VWO WB12, 2009 - I

 

Een benadering van een nulpunt.
     
Voor elke positieve startwaarde x0 is een rij x0 , x1, x2 , … gegeven door de
volgende recursievergelijking:
   
     
Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als xn + 1 = g(xn ), waarbij  g(x) = 1/2x + 1/x met x > 0 .
In de figuur hieronder zijn de grafiek van g en de lijn y = x getekend.
In deze figuur is op de x-as een getal x0 gekozen.
     

     
3p. 1. Teken in deze figuur met behulp van een webgrafiek de bijbehorende plaatsen van x1 en x2 op de x-as.
   

 
De rij x0 , x1, x2 , … convergeert. De grafiek van g heeft één top.
     
5p. 2. Toon aan dat de limiet van de rij x0 , x1, x2 , … exact gelijk is aan de x-coördinaat van de top van de grafiek van g.
   

 
Een nulpunt van een functie f  kan in het algemeen snel benaderd worden met de volgende recursievergelijking:
 

     
bij een geschikte keuze van x0.
Deze benaderingsmethode noemt men de methode van Newton-Raphson.
Passen we deze methode toe voor een benadering van het nulpunt 2 van  f (x) = x2 − 2 dan volgt hieruit de gegeven recursievergelijking  xn + 1 = 1/2xn + 1/xn
     
4p. 3. Toon aan dat deze laatste vergelijking volgt uit de vergelijking 
   

 
     
Wachten op de bus.
     
Bij een evenement worden mensen vanaf een opstapplaats per bus vervoerd naar de ingang van de evenementenhal. Voortdurend pendelen drie bussen tussen de opstapplaats en de ingang. De reistijd van een bus (van de opstapplaats naar de ingang en terug) is gemiddeld 60 minuten. In figuur 1 is de situatie weergegeven dat na elke 20 minuten een bus vertrekt.
Neem aan dat voor mensen die met de bus mee willen, elk aankomsttijdstip op de opstapplaats even waarschijnlijk is. Een bezoeker aan het evenement komt dus met kans 1/3 in elk van de drie tijdsintervallen tussen de vertrekkende
bussen aan en voor elk van die tijdsintervallen is de te verwachten wachttijd 10 minuten. De verwachtingswaarde van de wachttijd is dus  1/3 • 10 +  1/3 • 10 + 1/3 • 10 = 10 minuten.
In figuur 2 is de situatie weergegeven dat de bussen vertrekken met tussenpozen van 10, 20 en 30 minuten.
     

     
4p. 4. Bereken in de situatie van figuur 2 de verwachtingswaarde van de wachttijd voor een bezoeker aan het evenement.
   

 
De reistijd van de bussen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 60 minuten. Het kan natuurlijk voorkomen dat een rit wat langer of wat korter duurt. Men vindt dit acceptabel zo lang niet meer dan 10% van de ritten langer duurt dan 65 minuten.
     
4p. 5. Bereken de maximale standaardafwijking van de reistijd van een bus waarbij aan deze eis voldaan is.
   

 
Veronderstel dat de reistijden van de bussen onafhankelijk zijn en alle een standaardafwijking van 3,4 minuten hebben.
We bekijken twee opeenvolgende bussen.
     
4p. 6. Bereken de kans dat de eerste bus meer dan 65 minuten over de rit doet en de tweede bus minder dan 55 minuten.
   

 
Een buiteling.
     
Een lijnstuk PQ met een lengte van π meter buitelt over een halve cirkel waarvan de straal OE 1 meter is. In onderstaande figuur zijn de beginstand, twee tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin PQ raakt aan de halve eenheidscirkel noemen we R. Dus op elk moment staat PQ loodrecht op OR en is het lijnstuk PR even lang als de cirkelboog ER.
     

     
Het lijnstuk buitelt zó dat R met snelheid 1 m/s over de halve cirkel beweegt. Op tijdstip 0 begint PQ aan de buiteling; dan is het punt P nog in het punt E.
     
Er wordt een rechthoekig assenstelsel aangebracht zo dat O het punt (0, 0) is en E het punt (1, 0). Zie volgende figuur.
     

     
In deze figuur is het lijnstuk PQ op tijdstip t getekend voor een waarde van t  tussen 0 en π . Omdat de straal van de halve cirkel 1 m is en de snelheid van R gelijk is aan 1 m/s, geldt ∠EOR = t (rad) en RP = t (m).
De projectie van R op de x-as is R' en de projectie van P op RR' is P' .
Op elk tijdstip t geldt: ∠PRP' = ∠ROR' = t .
Voor de coördinaten van P geldt:
     
   

     
5p. 7. Toon de juistheid aan van de formule voor x(t) met  0  ≤  t  ≤  1/2π
   

 
In de volgende figuur zijn drie standen van PQ getekend en de hele baan van P.
     

     
De grootte en de snelheid van punt P na t seconden noemen we v(t). Er geldt:
     
 

     
Hieruit volgt  v(t) = t
     
6p. 8. Toon dit aan.
   

 
3p. 9. Bereken exact de lengte van de baan van P.
   

 

 

Twee parabolen met een gemeenschappelijke richtlijn.
     
In onderstaande figuur zijn een lijn k en twee punten A en B getekend. Verder zijn getekend de parabool p1 met brandpunt A en richtlijn k en de parabool p2 met brandpunt B en richtlijn k. De parabolen snijden elkaar in de punten D en E.
     

     
D en E liggen op de middelloodlijn van AB.
     
3p. 10. Bewijs dit voor punt D.
   

 
Wanneer we het vlak verdelen tussen punt A, punt B en lijn k volgens het naaste-buurprincipe, spelen onder andere de parabolen p1 en p2 daarbij een rol.
     
3p. 11. Geef in de figuur hierboven met verschillende kleuren of arceringen deze verdeling van het vlak aan.
   

 
Lijn AB snijdt lijn k in punt C. De lijn m gaat door C en raakt de parabool p1 in punt R. Zie de figuur hiernaast.
Er geldt: m is de bissectrice van een
hoek tussen de lijnen k en AB.

     
4p. 12. Bewijs dit.
   

 

  
     
Een gemeenschappelijke raaklijn.
     
De functies f en g zijn gegeven door f(x) = ln(x) en g(x) = ex . In onderstaande figuur zijn de grafieken van beide functies getekend. De lijn k is een gemeenschappelijke raaklijn aan de grafieken van f en g. Het punt waarin k de grafiek van f  raakt, noemen we P( p, ln(p)) , met p > 0. Het punt waarin k de grafiek van g raakt, noemen we Q(q, eq ), met q < 0 .
     

     
Omdat k raaklijn is in punt P aan de grafiek van f,   is  y = 1/p x + ln(p) − 1 een formule voor k.
     
3p. 13. Toon dit aan.
   

 
Omdat k raaklijn is in punt Q aan de grafiek van g, is ook y = eq x + eq(1 − q) een formule voor k.
Uit de twee formules voor k kunnen we twee verbanden tussen p en q afleiden:
eq = 1/p  (oftewel p = e−q )  en   eq(1 − q) = ln(p) −1.

Uit deze twee verbanden volgt dat q voldoet aan de vergelijking:   eq = (q + 1)/(q - 1)
     
3p. 14. Toon aan dat deze laatste vergelijking volgt uit de twee genoemde verbanden tussen p en q.
   

 
4p. 15. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de richtingscoëfficiënt van de gemeenschappelijke raaklijn k.
   

 
Een koordenvierhoek?
     
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. Aan weerskanten van C liggen de punten K en L op de omgeschreven cirkel zo dat CK = CL . De koorde KL snijdt de zijden AC en BC in P en Q.
Zie onderstaande figuur.
     

     
Er geldt: ∠BAC = ∠QCL +∠CLK .
     
5p. 16. Toon dit aan.
   

 
4p. 17. Bewijs dat vierhoek ABQP een koordenvierhoek is.
   

 

 
Een vuurpijl met tegenwind
     
Een vuurpijl wordt vanaf de grond schuin weggeschoten. Door tegenwind beschrijft de vuurpijl een baan zoals die in onderstaande figuur getekend is.
     

     
In deze figuur is een assenstelsel aangebracht met de x-as op de grond tegen de windrichting in en de y-as verticaal. In O wordt de vuurpijl afgeschoten. In B komt hij weer op de grond.
A is het punt van de baan dat het meest naar rechts ligt.
We gebruiken voor de baan de volgende formules:
voor het eerste deel OA van de baan geldt y = 2x −100 + 4 • √(625 −10x) ,
voor het tweede deel AB van de baan geldt y = 2x −100 − 4 •√(625 −10x) ,
met x en y in meter.
     
7p. 18. Bereken op algebraïsche wijze de maximale hoogte die de vuurpijl bereikt.
   

 
6p. 19. Bereken op algebraïsche wijze op welke afstand van O de vuurpijl op de grond komt.
   

 
 
UITWERKING
     
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
     
1.

     
2. De rij convergeert naar de evenwichtswaarde waarvoor geldt  xn+1 = xn = E
Dan geldt E = 0,5E + 1/E  ofwel  E2 = 0,5E2 + 1  dus  0,5E2 = 1 dus  E2 = 2  dus  E = √2

De grafiek van g heeft een top als de afgeleide nul is.
g ' = 0,5 - x -2
Dat is nul als  x-2 = 0,5  dus  x = √2.

Dat is inderdaad gelijk.    

     
3. f '(x) = 2x
invullen in de vergelijking voor het nulpunt:
     
4. De kansen zijn nu  1/6 en 1/3 en 1/2
De gemiddelde wachttijden daarbij zijn respectievelijk  5 min, 10 min en 15 min.
Dat geeft gemiddelde  1/6 • 5 + 1/3 • 10 + 1/2 • 15 = 112/3 minuten.
     
5. De normale verdeling hiernaast hoort bij deze tekst.
Daarin zie je dat moet gelden:
normalcdf(65, 10000..., 60, X) = 0,10
Y1 = normalcdf(65, 1000000..., 60, X)
Y2 = 0,10
Intersect levert X = σ = 3,9 minuten
     
6. P(eerste meer dan 65) = normalcdf(65, 10000..., 60, 3.4) = 0,0707
P(tweede minder dan 55) = normalcdf(0, 55, 60, 3.4) = 0,0707
De kans dat beide gebeurt is dan 0,0707 • 0,0707 = 0,005
     
7. xP = OR'+ P'P
in driehoek ORR':  cost = OR'/OR = OR'/1 = OR'
in driehoek RPP' :  sint = PP'/PR = PP'/t  dus  PP' =  t • sint
 xP = OR'+ P'P = cost + t • sint
     
8. x ' =  -sint + 1 • sint + t • cost = t • cost    (waarbij de productregel is gebruikt)
dus  (x')2  = t2 cos2t

y' = cost - 1 • cost - t • -sint  = t • sint   (waarbij de productregel is gebruikt)
dus  (y')2 = t2 sin2t

(x')2  + (y')2 = t2 cos2t + t2 sin2t = t2 (cos2t + sin2t) = t2 • 1 = t2
Dus  v = √t2 = t    (eigenlijk ‌‌ t ‌  maar omdat  t > 0 mag je er gewoon t van maken) 

     
9. De lengte van de baan is de integraal van de snelheid tussen t = 0 en t = π:
     
10. D ligt op de parabolen dus is de afstand van D tot een brandpunt gelijk aan de afstand van D tot richtlijn k
de afstand van D tot k is daarom gelijk aan DA (D op parabool 1)
de afstand van D tot k is ook gelijk aan  DB  (D op parabool 2)
Dus DA = DB
Als DA = DB dan ligt D op de middelloodlijn van AB.
     
11. even ver van A als van k dat is parabool 1.
even ver van B als van k dat is parabool 2
even ver van A als van B is de middelloodlijn van AB en dat is DE.
Dat verdeelt het vlak in de drie gebieden hiernaast.
(het gebied onderaan loopt door onder lijn k)

     
12. Teken RA en ook de lijn RS  (S is de projectie van R op lijn k)
Omdat R op de parabool ligt geldt dan RA = RS.
Dan is hoek CRA = hoek CRS  (raaklijneigenschap van parabolen; CR is immers een raaklijn)

Maar dan zijn driehoeken CAR en CSR congruent

Dus is hoek ACR = hoek RCS

Dus is lijn CR de bissectrice van hoek ACS.

 

13. f '(x) = 1/x  dus  f '(p) = 1/p en dat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
De raaklijn heeft dus vergelijking  y = 1/p • x + b  en moet door  (p, lnp) gaan
Invullen geeft  lnp = 1/p • p + b  dus  b = lnp - 1
Daarmee wordt de vergelijking  y = 1/p • x + lnp - 1
     
14. Als e -q  = p  dan is  ln p = -q
Dat geeft in de tweede vergelijking eq (1 - q) = -q - 1
Daaruit volgt;
     
15. Voer in de GR in:
Y1 = e ^ X
Y2 = (X + 1) / (X - 1)
intersect  levert X = q ≈ -1,543
Dus de richtingscoëfficiënt is ongeveer  eq = e-1,543 ≈ 0,21
     
16. ∠BAL = ∠BCL  (beiden omtrekshoek van BL)
∠LAC = ∠CKL (beiden omtrekshoek van CL)

∠CKL = ∠CLK  (gelijkbenige driehoek CKL)

dus 
∠BAC = ∠BAL + ∠LAC
= ∠BCL + ∠CKL
= ∠BCL + ∠CLK
= ∠QCL + ∠CLK 

     
17. ∠PQB = ∠CQL (overstaande hoeken)
Uit de vorige vraag bleek dat ∠BAC = ∠QCL + ∠QLC

Maar ∠QCL + ∠QLC + ∠CQL = 180º  (hoekensom driehoek)
De drie verschillende kleurtjes hiernaast zijn dus samen 180º

Dus is ook  ∠BAC + ∠PQB = 180º

Dus is APQB een koordenvierhoek
 

18. In het hoogste punt is de afgeleide van de functie bij OA gelijk aan nul.
y = 2x - 100 + 4 • (625 - 10x)0,5  en dan vind je met de kettingregel:
 √
     
19. Dan geldt dat de tweede functie gelijk aan nul moet zijn:
2x - 100 - 4 • √ (625 - 10x) = 0
⇒  2x - 100 = 4 • √(625 - 10x)
⇒  (2x - 100)2 = 16(625 - 10x)
 ⇒  4x2 - 400x + 10000 = 10000 - 160x
 ⇒  4x2 -240x = 0
 ⇒  4x(x - 60) = 0
 ⇒  x = 0  of  x = 60
De vuurpil komt dus op afstand 60 meter op de grond.