Nieuwe pagina 1

Onnodig ingewikkeld?

Een gezonde volwassene is ’s morgens langer dan aan het einde van de dag. De Australische wetenschapper D. Burgess heeft dit verschijnsel onderzocht en publiceerde in 1999 de volgende formule voor de lengtefractie S: S = ln(−0,00216t + 2,7183) . Hierin is t het aantal uren nadat een persoon is opgestaan en S de verhouding tussen de lengte L van die persoon ten opzichte van zijn lengte L₀ bij het opstaan. Dus S = ^L/_L0 Meneer Jansen heeft als hij uit bed komt een lengte van 170,0 cm.

4p.	3.	Bereken na hoeveel tijd meneer Jansen volgens de formule 2,0 cm korter is geworden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

We gaan er in het vervolg van de opgave van uit dat een persoon na het opstaan 16 uur actief is, dus na 16 uur weer gaat slapen.
In de figuur hiernaast is de grafiek van S als functie van t getekend. Deze grafiek lijkt zo op het eerste gezicht een rechte lijn, maar door de formule weten wij dat dit niet zo is.

6p.	4.	Leg met behulp van de tweede afgeleide uit of er voor 0 ≤ t ≤ 16 sprake is van toenemende of afnemende daling

De grafiek van S valt nagenoeg samen met de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en (16; 0,9872).
Is de formule van S met de natuurlijke logaritme, zoals gepubliceerd door de Australische wetenschapper, niet onnodig ingewikkeld? We zouden voor S ook gewoon een lineaire functie van t kunnen nemen. We vergelijken daarom de formule S = ln(−0,00216t + 2,7183) met de formule S = −0,0008t +1,0000 die hoort bij de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en (16; 0,9872). We nemen weer meneer Jansen, met een lengte van 170,0 cm bij het opstaan, als voorbeeld. Met behulp van beide formules kun je op elk tijdstip t (met 0 ≤ t ≤ 16 ) de lengte van meneer Jansen in de loop van de dag uitrekenen. Ook kun je op elk tijdstip t het verschil tussen de uitkomsten van beide formules bekijken.

4p.	5.	Bereken het maximale verschil voor de lengte van meneer Jansen dat de twee formules kunnen opleveren.

Gelijkzijdige driehoeken.

Gegeven is een gelijkzijdige driehoek ABC. l is de lijn door C, evenwijdig aan AB. Punt E ligt op l aan dezelfde kant van BC als A. Punt D ligt zó op de lijn BC dat ∠AED = 60°. Zie de figuur hiernaast. Vierhoek ACDE is een koordenvierhoek.

3p.	6.	Bewijs dit.

Driehoek ADE is gelijkzijdig

5p.	7.	Bewijs dit.

Gegeven zijn de lijnen k en m en een punt A. Zie de bovenste figuur hiernaast. In de volgende vraag zoeken we een gelijkzijdige driehoek waarvan A één van de hoekpunten is, waarvan een ander hoekpunt op k ligt en waarvan het derde hoekpunt op m ligt. Daartoe tekenen we eerst de gelijkzijdige driehoek ABC waarbij B en C beide op k liggen. Zie de onderste figuur hiernaast.
4p.	8.	Teken in deze figuur een gelijkzijdige driehoek AKM, waarbij K op k ligt en M op m. Licht je werkwijze toe.

Een leugendetector

Een leugendetector meet allerlei aspecten van het lichaam (ademhaling, hartslag, bloeddruk, zweten) tijdens een verhoor. Het idee achter het gebruik van een leugendetector is dat iemands lichaam zich anders gedraagt wanneer hij of zij liegt dan wanneer hij of zij de waarheid spreekt. Men heeft onderzocht in hoeverre een leugendetector betrouwbaar is. De uitkomsten zijn als volgt:
-	als iemand liegt, wordt hij door de leugendetector in 88% van de gevallen ook als leugenaar aangewezen (en in 12% van de gevallen wordt hij niet als leugenaar aangewezen);
-	als iemand de waarheid spreekt, wordt hij door de leugendetector in 25% van de gevallen toch als leugenaar aangewezen (en in 75% van de gevallen wordt hij niet als leugenaar aangewezen).

Vijf mensen worden onderworpen aan een verhoor. Het is zeker dat één van hen liegt en dat de andere vier personen de waarheid spreken. Bij het verhoor wordt gebruik gemaakt van de leugendetector.

3p.	10.	Bereken de verwachtingswaarde van het aantal personen dat bij dit verhoor door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.

Er zijn twee manieren waarop de leugendetector één van de vijf mensen die worden verhoord kan aanwijzen als leugenaar:
-	de leugenaar wordt aangewezen als leugenaar en de waarheidsprekers niet;
-	één van de waarheidsprekers wordt aangewezen als leugenaar en de andere vier personen niet.

5p.	11.	Bereken de kans dat één van deze vijf mensen door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.

De kans dat iemand die de waarheid spreekt toch door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen, is 25%. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één aanwijst als leugenaar ongeveer 94% is. Dat is onacceptabel hoog. De leugendetector moet worden verbeterd zo dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één als leugenaar aanwijst, hoogstens 50% is.

5p.	12.	Bereken hoe groot de kans dat de leugendetector iemand die de waarheid spreekt als leugenaar aanwijst maximaal mag zijn.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Voor de limiet L geldt u_n = u_n_-1 = L dus L = ¹/_{(2 - L)} dan is L(2 - L) = 1 ⇒ 2L - L² = 1 ⇒ L² - 2L + 1 = 0 ⇒ (L - 1)² = 0 ⇒ L = 1

2.	Als u_n = ^{(n + 1)}/_{(n + 2)} dan is u_n_-1 = ⁿ/_{(n + 1)} (vervang elke n door n - 1) Invullen in de recursievergelijking:

3.	twee centimeter korter betekent dat S = ¹⁶⁸/₁₇₀ = 0,9882 0,9882 = ln(-0,00216t + 2,7183) ⇒ e^0,9882 = -0,00216t + 2,7183 ⇒ 0,00216t = 2,7183 - e^0,9882 = 0,0318 ⇒ t = ^0,0318/_0,00216 = 14,73 uur 0,73 uur is 0,73 • 60 = 44 minuten Het is dus na 14 uur en 44 minuten.

4.	Van die laatste breuk is de noemer altijd positief (een kwadraat) en de teller altijd negatief (een kwadraat met een minteken ervoor) De hele breuk is daarom negatief. Dat betekent dat de helling afneemt. De helling is negatief dus die wordt steeds groter negatief. Er is daarom sprake van toenemende daling.

5.	Het verschil vind je door de beide formules van elkaar af te trekken: V = ln(-0,00216t + 2,7183) - (-0,0008t + 1,000) in de GR: Y1 = ln(-0,00216X + 2,7183) - (-0,0008X + 1,000) en dan calc - maximum geeft een maximum van V = 2,9551 • 10^-5 Dat is ^L/_L0 dus het verschil in lengte is 2,9551 • 10^-5 • 170 = 0,0050 cm.

6.	∠ACB = 60º dus ∠ACD = 120º (gestrekte hoek) ∠ACD + ∠AED = 180º Dus is het een koordenvierhoek.

7.	Omdat ACDE een koordenvierhoek is, liggen deze vier punten op één cirkel. ∠DAE = ∠DCE omtrekshoek van koorde DE ∠DCE = ∠DBA immers l was evenwijdig aan AB (F hoeken) dus is ook ∠DAE = 60º en omdat ∠AED = 60º moet ook de laatste hoek van de driehoek wel 60º zijn. Dus de driehoek is gelijkzijdig.

8.	Ga de figuur bovenaan de opgave namaken! Trek een lijn door C evenwijdig aan AB en snij die met m dat geeft punt M. Teken dan MK zo dat ∠AMK = 60º Volgens opgave 7 is driehoek AMK nu gelijkzijdig. (het kan ook aan de andere kant met een lijn door B evenwijdig aan AC)

9.	Eerst maar de oppervlakte onder de grafiek van f: Driehoek OAB heeft oppervlakte 8 Dus heeft het onderste vlakdeel in het trapezium oppervlakte 2²/₃ Dus het bovenste ook, dus het hele trapezium heeft oppervlakte 5¹/₃. Trapezium plus OAB hebben samen oppervlakte 13¹/₃ Dus 0,5c² = 13¹/₃ dus c² = 26²/₃ dat geeft c = √(26²/₃)

10	voor een leugenaar geldt: P(0 betrapt) = 0,12 en P(1 betrapt) = 0,88 dus de verwachtingswaarde is 0 • 0,12 + 1 • 0,88 = 0,88 voor een waarheidsspreker geldt: P(0 betrapt) = 0,75 en P(1 betrapt) = 0,25 dus de verwachtingswaarde is 0 • 0,75 + 1 • 0,25 = 0,25. Voor 1 leugenaar en 4 waarheidssprekers mag je de verwachtingswaarden optellen: E = 1 • 0,88 + 4 • 0,25 = 1,88

11.	P(leugenaar wel en anderen niet) = 0,88 • 0,75⁴ = 0,2784 P(leugenaar nuiet en een ander wel) = 4 • 0,12 • 0,25 • 0,75³ = 0,0506 samen geeft dat kans 0,2784 + 0,0506 = 0,33

12	Stel X is het aantal waarheidssprekers die leugenaar worden genoemd. Dan is X binomiaal verdeeld met n = 10 en p onbekend. P(minstens 1) = P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - binompdf(10, X, 0) dus moet gelden 1 - binompdf(10, X, 0) ≤ 0,5 in de GR: Y1 = 1 - binompdf(10, X, 0) en Y2 = 0,5 intersect levert p = 0,06697 en dat mag p maximaal zijn.

13.	De punten die even ver van A als van F afliggen liggen op de middelloodlijn van FA. Als je die snijdt met MA dan vind je dus het punt van MA dat even ver van F als van A afligt, en dus op de ellips ligt.

14	Omdat B op de ellips ligt is BF = BA en dus driehoek BFA gelijkbenig De basishoeken BAF en BFA zijn dan gelijk. ∠FBA + 2 • ∠BAF = 180 (hoekensom driehoek) ∠FBA + ∠MBF = 180 (gestrekte hoek) dus is ∠MBF = 2 • ∠BAF.

15	Bij hoek t hoort een cirkelsector die ^t/₂_π ste deel van de hele cirkel is, dus heeft zo'n cirkelsector oppervlakte ^t/₂_π • πr² = ^t/₂_π • π • 4² = 8t Een driehoek heeft rechthoekszijden 4sint en 4cost (sos cas toa) dus oppervlakte 0,5 • 4sint • 4cost zes driehoeken en twee cirkelsectoren: 6 • 0,5 • 4sint • 4cost + 2 • 8t = 48sintcost + 16t = 24 • 2sintcost + 16t = 24sin2t + 16t

16	Als de hoogte 4 is, dan is de halve hoogte 2, dus is sint = ²/₄ Dat geeft t = ¹/₆π invullen in de oppervlakteformule: O = 2²/₃π + 12√3

17	O is maximaal als O'= 0 O' = 16 + 24cos(2t) • 2 = 0 ⇒ 48cos(2t) = -16 ⇒ cos(2t) = -¹/₃Omdat de exacte waarde wordt gevraagd mogen we niet gaan afronden!!!! De hoogte is gelijk aan 8sint De vraag is dus: hoe groot is 8sint als je weet dat cos2t = -¹/₃??? formulekaart: cos2t = 1 - 2sin²t -¹/₃ = 1 - 2sin²t⇒ 2sin²t = 1¹/₃ ⇒ sin² t = ²/₃ ⇒ sint = √(²/₃) De hoogte is dus 8√(²/₃)

Een rij.

De rij u₀, u₁, u₂, u₃,… is voor n ≥ 1 vastgelegd door de recursievergelijking.
De rij u_0,u₁, u₂, u₃, ... is convergent.

4p.	1.	Bereken exact de limiet van deze rij.

De eerste termen van de rij u₀, u₁, u₂, u₃,… zijn ¹/₂, ²/₃, ³/₄, ⁴/₅, ... Op grond hiervan wordt vermoed dat voor elke n ≥ 0 de volgende formule geldt: u_n = ^{(n + 1)}/_{(n + 2)}

5p.	2.	Toon aan dat u_n = ^{(n + 1)}/_{(n + 2)} voor elke n ≥ 1 voldoet aan de gegeven recursievergelijking.

Evenwijdige lijnen

De functie f is gegeven door f (x) = 4 −¹/₄x². De grafiek van f snijdt de x-as in punt A(4, 0) en de y-as in punt B(0, 4). Voor elke waarde van c is de lijn k met vergelijking y = −x + c evenwijdig aan de lijn AB. Voor c > 5 sluiten de x-as, de lijn k, de y-as en de lijn AB een trapezium in dat door de grafiek van f in twee delen wordt verdeeld. Zie onderstaande figuur.



8p.	9.	Bereken algebraïsch voor welke exacte waarde van c deze twee delen gelijke oppervlakte hebben.

Ellips in een cirkel.

Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en een punt F binnen deze cirkel. De ellips e is de meetkundige plaats van de punten die gelijke afstanden tot cirkel c en punt F hebben. In de figuur hiernaast is een gedeelte van e getekend en een straal MA van de cirkel.

3p.	13.	Teken in de figuur het snijpunt van ellips e en de straal MA. Licht je werkwijze toe.

In de figuur hiernaast is een soortgelijke situatie getekend, met F en A op een andere plaats. De straal MA snijdt de ellips in punt B.

4p.	14.	Bewijs dat ∠MBF = 2 • ∠MAF

Bebuikte rechthoeken

Binnen een cirkel met straal 4 bekijken we gebieden die bestaan uit een rechthoek (met de hoekpunten op de cirkel), aan de rechterkant aangevuld met een cirkelsegment. Zo’n gebied heeft dan de vorm van een rechthoek met een buik. Zie de volgende figuur.



In de rechterfiguur is het gebied verdeeld in twee cirkelsectoren, beide met middelpuntshoek t radialen, en zes gelijke rechthoekige driehoeken. Deze driehoeken hebben ook een hoek met grootte t radialen. De oppervlakte O van het gebied is een functie van t, met 0 < t < ¹/₂π . Er geldt: O(t) = 16t + 24 • sin 2t .

6p.	15.	Toon de juistheid van deze formule aan.

4p.	16.	Bereken de exacte waarde van O als de hoogte van het gebied 4 is.

Bij een bepaalde hoogte is de oppervlakte O maximaal.

7p.	17.	Bereken de exacte waarde van deze hoogte.

VWO WB12, 2009 - II