Bij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 180 ml en een standaardafwijking van 15,5 ml.

Iemand bestelt voor een rondje twaalf glazen tapbier.

Bereken de kans dat bij het rondje ten hoogste twee glazen zitten met minder dan 175 ml bier.

Ook de totale hoeveelheid getapt bier van het rondje is bij benadering normaal
verdeeld, met standaardafwijking √12 • 15,5 ml.

Bereken de kans dat de totale hoeveelheid getapt bier van het rondje meer dan 90 ml minder is dan je zou mogen verwachten.

In de eerste eeuw van onze jaartelling schreef de Egyptenaar Heron een werk waarin hij een formule gaf voor de oppervlakte van een driehoek. Hij deed dit als volgt. Noem de lengtes van de zijden van de driehoek a,b en c . Zie de volgende figuur.

Noem de halve omtrek van de driehoek s.  Dus s = ¹/₂ • (a + b + c). Een formule voor de oppervlakte H van de driehoek is dan:

Deze formule wordt de formule van Heron genoemd.

Toon aan dat deze formule de juiste uitkomst geeft voor de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met zijden 3, 4 en 5.

In het vervolg van deze opgave gebruiken we dat de formule van Heron voor elke driehoek geldt. We bekijken driehoeken ABC met AC = 7 en BC = 3 . De lengte van de derde zijde AB noemen we x , met 4 < x <10. In de volgende figuur zijn drie van dergelijke driehoeken getekend.

\

Er is één waarde van x waarvoor de oppervlakte van driehoek ABC maximaal is.
Voor deze waarde van x is  (25 - ¹/₄x² )(¹/₄x² - 4)  maximaal

Bij een practicumproef draait een doorzichtige cirkelvormige schijf in een verticaal vlak om zijn middelpunt M . Deze schijf heeft een straal van 1 meter. Tussen twee punten op de rand van de schijf wordt een staaf AB met lengte 1 meter bevestigd. De punten op de rand van de schijf hebben een constante snelheid van 1 m/s. Het geheel wordt beschenen door een bundel verticaal invallende evenwijdige lichtstralen. In deze opgave bekijken we de lengte van de schaduw A'B' van de staaf op de grond.

We maken een wiskundig model bij deze proef. We kiezen het assenstelsel in het draaivlak van de schijf, met de x -as langs de grond en de y -as door het middelpunt M van de schijf. De bewegingsvergelijkingen van A en B zijn:

Hierbij zijn  x en y in meter en is t in seconde.

In de figuur hiernaast staat een vooraanzicht van de situatie op een zeker tijdstip. De lengte (in meter) van de schaduw A'B' op tijdstip t noemen we l(t) . Voor elke waarde van t tussen 0 en π geldt: l(t) = sint .

Toon dit langs algebraïsche weg aan.

Om de gemiddelde schaduwlengte g van AB (in meter) te berekenen, kunnen we ons beperken tot een halve omwenteling: 0 ≤ t ≤ π .

We vergelijken de delen van de omwentelingstijd waarvoor l(t) > ²/_π en waarvoor l(t) < ²/_π We kunnen ons weer beperken tot een halve omwenteling: 0 ≤ t ≤ π .

Gegeven is de cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. De lijn k raakt aan c in het punt A. Zie de volgende figuur.

Er zijn vier punten die zowel op afstand 1 cm van k als op afstand 1 cm van c liggen.

Teken in de figuur de meetkundige plaats van de punten die even ver van k als van c liggen. Licht je werkwijze toe.

We bekijken de grafieken van de functies f en g, gegeven door f(x) = e^x en g(x) = e^2x voor x ≤ 0. In de volgende figuur staan de grafieken van deze functies. De schaal op de y-as is anders gekozen dan de schaal op de x-as.

Voor elke a < 0 is de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g
en de lijn x = a gelijk aan     ¹/₂(1 - e^a )² 

We bekijken de verticale verbindingslijnstukken van de grafieken van f en g voor x ≤ 0. In de figuur hieronder zijn twee van deze verbindingslijnstukken als voorbeeld getekend.

In de figuur hieronder is de grafiek van f getekend, evenals de lijn y = x

Neem s = 5. Bij deze startwaarde vertonen de termen van de rij vanaf n = 3 een bepaalde regelmaat.

Er zijn startwaarden waarvoor de rij bestaat uit twee verschillende getallen die elkaar afwisselen. Dus u₂ = u₀.

Eén van die startwaarden is groter dan 5. Bereken deze startwaarde exact.

We bekijken het gedrag van de rij voor startwaarden tussen ⁵/₆ en ⁷/₆. Veronderstel dat je voor alle startwaarden tussen ⁵/₆ en ⁷/₆ de eerste stap tekent van de webgrafiek. In de volgende figuur is de strook die dan ontstaat met grijs aangegeven.

Onderzoek met behulp van de figuur of de rijen met startwaarden tussen ⁵/₆ en ⁷/₆ convergeren.

De hoekpunten van vierhoek ABCD liggen op een cirkel. AB is groter dan CD en AD is groter dan BC . De lijnen AD en BC snijden elkaar in P . Verder is gegeven dat AB = BP . Stel ∠BAD = α . Zie de onderstaande figuur.

Nu is bovendien gegeven dat AD een middellijn is van de cirkel; het middelpunt M van de cirkel ligt dus op AD. Het punt S is het snijpunt van AC en BD. Zie onderstaande figuur.