VWO WB, 2011 - I

 

Tussen twee grafieken.
       
 
De functie f is gegeven door f (x) = √(1 − x) .
In de figuur hiernaast zijn op het interval [0, 1] de grafiek van f en de lijn y = x getekend.
De grafiek van f en de lijn y = x snijden elkaar in het punt T.
Op de lijn y = x ligt tussen O(0, 0) en T een punt P(p, p).
De lijn y = p snijdt de grafiek van f in het punt Q.

De rechthoek waarvan PQ een zijde is en waarvan de tegenoverliggende zijde op de x-as ligt, is in de figuur voor een waarde van p grijs gemaakt.

De x-coördinaat van Q is 1− p2 .

       
3p. 1. Toon dit aan.  
     

 
Er is een waarde van p waarvoor de oppervlakte van de rechthoek maximaal is.
       
6p. 2. Bereken exact deze waarde van p
     

 
Het gebied V wordt begrensd door de grafiek van f, de y-as, de lijn y = x en de lijn x = 1/2.

Zie de figuur hiernaast

     
6p. 3. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat wanneer V om de x-as wordt gewenteld.
     
     
     

 
       
 
Raakcirkels aan een lijn.
       
Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt F, niet op m, zo dat de afstand van F tot k gelijk is aan de afstand van k tot m.
We bekijken de cirkels die door F gaan en aan k raken. In onderstaande figuur zijn enkele van deze raakcirkels getekend. In elke raakcirkel is de middellijn vanuit F getekend. Elke middellijn heeft behalve F nog een tweede eindpunt op de raakcirkel.
De tekening doet vermoeden dat deze eindpunten op een parabool met brandpunt F en richtlijn m liggen.
       

       
In de figuur hieronder is een van de raakcirkels getekend met middelpunt M, middellijn FX en raakpunt R. De loodlijn vanuit F op k en m snijdt k in G en m in H, dus FG = GH. Lijn FR snijdt m in S.
       

       
Er geldt  FR = RS
       
4p 4. Bewijs dit.
     

 
Uit FS = 2 • FR en FX = 2 • FM en ÐXFS = ÐMFR volgt de gelijkvormigheid van de driehoeken FXS en FMR (zhz).
Met behulp van deze gelijkvormigheid kan bewezen worden dat XS loodrecht op m staat.
       
3p 5. Bewijs op deze manier dat XS loodrecht op m staat.
     

 
3p 6. Bewijs dat punt X inderdaad ligt op de parabool met brandpunt F en richtlijn m.
     

 
 
Extrusie
   

 

Op de foto hiernaast zie je enkele staven met verschillende profielen.
Profielen kunnen gemaakt worden door middel van extrusie. Bij deze techniek wordt bijvoorbeeld verwarmde kunststof door een opening geperst. De opening bepaalt de vorm van het extrusieprofiel. In de figuur hieronder zie je
een illustratie hiervan.
     

       
De druk die nodig is om het materiaal door de opening te persen, is onder andere afhankelijk van de grootte en de vorm van de opening. De invloed van de vorm hangt af van het quotiënt P/ÖA

Hierin is P de omtrek van de opening (in cm) en A de oppervlakte van de opening (in cm2).
We vergelijken twee openingen die gelijkvormig zijn. Zie bijvoorbeeld de  figuur hieronder.
       

       
Van de grote opening zijn de breedte en de hoogte k keer zo groot als de breedte en de hoogte van de kleine opening.
       
3p. 7. Toon aan dat het quotiënt P/√A voor de grote opening even groot is als voor de kleine opening.
     

 
In de figuur hiernaast is een opening getekend waarvan één rand recht is en de
andere rand de vorm van een parabool heeft. De rechte rand is 4 cm lang. De top van de parabool bevindt zich 3 cm boven het midden van de rechte rand.
We nemen een assenstelsel met de x-as langs de rechte rand en de y-as door de top van de parabool.
De parabolische rand wordt dan beschreven door de vergelijking  y = 3 - 3/4x2,  met x en y in cm.

     
8p. 8. Bereken de waarde van het quotiënt  P/√A voor de opening in deze figuur Rond je  antwoord af op één decimaal.
     

 
We vergelijken rechthoekige openingen van x bij 1 cm. In de figuur hieronder staan drie voorbeelden.
       

       
Hiernaast is van dergelijke rechthoekige openingen de waarde van het quotiënt P/√A  uitgezet tegen x.
De grafiek van deze figuur heeft één top.

     
5p. 9. Bereken langs algebraïsche weg de x-coördinaat van deze top.
   

 
     
       
De formule van Gompertz
       
Verzekeringsmaatschappijen en pensioenfondsen maken bij het berekenen van de premies en uitkeringen een schatting van de levensverwachting van verzekerden. Daarbij wordt vaak een formule gebruikt waarvan de vorm gebaseerd is op de resultaten van een onderzoek uit 1825 van de verzekeringswiskundige Benjamin Gompertz (1779 - 1865).

Voor een levensverzekering die op een leeftijd van 40 jaar afgesloten wordt, hanteerde een verzekeringsmaatschappij in de 19e eeuw de volgende formule van Gompertz om het percentage nog levende verzekerden met een bepaalde leeftijd te schatten:

       
Hierin is t ≥ 40 en geeft P(t) aan welk percentage van de mensen die zo’n verzekering afsloten minstens t jaar oud wordt.
       
4p. 10. Bereken hoeveel jaar na het afsluiten van de levensverzekering volgens deze formule de helft van de polishouders is overleden.
     

 
De gegeven formule is ook te schrijven in de vorm:
   

 
       
3p. 11. Bereken langs algebraïsche weg de waarde van m. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

 
   

 
met positieve waarden van a, b en k.

Een eigenschap van deze algemene formule is:
 
Hierin hangt de waarde van c af van de waarden van b en k.
       
4p. 12. Druk c uit in b en k.  
     

 
       
Geometrische functies
       
De functie f  is gegeven door f(x) = sin x + sin(2x)
op het domein [0, π].

In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend.
Deze grafiek snijdt de x-as tussen O(0,0) en A(π,0) in het punt B.

     
4p 13. Bereken exact de x-coördinaat van punt B.
   

 
Voor elke positieve waarde van a is de functie fa gegeven door
fa(x) = sinx + a • sin(2x) op het  domein [0, π].
In de figuur hiernaast  is voor enkele waarden van a de grafiek van fa getekend.
Voor een bepaalde waarde van a heeft de grafiek van fa twee toppen en is de x-coördinaat van een van deze toppen 5/6π .

     
5p 14. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaat van de andere top bij deze waarde van a.
   

 

  
Voor elke waarde van a waarvoor geldt 0 < a < 1/2 ligt de grafiek van
fa  tussen (0, 0) en (π, 0) geheel boven de x-as. Hiernaast  is een
dergelijke grafiek getekend.

     
5p. 15. Toon aan dat de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt begrensd  door de grafiek van fa en de x-as, onafhankelijk is van a.
   

 
     
       
       
Cirkels bij een driehoek.
       
 
Gegeven is een driehoek ABC, met punt D op zijde BC. In de figuur hiernaast  is deze driehoek getekend met zijn omgeschreven cirkel.

De cirkel door D die de lijn AB raakt in A, snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek ABC behalve in A ook in punt E.

     
3p. 16. Teken in de figuur hiernaast punt E. Licht je werkwijze toe.
   

 
       
De cirkel door D die de lijn AB raakt in B en de cirkel door D die de lijn AC raakt in C, hebben koorde DF gemeenschappelijk. Zie de volgende figuur.
       

       
4p. 17 Bewijs dat vierhoek ABFC een koordenvierhoek is.
     

 
       
Vierkant bij een derdegraadskromme.
       
De functie f is gegeven door f(x) = bx − 1/3x3 met b > 0 .
De grafiek van f snijdt de positieve x-as in A. T is de top van de grafiek van f die ligt tussen de y-as en de verticale lijn door A. De x-as, de verticale lijn door A, de horizontale lijn door T en de y-as sluiten de rechthoek OABC in.
Zie de figuur.

     
8p 18 Bereken exact de waarde van b waarvoor rechthoek OABC een vierkant is.
   

 
     
       

 

UITWERKING
   
1. yQ = p  ⇒  √(1 - xQ) = p  ⇒ 1 - xQ = p2  ⇒  xQ = 1 - p2
   
2. De oppervlakte is lengte • breedte.
De breedte is  xQ - p = 1 - p2 - p
De lengte (hoogte) is yQ = p
De oppervlakte is dus  p(1 - p2 - p) = p  -  p3 - p2
Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is:   1 - 3p2 - 2p = 0
De ABC-formule geeft dan  p = (2 ± √(4 + 12))/-6 = -1  of  2/6
Omdat p > 0  is  p = 1/3 de juiste oplossing.
   
3. Wentel eerst de grafiek van f tussen 0 en 0,5 om de x-as.
Dat geeft:
 
  Maar nu moet het lichaam dat ontstaat als je y = x tussen 0 en 0,5 omwentelt er nog weer af.
Dat is een kegel met inhoud  1/3 π • 0,52 • 0,5 = 1/24π
De inhoud is dus   3/8π - 1/24π = 1/3π
   
4. ∠FRG = ∠FSH  (F hoeken).
∠RGF = ∠SHF  (beiden 90º).
Dus zijn de driehoeken FRG en FSH gelijkvormig (hh).
Maar dan hebben de overeenkomstige zijden dezelfde verhoudingen.
Dus  FR/FS = FG/FH.
Maar omdat  FG = GH geldt dat  FG/FH = 1/2.
Dus is ook FR/FS = 1/2 ⇒  FS = 2FR ⇒  RS = FS - FR = 2FR - FR = FR.
   
5. MR staat loodrecht op k  (raaklijn eigenschap cirkel).
∠FMR = ∠FXS  (gelijkvormigheid van de driehoeken).
Dus is MR evenwijdig aan XS  (F-hoeken).
Als MR loodrecht op k staat, dan staat XS het ook, immers die zijn evenwijdig  (F-hoeken).
   
6. Dan moet gelden XS = XF  (eigenschap parabool).
Omdat FMR en FXS gelijkvormig zijn hebben overeenkomstige zijden dezelfde verhoudingen.
Omdat FM = MR (straal van de cirkel) is dan ook FX = XS.
   
7. als alle lengtes met factor k worden vermenigvuldigd, dan wordt de omtrek dat ook.
als alle lengtes met factor k worden vermenigvuldigd, dan wordt de oppervlakte k2 keer zo groot.
Als de kleine opening de waarden P en A heeft, dan heeft de grote opening de warden kP en k2A
Dan geldt  voor het quotiënt van de grote opening  kP/√(k2A) = kP/k√A = P/√A  dus dat is gelijk aan het quotiënt van de kleine opening.
   
8.
   
  Deze integraal kun je berekenen met de GR:  Y1 = √(1 + (-1,5X)2 )  en dan calc - integraal  geeft ongeveer 7,54
P = 4 + 7,54 = 11,54
P/√A = 11,54/√8 ≈ 4,1
   
9. De omtrek is  2 + 2x
De oppervlakte is x
P/√A = (2 + 2x)/√x 
 
  De afgeleide moet nul zijn:   2√x - (2x + 2)· 1/2√x = 0
Vermenigvuldig alles met √x:   2x - (2x + 2) · 1/2 = 0
2x - x - 1 = 0 ⇒  x - 1 = 0  ⇒   x = 1
   
10. P = 50
Voer de formule voor P(t) in bij Y1, en neem Y2 = 50
Calc - intersect geeft dan X =  t » 67
Dat is dus 27 jaar na afsluiten van de polis
   
11. 119 = 100 • 1,19 = 100 • eln1,19 = 100 • e0,174
  Daaruit volgt dat m » 0,17
   
12. Twee keer de kettingregel:
 
 
  Daaruit volgt dat c = -bk
   
13. sinx + sin2x = 0
⇒ sinx + 2sinxcosx = 0
⇒ sinx(1 + 2cosx) = 0
⇒ sinx = 0  ∨  1 + 2cosx = 0
⇒ sinx = 0  ∨   cosx = -1/2
⇒ x = 0  ∨   x = π  ∨   x = 2/3π  ∨   x = 11/3π  (en dat alles  + k • 2π)
met domein [0,π] is de oplossing die we zoeken x = 2/3π.
   
14. Als de top bij x = 5/6π zit, dan is daar de afgeleide nul.
f '(x) = cosx + 2acos2x  dus  f '( 5/6π) = cos( 5/6π) + 2acos( 10/6π) = -1/2√3 + 2a • 1/2 = 0
Dat geeft  a = 1/2√3.

Grafische rekenmachine:  
Y1 = sinx + √3 • sin2x  en dan calc - max geeft voor de andere top  x ≈ 0,96
   
15.
  =  (-cosp - 1/2acos2p) - (-cos0 - 1/2acos0) = --1 - 1/2a - -1 + 1/2a = 2
En dus is dat onafhankelijk van a
   
16.

Als A raakpunt van AB aan de cirkel is, dan staat de lijn MA loodrecht op AB.
Teken daarom een lijn door A loodrecht op AB, dan moet M daar dus opliggen.

Als de cirkel door D en door A gaat, dan is de afstand van M tot D gelijk aan de afstand van M tot A (namelijk de straal van de cirkel). Dus ligt M op de middelloodlijn van A en D.

M is het snijpunt van de middelloodlijn en de loodrechte lijn.
Teken een cirkel door M met straal MA. Waar die de andere cirkel snijdt ligt punt E.

   
17. Stelling van raaklijn en koorde:  de hoek tussen een raaklijn en een koorde van een cirkel is gelijk aan de omtrekshoek van die  koorde.

∠ACD is zo'n hoek, en is dus gelijk aan de omtrekshoek van koorde CD.
Dat is ook gelijk aan ∠CFD.

∠ABD is ook zo'n hoek en is dus gelijk aan de omtrekshoek van koorde BD.
Dat is ook gelijk aan ∠BFD.

∠ACD + ∠ABD = ∠CFD + ∠BFD = ∠BFC.
maar in driehoek ABC zie je dat  ∠ACD + ∠ABD + ∠BAC = 180º
Dus is ook  ∠BFC + ∠BAC = 180º

Dus is ABFC een koordenvierhoek.
   
18 punt A:  f(x) = 0  ⇒ bx - 1/3x3 = 0  ⇒ x(b - 1/3x2) = 0 
⇒ x = 0  ∨  x2 = 3b  ⇒  x = 0  ∨  x = √(3b) ∨  x = -√(3b)
De gezochte waarde  x = √(3b)  dus ook AB = √(3b)

punt T:  f '(x) = 0 ⇒  b - x2 = 0 ⇒  x = √b  ∨  x = -√b  en de gezochte waarde is  xT = √b
Dan is  yT = b√b - 1/3(√b)3

Het is een vierkant als  b√b - 1/3(√b)3 = √(3b)
⇒ b√b - 1/3b√b = √(3b)
 ⇒ 2/3b√b = √3b = √3 • √b
 ⇒ √b • (2/3b - √3) = 0
⇒ √b = 0  ∨  2/3b = √3
⇒ b = 0  ∨  b = 3/2√3
De juiste oplossing is  b = 3/2√3