhoogte.

3p

2.

 Bereken de waterhoogte als de breedte van de waterspiegel 2,4 dm is.

 
6p

3.

 Bereken in liters nauwkeurig hoeveel water de bak bevat als hij tot de rand gevuld is.

 
5p

4.

 Bereken in dm2 nauwkeurig de oppervlakte van de rechthoekige plaat waarvan het gebogen deel van de drinkbak gemaakt is.

 

 

Met verschillende startwaarden
In de figuur hieronder staat de grafiek van  de functie f(x) = 2 - x2 .
Na keuze van een startwaarde u0 is de rij  u0, u1, u2, u3, ... vastgelegd door  un = f(un - 1)  (n = 1, 2, 3,...)

In de figuur is een mogelijke startwaarde u0 op de x-as weergegeven.
4p

5.

 Teken op de x-as met behulp van een webgrafiek in de figuur de plaatsen van u1, u2, en u3 die bij deze u0 horen.

 
Er zijn twee startwaarden waarbij de rij   u0, u1, u2, u3, ...  constant is
3p

6.

 Bereken deze startwaarden exact.

 
Neem u0 = a.
Er zijn twee startwaarden a zodat de rij bestaat uit twee verschillende getallen a en b die elkaar afwisselen; de rij wordt dan a, b, a, b, a, ...  met  b ≠ a.
6p

7.

 Bereken beide waarden van a in drie decimalen nauwkeurig.

 

 

Levensduur van chips.
In elektronische apparatuur worden veel chips gebruikt. Om de levensduur van chips te bepalen kan men niet gewoon wachten tot ze stukgaan. Dat kan namelijk wel 20 á 30 jaar duren! Daarom past men zogenaamde stress-methoden toe: men onderwerpt de chips aan extreme omstandigheden, bijvoorbeeld hoge temperatuur, zodat ze sneller stukgaan. Vervolgens kan men de onder extreme omstandigheden gevonden levensduur terugrekenen naar de levensduur onder normale omstandigheden.

Bij hoge-temperatuurstress werkt men met het model van Arrhenius:

Hierbij is g de levensduur (in jaren), T de temperatuur (in kelvin) en a een constante.

De levensduur van een chip van type A blijkt bij een temperatuur van 373 kelvin 0,1 jaar te zijn.
4p

8.

 Toon door berekening aan dat bij kamertemperatuur (293 kelvin) de levensduur van zo'n chip ongeveer 28 jaar is.

 
Neem bij de volgende vraag a = 7700.
Een gebruiker wil weten hoe snel g bij toenemende temperatuur verandert als T = 293.
4p

9.

 Bereken deze snelheid met behulp van differentiëren.

 
Neem aan dat de levensduur van chips van type B bij gebruik bij kamertemperatuur normaal verdeeld is met een verwachtingswaarde μ van  8,0 jaar en een standaardafwijking σ van 2,0 jaar.

Een klant koopt 500 chips van type B.

5p

10.

 Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat meer dan 50 van deze chips binnen 5 jaar stukgaan.

 
Van de chips van type B vermoedt men dat m kleiner is dan 8,0 jaar. Om dat te onderzoeken past een laboratorium hoge-temperatuurstress toe op 50 chips van type B.
Als de levensduur van de chips van dit type normaal verdeeld is met μ = 8,0 en σ = 2,0 dan is de gemiddelde levensduur van de chips bij een steekproef van 50 chips normaal verdeeld met μ = 8,0 en σ = 2,0/√50.
Met de resultaten van het laboratorium heeft men berekend dat deze chips bij kamertemperatuur een gemiddelde levensduur van 7,2 jaar gehad zouden hebben. De aanname dat de levensduur van chips van type B bij gebruik bij kamertemperatuur normaal verdeeld is met een verwachtingswaarde μ van 8,0 jaar en een standaardafwijking σ van 2,0 jaar noemt men de nulhypothese.
5p

11.

 Geeft deze uitkomst van 7,2 jaar voldoende aanleiding om bij een significantieniveau van 1% de nulhypothese te verwerpen?

 
Met vast brandpunt F en een lijn m.
Gegeven zijn een punt F en een lijn m.
We bekijken alle parabolen met F als brandpunt die raken aan de lijn m. In de figuur hieronder zijn twee voorbeelden getekend.

Op de lijn m wordt een punt R gekozen. Zie onderstaande figuur.

6p

12.

 Teken in deze figuur de top van de parabool die F als brandpunt heeft en die m  raakt in het punt R. Licht je werkwijze toe.

 
 
α - baan
De plaats van een bewegend punt P in een assenstelsel wordt gegeven door:
x(t) = cos2t  en  y(t) = cos3t, waarbij t de tijd voorstelt, met 0 ≤ t ≤ π.
De baan van het punt P lijkt op de Griekse letter α. Zie volgende figuur.

We vergelijken de tijdsduur dat P links van de lijn x = 0 is met de tijdsduur dat P rechts van die lijn is.
4p

13.

 Toon aan dat P zich exact even lang links van de lijn x = 0 bevindt als rechts ervan.

 
Tijdens de beweging verandert de afstand van het punt P op de baan tot het punt O(0,0).
4p

14.

 Bereken de minimale waarde van de afstand OP in twee decimalen nauwkeurig.

 
Tijdens de beweging verandert de snelheid van het punt P.
5p

15.

 Onderzoek of de grootste snelheid van het punt P wordt bereikt op het tijdstip t = 1/2π.

 
Op één lijn.
Gegeven zijn twee driehoeken ABC en BDE met ∠ACB = ∠BDE.
De omgeschreven cirkels van deze driehoeken snijden elkaar in de punten B en S.
Zie onderstaande figuur.

4p

16.

 Bewijs dat S op de lijn AE ligt.

 
Punten buiten een cirkel.
Gegeven zijn de cirkel c met middelpunt M en een punt A buiten c.
Vanuit punt A worden de beide raaklijnen aan c getrokken. De raakpunten zijn R1 en R2. Gegeven is dat de lengte van de (kleinste) boog R1R2 gelijk is aan 1/3 deel van de omtrek van c. Zie onderstaande figuur.

6p

17.

 Toon aan dat de afstand van A tot c de helft is van AM.

 
Vanuit een punt X buiten c worden twee halve lijnen getrokken die aan c raken. De raakpunten noemen we S1 en S2. De hoek die de halve lijnen met elkaar maken noemen we α. Zie volgende figuur.

G is het gebied van alle punten X buiten de cirkel waarvoor de bijbehorende hoek α stomp is.
6p

18.

 Toon aan dat de oppervlakte van G gelijk is aan de oppervlakte van c

 

 

OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. f '(x) = -1/2x3 + 3x2 - 4x
f '(0) = 0  en f '(4) = -32 + 48 - 16 = 0  
2. Als de breedte 2,4 is, is dat horizontaal vanaf x = 2 aan beide kanten 1,2 dm.
Dat is dus bij de punten x = 0,8 en x = 3,2.
f(0,8) = 1,1808 en dat is de waterhoogte.
3. De oppervlakte onder de grafiek van f tussen x = 0  en x = 4 is gelijk aan:

en dat is 56/15.
De oppervlakte van de voorkant van de waterbak is dan 8 - 56/15 = 64/15.
De inhoud is dan 20 • 64/15 = 851/3 dm3 
4. De breedte van de plaat is de lengte van de grafiek van f.

invoeren in de GR  geeft een lengte van ongeveer 5,844 dm.
De oppervlakte wordt dan 5,844 • 20 ≈ 117 dm2 
5. Hiernaast is de lijn y = x getekend in de figuur.

De oplossing spreekt voor zich....

6. De rij is constant als f(un - 1) = un - 1, dus als f(x) = x.
2 - x2 = x  ⇒  x2 + x - 2 = 0  ⇒  (x - 1)(x + 2) = 0  ⇒  x = 1  V  x = -2
Dat zijn de gezochte startwaarden.
7. un = a, dan is un + 1 = b = 2 - a2 
dan is un + 2 = 2 - b2 = 2 - (2 - a2 )2  en dat moet gelijk zijn aan a
2 - (2 - a2 )2 = a
Y1 = X en Y2 = 2 - (2 - x2 )2   
window bijv.  Xmin = -3,  Xmax = 3,  Ymin = -4,  Ymax = 4
intersect levert X = -2  V  X ≈ -0,618  V  X = 1   V   X ≈ 1,618
De waarden waarvoor a en b van elkaar verschillen zijn  a = 0,618 en a = 1,618 
8. 0,1 = 1,1 • 10-10 • ea/373  ⇒  909090909,1 =  ea/373   ⇒  a/373 = ln 909090909,1 ≈ 20,63
 ⇒  a ≈ 7694,23
g(293) = 1,1 • 10-10 • e7694,23/293 ≈  27,93 en dat is ongeveer 28 jaar.
9.
g'(293) ≈ -2,55
10. Voor één chip is de kans normalcdf(0, 5, 8.0, 2.0) = 0,0667755
n = 500,  p = 0,0667755
P(X > 50) = 1 - P(X ≤ 50) = 1 - binomcdf(500, 0.0667755, 50) ≈ 0,002
11. H0:  μ = 8,0,  σ = 2,0/√50
H1:  μ < 8,0
een eenzijdige toets met α = 0,01
De meting was 7,2 en de overschrijdingskans is dan  normalcdf(0, 7.2, 8.0, 2.0/√50) ≈ 0,0023
Dat is kleiner dan 0,01 dus de meting geeft WEL voldoende aanleiding H0 te verwerpen. 
12. De raaklijn maakt gelijke hoeken met de lijn van R naar de richtlijn en met RF (raaklijneigenschap parabolen).
Teken lijn RS zo, dat RS dezelfde hoek met m maakt als FR. Neem RS = RF dan is S het voetpunt dat bij punt R hoort.
De richtlijn loopt door S loodrecht op RS.
Teken een lijn van F evenwijdig aan RS; het snijpunt P met de richtlijn is dus het voetpunt dat bij de top hoort.
De top T is dan het midden van FP.

13. De gemeenschappelijke periode van x en y is 2π. Dus bekijken we het gebied 0 ≤ t < 2π.
x = 0  ⇒  cos2t = 0 
⇒  2t = 0,5π  ∨  2t = 1,5π
 ⇒  t = 0,25π (mod π)  ∨  t = 075π  (mod π)
Dat geeft de oplossingen  t = 0,25π,  t = 0,75π,  t = 1,25π,  t = 1,75π.
x < 0  als   0,25π < t < 0,75π  of  1,25π < t < 1,75π
Dat is een tijdsinterval van 0,5π + 0,5π = π
Dat is inderdaad de helft van 2π.
14. OP = √(x2 + y2 ) = √(cos2 2t + sin2 3t)
Voer in bij Y1 en gebruik calc - minimum dat geeft een minimum van ongeveer 0,43.
15. snelheid v = √( (x' )2 + (y ')2 ) = √((-2sin2t)2 + (-3sin3t)2) = √(4sin22t + 9cos2(3t))
plot de grafiek van v
bij t = 0,5p geeft dat v = 3.
maar het maximum zit bij t ≈ 0,56 en t ≈ 2,58 en is gelijk aan ongeveer 3,48
conclusie: de grootste snelheid wordt NIET bereikt voor t = 0,5p.
16. ∠ASB = ∠ACB  (beiden de omtrekshoek van boog AB)
dus ∠ASB = *

BSED is een koordenvierhoek, dus ∠BSE = 180º - ∠BDE = 180º - *

∠ASB + ∠BSE = * + 180º - * = 180º dus is ASE een rechte lijn.
17 ∠R1MR2 = 120º (want het was 1/3 cirkel)
dus ∠AMR1 = 60º  (symmetrie)
Omdat de raaklijn AR1 loodrecht op MR1 staat is driehoek AMR1 een 30-60-90 driehoek.
Dus is AM = 2MR1
Omdat MB = MR1 is de afstand inderdaad de helft.

18. Het grensgeval is de verzameling van punten waarvoor de raaklijnen een rechte hoek met elkaar maken. Dat betekent dat de middelpuntshoek S1MS2 dan ook een rechte hoek is.
MS1XS2 is dan een vierkant met zijde r.
MX = r√2 (Pythagoras)

De punten X die een stompe hoek maken liggen in de oranje ring hiernaast.
De buitenste cirkel heeft oppervlakte π(r√2)2 = 2πr2 
De binnenste cirkel heeft oppervlakte πr2
De ring heeft dus oppervlakte 2πr2 - πr2 = πr2
Dat is inderdaad de oppervlakte van de cirkel c.