VWO WB, 2014 - I

 

Bal in de sloot.
       
Een bal met een straal van 11 cm komt in een sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak.
Hiernaast zie je een doorsnede van de situatie. Het deel van de bal onder het wateroppervlak is daarin grijs gemaakt.

Om het rekenwerk te vereenvoudigen, draaien we de figuur een kwartslag. Vervolgens kiezen we een assenstelsel zodanig dat de halve cirkel boven de x-as de grafiek is van de functie f met:

     

f(x) = √(22x - x2)
     
Hierbij zijn x en f (x) in centimeters. Zie de tweede figuur.
       
Het deel van de bal onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de grafiek van f om de x-as.

Voor de inhoud I in cm3 van het deel van de bal onder het wateroppervlak geldt:  I = πh2 • (11 - 1/3h)
       
4p. 1. Bewijs dat deze formule juist is.  
     

 

De massa van de bal is 425 gram. Uit de natuurkunde is bekend dat de massa van een drijvende bal even groot is als de massa van het door de bal weggedrukte water. Neem aan dat 1 cm3 water een massa van 1 gram heeft.
       
3p. 2. Bereken hoe diep de drijvende bal in het water ligt. Rond je antwoord af op een geheel aantal millimeters.
     

 

Boven en onder de lijn door de buigpunten.
       
Voor elke waarde van p met p ≠ 0 is een functie fp gegeven waarbij voor de tweede afgeleide geldt:
fp''(x) =  12(x - p)(x + p)

Er geldt:  fp(x) = x4 - 6p2x2 + ax + b   met a en b constanten.
       
4p. 3. Toon dit aan met primitiveren.  
     

 

Voor a = -8 en b = 5 wordt f1 gegeven door  f1(x) = x4 - 6x2 - 8x + 5
In de figuur zie je de grafiek van f1. Deze grafiek heeft buigpunten voor  x = -1 en x = 1. De lijn door deze buigpunten heeft vergelijking y = -8x.
Deze lijn en de grafiek van f1 begrenzen drie vlakdelen V1 , V2 en V3 die om en om onder en boven de lijn liggen.
       

       
De lijn met vergelijking  y = -8x snijdt de grafiek van f1 niet alleen in de twee buigpunten, maar ook in twee andere punten.
       
4p. 4. Bereken exact de x-coördinaten van de twee andere snijpunten.
     

 

De vlakdelen V1 en V3 hebben gelijke oppervlakte, namelijk 31/5.
       
4p. 5. Bewijs dat de gezamenlijke oppervlakte van V1 en V3 gelijk is aan de oppervlakte van V2.
     

 

Grafiek verdeelt rechthoek.
       
Voor x > 0 is de functie f gegeven door  f(x) = 1/x

In onderstaande figuur is voor p > 0 een rechthoek getekend die wordt begrensd door de lijnen met vergelijkingen x = 2p en  y = 1/p  de x-as en de y-as.
       

       
Voor elke positieve waarde van p verdeelt de grafiek van f de rechthoek in twee stukken.
       
7p 6. Bewijs met behulp van integreren dat de oppervlakte van elk van deze stukken onafhankelijk is van de waarde van p.
     

   
De ideale stoothoek.
       

       
Een kogelstoter stoot een kogel weg onder een hoek α  (in radialen,  0 < α < 1/2π)
De hoogte in meters waarop de kogelstoter de kogel loslaat is h.

Bij deze situatie kiezen we een assenstelsel waarbij de plaats waar de kogel wordt losgelaten zich op hoogte h op de verticale as bevindt. De kogel komt op afstand r in meters van de oorsprong op de grond. Zie de figuur hieronder. In deze opgave gaan we ervan uit dat de kogelstoter de kogel altijd met dezelfde snelheid wegstoot.
       
       
Als a zo is dat cosα  = 0,6 en we de afmetingen van de kogel en de wrijving met de lucht verwaarlozen, dan gelden (bij benadering) de volgende formules voor de coördinaten van de kogel tijdens de vlucht:
       
       
Hierin is t de tijd in seconden met t = 0 op het moment van loslaten, x de horizontale afstand in meters en y de hoogte in meters.
De kogelstoter laat de kogel los op een hoogte van 1,96 m.
       
4p. 7. Bereken op hoeveel meter afstand van de kogelstoter de kogel op de grond komt. Rond je antwoord af op een geheel aantal decimeters.
     

 

De horizontale afstand r die de kogel overbrugt, hangt af van de hoek  a  waaronder deze wordt weg gestoten.
In het algemeen geldt voor elke waarde van α  de volgende formule voor r:
       
       
De ideale stoothoek is de hoek α waarbij r zo groot mogelijk is.

We bekijken nu de situatie waarbij de kogelstoter de kogel loslaat op een hoogte van 1,85 m.
       
3p. 8. Bereken voor deze situatie de ideale stoothoek.  
     

 

Tot slot bekijken we de denkbeeldige situatie waarin h = 0 .
       
6p. 9. Bereken exact de ideale stoothoek voor deze denkbeeldige situatie.
     

 

Even lang.
       
Gegeven is een gelijkzijdige driehoek ABC met zijden van lengte 2.
In driehoek ABC is AD hoogtelijn én zwaartelijn.
Daarom geldt: BD = CD = 1 en AD = √3

Ook is gegeven de gelijkzijdige driehoek AEF met zijden van lengte 2√3, waarbij E en F op het verlengde van respectievelijk AB en AC liggen.
Lijn AD snijdt EF in G. Z is het zwaartepunt van driehoek AEF.
De lijn door C en Z snijdt AE in K en het verlengde van FE in H.
Zie onderstaande figuur.
       

       
De driehoeken CDZ en HGZ zijn gelijkvormig.
       
4p. 10. Bewijs dit.
     

 

De lengte van DZ is 2 - √3
       
3p. 11. Toon dit met een exacte berekening aan.
     

 

5p. 12. Bewijs dat EH even lang is als AB.
     

 

Gemeenschappelijk met de x-as
       
Voor elke waarde van a met a ≠ 0 is de functie fa gegeven door fa(x) = 2sin(ax) + sin(2ax) .
Het punt (π/a , 0) is een gemeenschappelijk punt van de grafiek van fa en de x-as.
       
4p. 13. Bewijs dat voor elke waarde van a (met a ≠ 0 ) de grafiek van fa de x-as in (π/a , 0) raakt.
     

 

5p. 14. Bewijs dat de grafiek van f2 puntsymmetrisch is in het punt (1/2π, 0).
     

 

 
Hoogwaterstanden.
       
Onder invloed van de maan ontstaan eb en vloed. Een periode van eb en vloed duurt 12 uur en 25 minuten en de hoogste waterstand gedurende zo’n periode heet een hoogwaterstand. Elke periode van eb en vloed levert dus één hoogwaterstand op.
Om in te schatten hoe groot de risico’s bij hoogwaterstanden zijn, stelt men op grond van een groot aantal metingen een formule op. Deze formule is van de vorm

f(h) = 10a - b • h, met a en b constanten.

Hierin is h de hoogte in meters boven NAP en f(h) het gemiddeld aantal keren per jaar dat een hoogwaterstand de waarde van h overschrijdt.

In Hoek van Holland geldt voor hoogwaterstanden tussen 0,9 m en 2,5 m  boven NAP:  a = 4,3 en b = 1,9 .
       
3p. 15. Bereken welke waarde van h volgens de formule gemiddeld één keer per jaar wordt overschreden. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

 

Als de zeespiegel, en daarmee ook de hoogwaterstanden, 0,1 m zou stijgen, zou dit leiden tot een groter gemiddeld aantal keren per jaar dat de waarde h = 2,5 in Hoek van Holland wordt overschreden.
       
3p. 16. Bereken hoeveel keer zo groot dit gemiddeld aantal keren zou zijn.
     

 

Metingen tonen aan dat de waarden a = 4,3 en b = 1,9 voor h = 2,5 tot te kleine waarden van f(h) leiden. Men vermoedt dat een hoogwaterstand van 3,9 meter boven NAP, zoals bij de watersnoodramp in Zuidwest- Nederland in 1953, gemiddeld ongeveer eens per 100 jaar voorkomt.
Volgens de formule zou dat maar eens per 1288 jaar zijn.

We zoeken daarom nieuwe waarden voor a en b, die aan de volgende voorwaarden voldoen:
 -  h = 2,5 levert dezelfde waarde van f(h) op als met de oude waarden voor a en b het geval was;
 -  h = 3,9 levert voor f(h) de waarde 0,01 op.
       
5p. 17. Bereken de nieuwe waarden van a en b. Rond deze waarden af op één decimaal.
     

 

Koordenvierhoek.
       
Gegeven zijn een cirkel met middelpunt M en een lijnstuk AB buiten de cirkel. De lijn door A en B snijdt de cirkel niet.

Punten P en Q worden zodanig op de cirkel gekozen dat aan de volgende voorwaarden is voldaan:
-  koorde PQ is evenwijdig aan lijnstuk AB;
-  lijnstuk AQ snijdt de cirkel in R;
-  lijnstuk BP snijdt de cirkel in S;
-  AQ snijdt BP binnen de cirkel.
Zie de figuur hieronder.
       

       
5p. 18. Bewijs dat ABSR een koordenvierhoek is.
     

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je  HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1.
  En dat is de gevraagde formule als je h2 buiten haakjes haalt.
   
2. πh2 • (11 - 1/3h) = 425
Y1 = πX2(11 - X/3)  en  Y2 = 425
Intersect geeft dan  X = h = 32,6  ∨  h = 3,7
De eerste keer dat dat geldt stopt de bal met zinken dus dat is bij h = 3,7 cm = 37 mm
   
3. f '' = 12(x - p)(x + p) = 12(x2 - p2) = 12x2 - 12p2
primitiveren:  f ' =  4x3 - 12p2x + a
nog een keer primitiveren:  f  =  x4 - 6p2x2 + ax + b
   
4. x4 - 6x2 - 8x + 5 = -8x
x4 - 6x2 + 5 = 0
noem x2 = p dan staat er  p2 - 6p + 5 = 0
(p - 5)(p - 1) = 0
p = 5  ∨   p = 1
x2 = 5 ∨  x2 = 1
x = √5  ∨  x = -√5  ∨ x = 1  ∨  x = -1
De laatste twee zijn de buigpunten dus de andere snijpunten hebben x-coördinaten x = √5 en x = -√5
   
5.
  =  (1/5 - 2 + 5) - (-1/5 + 2 - 5)
= 31/5 + 31/5 = 62/5
Dat is inderdaad de gemeenschappelijke oppervlakte van V1 en V3 (31/5 + 31/5)
   
6. Bereken de oppervlakte van het bovenste stuk.
Snijpunt van f met de bovenkant van de rechthoek:  1/x = 1/p  dus  x = p
 
  = 2 - ln2p - 1 + lnp
= 2 - ln2 - lnp - 1 + lnp
= 1 - ln2
Dat is inderdaad onafhankelijk van p
   
7. y = 0  geeft  1,96 + 11,2t - 4,9t2 = 0
ABC- formule:   t = (-11,2 ± √(163,856))/-9,8 = -0,163 Ú 2,449
De gezochte oplossing is t = 2,449 en dat geeft x = 8,4 • 2,449 = 20,6 m  = 206 dm
   
8. Y1 =  20 cos(X) * (sin(X)  + √((sin(X))^2 + 0,1 * 1,85)
calc - maximum geeft dan  X = α = 43º   (0,74 rad is ook goed).
   
9. h = 0 geeft  r = 20cosα • (sinα + √(sin2α))
r = 20cosα • (sinα + sinα)
r = 20cosα • 2sinα
r = 20 • sin2α
Dat is maximaal als sin2α maximaal is, en dat is als 2α = 90º, dus α = 45º   (1/4π is ook goed)
   
10. Omdat beide driehoeken ABC en AEF gelijkzijdig zijn, zijn de hoeken ABC en AEF beiden 60º

Dan zijn CB en FE evenwijdig (F-hoeken)

Dan zijn de gele hoeken gelijk (Z-hoeken)
De blauwe hoeken zijn ook gelijk (overstaande hoeken)

Dus zijn de driehoeken gelijkvormig (hh)

 

   
11. AEF is √3 keer zo groot als ABC.
Dus AG = √3 • AD = √3 • √3 = 3

AZ = 2/3AG (zwaartelijn eigenschap) dus AZ = 2

DZ = AZ  - AD = 2 - √3

   
12. Omdat CDZ en HGZ gelijkvormig zijn geldt 
GH/ZG = DC/ZD
ZG = 1/3AG (zwaartelijn eigenschap) dus ZG = 1
DC = 1  en  ZD = 2 - √3 invullen:
GH/1 = 1/(2 - √3)
 
  EH = GH - EG = 2 + √3 - √3 = 2 dus dat is inderdaad even lang als AB.
   
13. fa(x) = 2sin(ax) + sin(2ax) .
fa' = 2acos(ax) + 2acos(2ax)
fa'(π/a) = 2acosπ + 2acos2π = -2a + 2a = 0
De grafiek van f en de x-as hebben in het punt (π/a, 0) beiden helling 0, dus ze raken elkaar.  
   
14. Als de grafiek van f2 puntsymmetrisch is in het punt (1/2π, 0) dan moet gelden  f2(1/2π - x) = -f2(1/2π - x)

Gebruik het feit dat  sin(π - x) = sinx en sin(π + x) = -sinx  en  sin(2π - x) = -sinx en  sin(2π + x) = sinx  

f2(1/2π - x) = 2sin(2(1/2π - x)) + sin(4(1/2π - x))
= 2sin(π  - 2x) + sin(2π - 4x)
= 2sin2x - sin(4x)

-f2(1/2π + x) =  -2sin(2(1/2π + x)) - sin(4(1/2π + x))
= -2sin(π + 2x) - sin(2π + 4x)
= 2sin(2x) - sin(4x)

Dat is inderdaad gelijk.
   
15. a = 4,3 en b = 1,9  en f(h) = 1 geeft bij invullen in de gegeven formule:  1 = 104,3 - 1,9h
4,3 - 1,9h = 0
1,9h = 4,3
h = 4,3/1,9 = 2,3 m
   
16. Als in de nieuwe situatie de waarde h = 2,5 wordt overschreden dan zou in de oude situatie de waarde h = 2,4 worden overschreden.
f(2,5) = 104,3 - 1,9 • 2,5 = 0,35481
f(2,4) = 104,3 - 1,9 • 2,4 = 0,54954
Dat laatste is  0,54954/0,35481 = 1,55 keer zo groot
   
17. f(3,9) = 0,01 invullen geeft:   0,01 = 10a - 3,9b 
Dat geeft -2 = a - 3,9b  ofwel  a = 3,9b - 2    .....(1)

f(2,5) = 0,35481   invullen geeft   0,35481 = 10a - 2,5b
Dat geeft  log(0,35481) = -0,45 = a - 2,5b
Vul hierin vergelijking (1) voor a in:   -0,45 = 3,9b - 2 - 2,5b
1,55 = 1,44b
b = 1,55/1,44 = 1,076 ≈ 1,1   en dan geeft  (1) dat  a = 3,9 • 1,076 - 2 = 2,198 ≈ 2,2
   
18. ∠PQR  = ∠PSR  (beiden de omtrekshoek van koorde PR)
∠PQR = ∠BAQ (Z-hoeken)
Dus is ∠BAQ = ∠PSR   ......(1)

∠BSR = 180º - ∠PSR (gestrekte hoek)
∠BSR + ∠PSR = 180º

Maar vanwege (1) is dan ook ∠BSR + ∠BAQ = 180º

Dus is de vierhoek een koordenvierhoek.