VWO WB, 2011 - II

 

Een symmetrische gebroken functie
       
       
3p. 1. Bereken exact voor welke waarden van x geldt:   f(x) < 1/100
       
       
4p. 2. Toon dat aan.
     

 
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, de y-as, de x-as en de lijn x = ln 3 .
       
5p. 3. Bereken exact de oppervlakte van V en schrijf je antwoord in de vorm ln k .
       
       
5p. 4. Toon dat aan  
     

 
Gelijke afstanden.
       
Tussen de landen A en B ligt een zee die begrensd is door een cirkelboog en een deel van lijn g. Het punt M is het middelpunt van de cirkelboog. Zie onderstaande figuur.
       

       
We bekijken de punten in de zee die op gelijke afstand van beide oevers liggen. In de figuur hieronder is zo’n punt L getekend: de afstand LP van punt L tot land A is gelijk aan de afstand LQ van punt L tot land B. Hierin is P de loodrechte projectie van L op g en is Q het snijpunt van de lijn door M en L met de cirkelboog.
       

       
Om de ligging van punt L te onderzoeken, is in de figuur  een hulplijn k getekend evenwijdig aan lijn g. De afstand tussen de twee evenwijdige lijnen is gelijk aan de straal van de cirkelboog met middelpunt M.
Punt R is de loodrechte projectie van L op k. Dus L ligt op PR en de lengte van PR is de afstand tussen g en k.

Er geldt: L ligt op de middelloodlijn van MR.
       
4p. 5. Bewijs dit.
     

 
4p. 6. Teken in de figuur hierboven de meetkundige plaats van alle punten in de zee die op gelijke afstand van beide oevers liggen. Licht je werkwijze toe.
     

 
Het ontwerp van een brug.
       
Een gemeente wil in een park een brug over een vijver aanleggen.
De brug moet:

1.
2.
3.
4.

5.

 minstens 8,00 meter overspannen (de breedte van de vijver),
als zijaanzicht de vorm van een sinusoïde hebben (om esthetische redenen),
horizontaal aansluiten op beide oevers (de oevers liggen even hoog),
een hoogste punt van 1,00 m boven het wateroppervlak hebben (om roeiboten eronderdoor te kunnen laten varen); het water staat 0,20 m onder het niveau van de beide oevers,
maximaal een helling 1/15 hebben (voor mensen in een rolstoel).
       
In de figuur hieronder staat een schets van een zijaanzicht van de situatie, waarbij de punten waarin de brug horizontaal aansluit op beide oevers steeds A en B genoemd worden. De tekening is niet op schaal.
       

       
In dit zijaanzicht kiezen we een assenstelsel waarin de x-as op de hoogte van beide oevers ligt en de y-as door het hoogste punt van de brug gaat.
We kiezen zowel op de x-as als op de y-as de meter als eenheid. Het zijaanzicht kan nu door een vergelijking in x en y beschreven worden.
p positief en x binnen een geschikt interval, voldoet aan de eisen 2, 3 en 4. Hierbij is de dikte van het brugdek verwaarloosd.
Afhankelijk van de waarde van p is ook aan eis 1 voldaan.
       
2p. 7. Bepaal voor welke waarden van p aan eis 1 is voldaan.
     

 
Als aan eis 1 is voldaan, betekent dat nog niet dat is voldaan aan eis 5. Zo is bijvoorbeeld voor p =10,00 wel aan eis 1 voldaan, maar niet aan eis 5.
       
5p. 8. Bepaal voor welke waarden van p aan eis 5 is voldaan.  
     

 
Men kiest voor het zijaanzicht van de brug de vergelijking met p = 40,00 .
Deze vergelijking is te schrijven als:
De horizontaal gemeten afstand tussen A en B is in dit geval 40,00 meter, zodat aan eis 1 is voldaan. Met de gekozen vergelijking is ook aan de vier andere eisen voldaan.

De lengte van het brugdek blijkt bij deze keuze niet veel groter te zijn dan de horizontaal gemeten afstand tussen A en B.
       
4p. 9. Bereken de lengte van het brugdek. Geef je antwoord in centimeters nauwkeurig.
     

 
Het brugdek wordt 3,50 m breed. De uiteinden van de brug wil men ondersteunen door aan beide zijden, over de hele breedte van het brugdek, beton te storten. De betonnen gedeelten (met verticale wanden) beginnen op een afstand van 4,00 meter vanaf de rand van de vijver. In de volgende figuur zijn in een schets van een zijaanzicht beide delen van de betonnen
ondersteuning met grijs aangegeven. De tekening is niet op schaal.
       

       
5p. 10. Bereken hoeveel kubieke meter beton voor de betonnen ondersteuning nodig is.
     

 
Verticale en horizontale verbindingslijnstukken
       
De functies f en g zijn gegeven door f (x) = 1/x   en g(x) = 1/x2    met x > 0 .
De grafieken van f en g snijden elkaar in het punt (1, 1).


Voor a >1 bekijken we bij x = a het verticale verbindingslijnstuk tussen de grafieken van f en g. Zie de figuur hiernaast.

 

 

     
5p. 11. Bereken op algebraïsche wijze de exacte waarden van a waarvoor de lengte van het verticale verbindingslijnstuk 1/6 is.
     

 
Voor b >1 bekijken we bij y = b het horizontale verbindingslijnstuk tussen
de grafieken van f en g. Zie de figuur hiernaast.
De x-coördinaten van de eindpunten van dit verbindingslijnstuk zijn
respectievelijk  1/b  en  1/√b
.
Voor een zekere waarde van b is de lengte van dit lijnstuk maximaal.

     
6p. 12 Bereken met behulp van differentiëren de maximale lengte van het horizontale verbindingslijnstuk
     

 
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de lijn y = 4 Zie de figuur hiernaast.

     
7p. 13 Bereken exact de oppervlakte van V.
Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
   

  
       
Het midden van een koorde.
       
Gegeven is een cirkel met middelpunt M.
Punt C ligt binnen de cirkel. C is niet gelijk aan M.
PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het midden van PQ is S.
       
3p. 14. Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt.
     

 
Kostenfuncties.
       
In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid q van een bepaald product:

-
-
-

 de totale kosten T(q) .
de marginale kosten M(q) , die benaderd kunnen worden door T '(q) .  In deze opgave geldt: M(q) = T '(q)
de gemiddelde kosten  G = T(q)/q
Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule;
T(q) = 0,2 • q3 - 1,2 • q2 + 4,2 • q + 1,   met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro's.
       
4p. 15. Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn.
     

 
In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. In de volgende figuur is deze situatie weergegeven.
       
Omdat derdegraadsfuncties T met T(q) = a • q3  +  b • q2 +  c • q + d zich onder
bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven.
Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden: a > 0 , c > 0 en d > 0 .
Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T '(q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn.
     
5p. 16. Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0 .
     

 
In de figuur hiernaast is de grafiek van een willekeurige totale kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken.
Ook zijn in deze figuur de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met
M(q) = T '(q) en de gemiddelde kostenfunctie G met G(q) = T(q)/q.
Verder is in de figuur aangegeven dat voor  q = q0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal  zijn. Dit betekent dat geldt: G'(q0) = 0
Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn.
       
4p. 17. Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G'(q0) = 0 volgt dat deze bewering waar is.
     

 
Twee snijdende cirkels.
       
Twee cirkels c1 en c2 met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B.
Het verlengde van de straal MB snijdt c2 in het punt C en het verlengde van de straal NB snijdt c1 in het punt D.
Zie de figuur.
       

       
4p. 18. Bewijs dat de punten M, N, C en D op één cirkel liggen.
     

 

 

UITWERKING
   
1. 2/(1 + ex) = 1/100
1 + ex = 200
ex = 199
x = ln199
de functie 2/(1 + ex) is dalend. Dus f(x) < 0,01 geldt voor x > ln199
   
2. als dat zo is, dan moet de afgeleide van F gelijk zijn aan f.
 
 
   
3.
  = (2ln3 - 2ln(1+eln3)) - (2•0 - 2ln(1+e0))
= 2ln3 - 2ln(1 + 3) - 0 + 2ln(1 + 1)
= 2ln3 - 2ln4 + 2ln2
= ln9 - ln16 + ln4
= ln(9•4/16)
= ln(9/4)
   
4.
 
   
5. als L op de middelloodlijn van MR ligt, dan moet L gelijke afstanden tot M en R hebben.
ML = MQ - LQ = r - LQ  (r is de straal van de cirkel)
RL = RP - LP = r = LP  (de afstand tussen de lijnen is de straal van de cirkel)
LP = LQ, dus  ML = r - LQ = r - LP = RL
qed.
   
6. die meetkundige plaats is de parabool met richtlijn k en brandpunt M.

Teken een lijnstuk  van M loodrecht op k Het midden daarvan is de top van de parabool.

De twee punten waar de cirkelboog de grens van land A raakt liggen ook op die parabool, immers daar geldt ook 

Nog meer punten kun je vinden als met de blauwe lijnen hiernaast. Kies een willekeurig punt R op k, en snij de middelloodlijn van MR met de loodlijn van R op g. Dat geeft een punt S van de parabool
   
7. De afstand AB is de periode van de formule.
 
  Dus moet gelden p ³ 8,00
   
8. De helling is de afgeleide, en die mag dus maximaal 1/15 zijn.
 
  Dat is een sinusoïde met amplitude  -0,80π/p dus moet gelden   0,80π/p < 1/15
15 • 0,80π ≤ p  (kruislings vermenigvuldigen)
p ≥ 12π
   
9.
  Voer de formule onder de integraal in bij Y1 in je GR. (denk eraan dat die op Radialen staat!)
Gebruik calc - integraal (optie7) met grenzen -20 en 20
Het antwoord is 40,04 meter.
   
10. Laten we het rechter deel nemen.
De inhoud daarvan is de oppervlakte in het zijaanzicht vermenigvuldigd met 3,50
Die oppervlakte vind je uiteraard met een integraal:
 
  Voer het deel onder de integraal in bij Y1 en gebruik weer calc - integraal (optie7)
Dat geeft oppervlakte 2,38m2
De inhoud van het rechterdeel is dan 3,50 • 2,38 = 8,33 m3
Samen met het linkerdeel geeft dat  8,33 • 2 = 16,7 m3 beton. 
   
11. Er moet dan gelden g(a) - f(a) = 1/6
1/a - 1/a2 = 1/6
vermenigvuldig alle met a2 , dat geeft  a - 1 = 1/6a2
6a - 6 = a2
a2 - 6a + 6 = 0
ABC formule:  a =  (6 ± √(36 - 24))/2  = (6 ± √12)/2 = (6 ± 2√3)/2 = 3 ± √3
   
12. De afstand is het verschil van de x-coördinaten dus  1/√b - 1/b  is maximaal.
Dan is de afgeleide ervan gelijk aan nul.
1/√b - 1/b = b-0,5 - b-1
De afgeleide is  -0,5b-1,5 + b-2  = 0
vermenigvuldig met b2, dat geeft:   -0,5√b + 1 = 0
0,2√b = 1
√b = 2
b = 4
De lengte is dan   1/√4 - 1/4 = 1/2 - 1/4 = 1/4
   
13. y = 4  geeft als snijpunt met 1/x :  x = 1/4
y = 4 geeft als snijpunt met 1/x2  :  x = 1/2
Splits het oppervlak in twee delen:
Tussen x = 1/4 en x = 1/2 het vlakdeel tussen y = 4 en y = 1/x
Tussen  x = 1/2 en x = 1 het vlakdeel tussen y = 1/x2 en y = 1/x   
Dat geeft de som van twee integralen:
 
  = {(2 - ln0,5) - (1 - ln0,25)} + {(-1 - ln1) - (-2 - ln0,5)}
=  2 - ln0,5 - 1 + ln0,25 - 1 - ln1 + 2 + ln0,5
=  2 + ln0,25
= 2 - ln4
   
14.

MP = MQ (straal cirkel)
SQ = SP  (S is het midden)
SM = SM
Dus ΔMQS  is congruent met ΔMPS  (ZZZ)
dus ∠MSQ = ∠MSP
Maar samen vormen dezen een gestrekte hoek.
Dus ∠MSQ = 90º
Dan is ook ∠MSC = 90º
Dus ligt S op een cirkel met middellijn MC (Thales)
   
15. G(q) = T(q)/q = 0,2q2 - 1,2q + 4,2 + 1/q 
de afgeleide moet nul zijn:  0,4q - 1,2 - 1/q2 = 0
Voer in Y1 = 0,4X - 1,2 - 1/(X^2)
Gebruik calc - zero om het nulpunt te vinden.
Dat levert  q = 3,2
   
16. M = T ' = 3aq2 + 2bq + c
Dat is een dalparabool met de top bij  q = -2b/6a
Die top moet wel liggen bij een q > 0 (immers q is een hoeveelheid producten)
dus moet  -2b/6a > 0
Omdat a > 0 moet dan wel gelden dat b < 0.
   
17. G = T/q  dus voor G'  moet je de quotiëntregel gebruiken:
 
  Uit G' (q0) = 0   volgt dan   T '(q0) • q0 - T(q0) = 0
 
  Maar omdat M(q) = T'(q) is dat ook gelijk aan M(q0)
   
18. Zie de figuur hiernaast.

De rode hoeken zijn gelijk (MB  = MD = straal cirkel, dus MDB is gelijkbenig)

De groene hoeken zijn gelijk (hetzelfde in de andere cirkel)

Maar een rode hoek is gelijk aan een groene hoek (overstaande hoeken bij B)

Dus is de groene hoek bij C gelijk aan de rode bij D.

Dus liggen D en C op een cirkel met middellijn MN (Thales)

Dus liggen D, C, M en N allemaal op die cirkel.
qed.