VWO WB, 2012 - I

 

Onafhankelijk van a.
       
Voor elke positieve waarde van a is een functie fa gegeven door  fa(x) = (1- ax) • e-ax   en een functie Fa gegeven
door  Fa(x) = x • e-ax

De functie Fa is een primitieve functie van fa.
       
3p. 1. Toon dit aan  
     

 
De grafiek van fa snijdt de x-as in punt A (1/a, 0) en de y-as in punt B (0,1)
Zie onderstaande figuur.
       

       
De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen
       
5p. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakten van deze twee delen onafhankelijk is van a.
     

 
Het standaard proefglas.
         
Bij het proeven van wijn kan de vorm van het glas ongewenste effecten geven. Zo zal de wijn er in een breed glas donkerder uitzien dan in een smal glas. De breedte van het glas heeft ook invloed op de geur van de wijn.

Daarom is voor het proeven van wijn een standaard proefglas ontwikkeld: het ISO Standard Wine Tasting Glass.

De eisen die aan dit standaard proefglas worden gesteld, zijn vastgelegd in een ISO-rapport. Aan de hand van de gegevens in dit rapport heeft een technisch tekenaar een model van het standaard proefglas getekend. Een zijaanzicht van dit model zie je in de volgende figuur.
         

         
Om dit model te maken heeft de tekenaar drie wiskundige functies gebruikt. De bijbehorende grafieken beschrijven de buitenkant van het glas. Door deze grafieken om de x-as te wentelen, ontstaat een model van het standaard proefglas. In de volgende figuur zijn de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x-as getekend.
         

         
Kromme AB is de grafiek van de functie f met   f(x) =  4,5 + 28,0 • e-0,452x  op het domein [0,0; 55,3]; hierbij zijn f (x) en x in mm. Door kromme AB te wentelen om de x-as ontstaan de buitenkant van de voet en de steel van het wijnglas. De voet en de steel zijn massief.
         
4p. 3. Bereken het volume van de voet en de steel samen. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm3.
       

 
Om CD te tekenen wordt een bergparabool gebruikt met C als top. Een formule van deze parabool kan worden gevonden door eerst kromme CD te verschuiven zo dat C terechtkomt op O(0, 0). In de volgende figuur zijn de kromme CD en de beeldkromme OE getekend en is ook de verschuiving weergegeven.

Kromme OE is deel van een bergparabool met top O en heeft dus een formule van de vorm y = ax2, met a < 0. Nu kan gebruik gemaakt worden van de translatie die kromme OE afbeeldt op kromme CD. In de volgende figuur is ook deze translatie weergegeven.
         

         
5p. 4. Stel een formule op voor kromme CD.    
       

 
In de figuur hiernaast zijn opnieuw de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x-as getekend.

Voor het proeven van wijn wordt een glas bij voorkeur met 50 ml wijn gevuld. Daarom wil de tekenaar in figuur 4 het punt aangeven tot waar het standaard proefglas gevuld moet worden om 50 ml wijn te bevatten. Dit punt P ligt op kromme BC.

Kromme BC is de grafiek van de functie g met
g(x) = √(-x2 + 175x - 6600)  op het domein [55,3; 87,5]; hierbij zijn g(x) en x in mm.

In de figuur is het vlakdeel V grijs gemaakt dat wordt begrensd door de verticale lijnen door B en door P, de x-as en kromme BP.

Als V wordt gewenteld om de x-as, heeft het omwentelingslichaam dus een inhoud die overeenkomt met 50 ml. Hierbij wordt de dikte van het glas verwaarloosd
         
6p. 5. Bereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. Rond je antwoord af op een geheel getal.
       

 
         
Vanuit een parallellogram.
         
Gegeven is een parallellogram ABCD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in het punt E. Zie de figuur hiernaast.

Driehoek BDE is gelijkbenig.

     
3p. 6. Bewijs dit.
       

 
In de figuur hiernaast is opnieuw een parallellogram ABCD getekend.

Nu is ook gegeven dat de lijn door B en C raakt aan de omgeschreven cirkel van driehoek ABD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E en de cirkel in F.

Ook hier geldt: driehoek BDE is gelijkbenig.

     
4p. 7. Bewijs dat  ∠BFD = 2 • ∠BEF
   

 
         
Tussen twee sinusgrafieken.
         
De functies f en g zijn gegeven door f(x) = sinx en g(x)= sin(x + 1/3π).  

In onderstaande figuur zijn de grafieken van f en g getekend op het domein [0,2π].

De grafieken van f en g snijden elkaar op dit domein bij x = 1/3π in het punt A en bij x = 4/3π in het punt B.

         

         
V is het vlakdeel dat tussen A en B wordt ingesloten door de grafieken van f en g.
         
4p. 8. Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van V.
       

 
De functie h is gegeven door h(x) = 1/2 • (f(x) + g(x)).  In de figuur hieronder zijn de grafieken van f, g en h getekend op het domein [0,2π].
         

         
4p. 9. Bereken exacte waarden van a en b zo dat 1/2 • (f(x) + g(x)) te herleiden is tot a • sin(x + b)
       

 

 

Drie vierkanten in een rechthoek.
         
In een rechthoek van 20 bij 30 liggen drie vierkanten: A linksonder, B rechtsonder en C rechtsboven. Van elk vierkant valt een van de hoekpunten samen met een van de hoekpunten van de rechthoek. A en B liggen tegen elkaar aan, en B en C ook. Het deel van de rechthoek dat niet bedekt is door de vierkanten noemen we D. Zie de volgende figuur.
         

         
Als de lengte van de zijde van vierkant A gekozen is, liggen de afmetingen van de delen B, C en D vast.
De lengte van de zijde van vierkant A noemen we x. In de onderstaande figuur is voor x = 131/2 van elk deel de oppervlakte aangegeven.
         

         
Er is een waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is.
         
8p. 10. Bereken exact deze waarde van x.
       

 

 

Een W.
         
Een punt P beweegt in het  Oxy-vlak volgens de vergelijkingen:

     
     
Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden, en t ≥ 0.
De baan die P doorloopt, heeft de vorm van een W.
Op tijdstip t = 0 start P in punt A(1, 1) en op tijdstip  t = 15 bevindt P zich voor het eerst in punt B(–1, 1).
         
In de figuur zijn de baan die P doorloopt, de punten A en B en de lijn met vergelijking y = x getekend.

Gedurende het tijdsinterval [0, 15] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn met vergelijking y = x
         
5p. 11. Bereken dit aantal seconden.
       

 
Op zeker moment tijdens de beweging van A naar B passeert P de y-as. Daarbij neemt de x-coördinaat van P af.
         
5p. 12. Bereken exact de snelheid van de x-coördinaat van P op dat moment.
       

 

 

Verschoven platen.
         
Op de foto’s hieronder zie je een kunstwerk van de Friese kunstenaar Ids Willemsma bij het voormalige Arbeidsbureau in Heerenveen.
         

         
Het kunstwerk bestaat uit een aantal naast elkaar geplaatste ijzeren platen van gelijke lengte. De voorste plaat op foto 2 staat verticaal op de grond tegen een muurtje. De stand van de volgende platen is ontstaan door zo’n plaat eerst verticaal tegen het muurtje te plaatsen en daarna de onderkant over de grond te verschuiven in de richting loodrecht op het muurtje. De platen steunen steeds op de bovenkant van het muurtje.

Om te voorkomen dat voorbijgangers zich stoten aan het kunstwerk, willen we weten hoe ver de bovenkant van een verschoven plaat maximaal in horizontale richting kan uitsteken.

In deze opgave kijken we naar een model met één plaat met lengte 280 cm die steeds schuiner tegen een muurtje met hoogte 35 cm komt te staan.
In dit model wordt de plaat voorgesteld door een lijnstuk PQ. Zie de figuur hieronder.
Het punt waar PQ op de bovenrand van het muurtje steunt, noemen we A.
We brengen een assenstelsel aan met de x-as horizontaal door P en de y-as verticaal door A. Langs beide assen nemen we als eenheid 1 cm. De coördinaten van A zijn dus (0, 35).

In de verticale beginstand van PQ bevindt punt P zich in de oorsprong en is Q het punt (0, 280). Punt P wordt over de x-as naar links geschoven, terwijl lijnstuk PQ door punt A blijft gaan. In de figuur zijn de beginstand, een tussenstand en de eindstand van lijnstuk PQ getekend.

         

         
De loodrechte projectie van Q op de x-as noemen we Q'.
De afstand van P tot de oorsprong noemen we p en de afstand van tot de oorsprong noemen we q. Zie de figuur. Q'

Uitgaande van de getekende tussenstand kan q, met behulp van gelijke verhoudingen in gelijkvormige driehoeken, als volgt worden uitgedrukt in p:

         
4p. 13. Toon aan dat deze formule juist is.
       

 
Als we q beschouwen als functie van p, dan geldt voor de afgeleide:
         

         
4p. 14. Toon dit aan.
       

 
6p. 15. Bereken exact het maximum van q.
       

 

 

Evenwijdige lijnen en een rechthoek.
         
Op een cirkel met middelpunt M liggen de punten A, B, C en D zo dat AC een middellijn is en de lijnstukken AB en CD evenwijdig zijn. Zie de figuur.
         

         
4p. 16. Bewijs dat vierhoek ABCD een rechthoek is.
       

 
Door punt D trekken we de lijn l evenwijdig aan AC.
Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in punt E. Lijnstuk ME snijdt CD in punt S.
Zie de volgende figuur.
         

         
4p. 17. Bewijs dat  ∠CSE = 3 • ∠CDE    
       

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Als F een primitieve van  f   is, dan moet gelden  F ' = f.
F' met de productregel:   F' =  1 • e-ax +  x • e-ax • -a    (-a van de kettingregel)
F' = e-ax • (1 - ax)  en dat is fa(x).
   
2. De oppervlakte van driehoek OAB = 1/2 • b • h = 1/2 • OA • OB = 1/2 • 1/a • 1 = 1/(2a)
De oppervlakte van het deel onder de grafiek van f is een integraal (de primitieve weten we uit vraag 1):
 
  De oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van f en de lijn AB is dan gelijk aan  1/2a - 1/ea
De verhouding van die beide delen is dan gelijk aan:
 
  Dat is inderdaad onafhankelijk van a
   
3. Inhoud van een omwentelingslichaam:
 
  Het mag nu via de GR:  Y1 = (4,5 + 28e^(-0,425X))^2 en dan calc - integraal (optie 7). Daar komt 7994 uit.

Maar het kan natuurlijk ook best algebraïsch:
 
  = π(20,25 • 55,3 - 252 • 1/0,452 • e-0,452 • 55,3 - 784 • 1/0,904 • e-0,904 • 55,3) - π(0 - 252 • 1/0,452 - 784 • 1/0,904)
= π(1119,825 - 0 - 0) - π(0 - 557,522 - 867,257) = π • 2544,604 = 7994

Het is dus afgerond 8 cm3
   
4. y = ax2  wordt 87,5 naar rechts geschoven en 32,5 omhoog.
Dat geeft de formule  y = a(x - 87,5)2 + 32,5
Die moet door  D(155, 23) gaan:   23 = a(155 - 87,5)2 + 32,5  ⇒ 23 = 4556,25a + 32,5 ⇒ a =  -0,002085
De formule is dus  y =  -0,002085 • (x - 87,5)2 + 32,5
   
5. 50 ml = 50000 mm3  dus er moet gelden:
 
  invullen:  π((-1/3p3 + 87,5p2 - 6600p) - (-1/3 • 55,33 + 87,5 • 55,32 - 6600•55,3)) = 50000
Zet de linkerkant in Y1 en de rechterkant in Y2 en gebruik calc - intersect.
Dat geeft  p ≈ 81.
   
6. Omdat AD evenwijdig aan BC is (parallellogram) is  ∠ADE = ∠BED  (Z-hoeken)
Maar ook is  ∠ADE = ∠BDE  (bissectrice)
Uit deze twee gelijkheden volgt dat ∠BDE = ∠BED
Dus is driehoek BDE gelijkbenig  (twee gelijke basishoeken)
   
7. De hoek tussen een koorde en een raaklijn is gelijk aan de omtrekshoek van die koorde.
Neem koorde BF.
Dan zegt deze stelling dat  ∠EBF = ∠BDF
Ook is  ∠BEF = ∠BDF  (driehoek BDE was immers gelijkbenig)
Dus is  ∠EBF = ∠BEF  ....(1)

∠BFD is een buitenhoek van driehoek BFE dus geldt  ∠BFD = ∠BEF + ∠EBF
Uit (1) volgt dan   ∠BDF = ∠BEF + ∠BEF = 2 • ∠BEF.
   
8.
  = -cos(4/3π) + cos(5/3π) + cos(1/3π) - cos(2/3π) =  1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2
   
9. Gebruik de formule sina + sinb = 2sin1/2(a + b) • cos1/2(a - b)
sinx + sin(x + 1/3π) = 2sin1/2(x + x + 1/3π) • cos1/2(x - x - 1/3π)
= 2sin(x + 1/6π) • cos(-1/6π)
= 2 • 1/2√3 • sin(x + 1/6π)
= √3 • sin(x + 1/6π)  dus   1/2(f + g) = 1/2√3 • sin(x + 1/6π)
Dus  a = 1/2√3  en b = 1/6p  
   
10. Als de zijde van A gelijk is aan x, dan is de zijde van B gelijk aan 30 - x
Dan is de zijde van C gelijk aan  20 - zijde van B = 20 - (30 - x) = x - 10
A + B + C =  x2 + (30 - x)2 + (x - 10)2
D = 20 • 30 - A - B - C = 600 - x2 - (30 - x)2 - (x - 10)2
= 600 - x2 - (900 - 60x + x2) - (x2 - 20x + 100)
= 600 - x2 - 900 + 60x - x2  - x2 + 20x - 100
= -3x2 + 80x - 400
Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is:  -6x + 80 = 0 ⇒  x = 80/6 = 131/3  
   
11. y = x geeft:
cos(4πt/15) = cos(πt/15)
4πt/15 = πt/15 + k  • 2π  Ú  4πt/15 = - πt/15 + k • 2π.
3πt/15 = k • 2π   ∨   5πt/15 = k • 2π
t = k • 10  ∨  t = k • 6
op interval  [0, 15]  zijn de oplossingen  t = 0, 6, 10, en 12
P bevindt zich onder de lijn y = x  in de intervallen  á0, 6ñ en á10,12ñ  dus dat is 8 seconden lang.
   
12. P passeert de y-as als x(t) = 0
cos(πt/15) = 0 ⇒  πt/15 = 1/2π  ⇒  t = 71/2.
De snelheid in de x-richting is  x'(t) = -sin(πt/15)•(π/15)  (met de kettingregel)
t =  71/2  geeft dan  x'( 71/2) = -sin(1/2π) •  π/15 = -π/15
   
13. De driehoeken PAO en PQQ' zijn gelijkvormig, dus hun zijden hebben dezelfde verhoudingen.
Daaruit volgt dat  PQ'/PQ = PO/PA
Maar  PQ' = p + q   en   PA = √(p2 + 352)   (met Pythagoras) en PQ = 280 en PO = p
Invullen in die verhoudingen geeft :
 
   
14. Met de quotiëntregel (en de kettingregel), vind je:  (gebruik dat de afgeleide van √x gelijk is aan 1/2√x):
 
  Vermenigvuldig teller en noemer van die breuk met √(p2 + 1225). Dat geeft:
 
  Daaruit volgt de gevraagde formule (280p2 valt weg)
   
15. Voor het maximum geldt dat de afgeleide gelijk is aan nul. Dus q'= 0
dat geeft:
 
  Vermenigvuldig alles met  (p2 + 1225)1,5:
343000  -  (p2 + 1225 = 0
343000 = (p2 + 1225)1,5
  neem nu beide kanten tot de macht 2/3:   3430002/3 = 4900 =  p2 + 1225
4900 = p2 + 1225  ⇒  p2 = 3675  ⇒  p = √3675
Dan is q =  280√3675/√4900 -√3675 = 4√3675 - √3675 = 3√3675.  
   
16. Omdat AC een middellijn van een cirkel is, geldt (stelling van Tales) dat  ∠ADC = 90º
∠BAC = ∠ACD (Z-hoeken)
Dus zijn de driehoeken ADC en CBA congruent  (HHZ).
∠DAC + ∠ACD = 90º  (hoekensom driehoek ADC)
∠ACD = ∠BAC, dus ook  ∠DAC + ∠BAC = 90º
Dus is ∠DAB = 90º,
En dus is de vierde hoek (∠DCB) ook 90º.
   
17. ∠CSE is de buitenhoek van driehoek DSE, dus ∠CSE = ∠CDE + ∠DEM  ......(1)
∠DEM = ∠CME  (Z-hoeken)  ......(2)
∠CME is de middelpuntshoek van koorde CE, dus is gelijk aan het dubbele van de omtrekshoek, en dat is ∠CDE,  dus ∠CME = 2 • ∠CDE   ......(3)
eerst (2) en dan (3) invullen in (1) geeft   ∠CSE = ∠CDE + ∠CME = ∠CDE + 2 • ∠CDE = 3 • ∠CDE