Het achtste deel.
Op het domein [-9,0] is de functie f gegeven door f(x) = √(x + 9) . In de figuur is de grafiek van f getekend en een lijn met vergelijking x = p met  -9 < p ≤ 0. Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en deze lijn is met grijs aangegeven.
De oppervlakte van het grijze gebied noemen we A. De waarde van A hangt af van de waarde van p. Er geldt:
4p.	1.	Toon deze formule aan.
Er is een waarde van p waarvoor A(p)  het achtste deel is van de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de y-as.
5p.	2.	Bereken exact deze waarde van p.

Stuiterende bal.
Een bal wordt vanaf een bepaalde hoogte boven een vloer losgelaten en begint vervolgens te stuiteren. In deze opgave bekijken we een wiskundig model van deze situatie. Op het moment van loslaten bevindt de onderkant van de bal zich h0 meter boven de vloer. De maximale hoogte van de onderkant van de bal tussen twee keer stuiteren noemen we de stuithoogte. De stuithoogte na de eerste keer stuiteren noemen we h1 , die na de tweede keer stuiteren h2 , enzovoort. Aan de linkerkant van de volgende  figuur is de bal getekend op verschillende stuithoogtes. Rechts daarvan is de hoogte h van de stuiterende bal (in meters) uitgezet tegen de tijd t (in seconden).
In deze opgave gaan we ervan uit dat de verhouding tussen twee opeenvolgende stuithoogtes constant is, dus h1 : h0  is gelijk aan h2 : h1 , enzovoorts. Deze verhouding noemen we a. Voor de stuithoogte na n keer stuiteren geldt dan:  hn = h0 • an De waarde van a hangt af van het soort bal.
3p.	3.	Bereken de waarde van a voor een bal waarvan na 7 keer stuiteren de stuithoogte 5 keer zo klein is als de hoogte waarop de bal is losgelaten. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De hoogte van de onderkant van de bal tussen twee opeenvolgende keren stuiteren is een functie van de tijd. De grafiek van deze functie is een bergparabool. De tijd in seconden tussen de n-de en de (n + 1)-ste keer stuiteren noemen we de stuittijd Tn . In onderstaande figuur zijn drie stuittijden aangegeven.
De stuittijd Tn  kan worden uitgedrukt in de stuithoogte hn. Er geldt:
Een bal wordt losgelaten vanaf hoogte h0. De stuittijd T1 is 1,11 seconden en de stuittijd T4 is 0,68 seconden.
5p.	4.	Bereken h0 . Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.

Snijdende raaklijnen.
Gegeven zijn cirkel c met middelpunt M en cirkel d met middelpunt N. Lijn k gaat door M en raakt d in punt A. Lijn l gaat door N en raakt c in punt B. De punten A en B liggen aan dezelfde kant van MN. Punt S is het snijpunt van k en l. De lijnen MB en NA snijden elkaar in punt C.  De lijn door C en S snijdt lijnstuk MN in punt D. Zie de figuur.
Er geldt:  ∠ACS = ∠NMS
6p.	5.	Bewijs dit

Onveranderlijke lengte
Voor a > 1 is de functie fa gegeven door:    fa(x) = a • ex - e2x De grafiek van fa  snijdt de x-as in het punt S(lna ,0). De grafiek van fa heeft één top: punt T. De loodrechte projectie van T op de x-as is punt U. U ligt links van S op de x-as. Zie de figuur.
De x-coördinaten van de punten U en S zijn afhankelijk van de waarde van a.
7p.	6.	Bewijs dat de lengte van lijnstuk US onafhankelijk is van a.

Over de muur.
In vroeger tijden probeerde men met een katapult kogels over vestingmuren te slingeren. In deze opgave bekijken we een katapult met een draaibare hefboom. Het linker deel van de hefboom is 4 meter lang. Op het einde daarvan ligt een kogel met middelpunt P. Aan het einde van het rechter deel van de hefboom zit een contragewicht Q. In het begin wordt de hefboom horizontaal gehouden door een touw tussen de hefboom en de grond. De hoogte van de hefboom is dan 2 meter. In figuur 1 is deze beginstand getekend in een assenstelsel met oorsprong O op de grond. Punt P heeft dan coördinaten (-4, 2). Nadat het touw wordt doorgesneden, gaat de hefboom draaien in de richting van de wijzers van de klok, tot deze draaiing door een verstelbaar stopblok wordt gestopt en de kogel wegvliegt. De draaihoek in de eindstand wordt de stophoek α genoemd, met 0 < α < 1/2π  radialen. In figuur 2 is de eindstand getekend.
2p.	7.	Druk de coördinaten van P uit in de stophoek α op het moment dat de eindstand wordt bereikt.
Als de hefboom bij stophoek α tot stilstand komt, verlaat de kogel de hefboom en vliegt vervolgens door de lucht. De baan die P dan beschrijft is bij benadering gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
Hierin is t de tijd in seconden vanaf het moment dat de kogel de hefboom verlaat. Verder zijn x(t) en y(t) in meters en is a in radialen. Voor ytop , de y-coördinaat van het hoogste punt van de baan van P, geldt:    ytop = 2 + 24sinα - 20sin3α
5p.	8.	Bewijs dat de formule voor ytop volgt uit de bewegingsvergelijkingen.
Uit de formule voor ytop kan de waarde van de stophoek a worden berekend waarvoor de kogel de grootst mogelijke hoogte bereikt. In dit optimale geval zijn de bewegingsvergelijkingen voor P bij benadering gelijk aan:
4p.	9.	Toon met een berekening aan dat in dit geval inderdaad bij benadering geldt  y(t) = -5t2 + 12,3t + 4,5
De stophoek is zo ingesteld dat de kogel zo hoog mogelijk komt. Als de katapult, gemeten vanaf O, 24 meter van een 6 meter hoge vestingmuur staat, komt de kogel niet over de muur.
5p.	10.	Bereken de afstand waarover de katapult minstens in de richting van de muur moet worden verschoven zodat de kogel wel over de muur komt. Geef het antwoord in gehele meters.

Parabool en cirkel.
Een parabool heeft brandpunt F en richtlijn l. Op de parabool ligt een punt P. Punt P'  is de loodrechte projectie van P op l. Cirkel c heeft middelpunt F en gaat door P. De lijn door F evenwijdig aan PP' snijdt c in punt Q. Lijn m gaat door Q en is evenwijdig met l. Punt P ligt zo op de parabool dat m de middelloodlijn van lijnstuk PP' is. Zie de figuur.
6p.	11.	Bewijs dat PQ = FP

 

 

UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1.
2.	Voor p = 0 vind je dat de hele oppervlakte van het gebied ingesloten door de x-as, de y-as en de grafiek van f gelijk is aan  2/3(0 + 9)1,5 = 2/3 • 27 = 18 De oppervlakte van V moet dus gelijk zijn aan 18/8 2/3 • (p + 9)1,5 = 18/8 (p + 9)1,5 = 27/8 p + 9 = (27/8)2/3 = 9/4 p = 9/4 - 9 =  -63/4
3.	h7 = h0 • a7 h7 = 0,2h0 samen geeft dat   h0 • a7 = 0,2h0 a7 = 0,2 a = 0,21/7 = 0,79
4.	1,11 = 2 • √(h1/4,9) 0,555 = √(h1/4,9) 0,308025 = h1/4,9) h1 = 1,5093225   0,68 = 2 • √(h4/4,9) 0,34 = √(h4/4,9) 0,1156 = h4/4,9) h4 = 0,56644 h4 = a3 • h1  dus   0,56644 = a3 • 1,5093225 a3 = 0,37529 a = 0,375291/3 = 0,7213 h0 = h1/a = 2,09246 meter en dat is ongeveer 21 dm
5.	∠ACS = ∠NMS ∠MBN = ∠MAN = 90º  (raaklijnen aan een cirkel) Dus is MN middellijn van een cirkel door A en B (Thales) Dus is MBNA een koordenvierhoek ∠AMN = ∠ABN  (omtrekshoeken van AN) Op dezelfde manier is BSAC ook een koordenvierhoek (hoeken B en A 90º) ∠ABN = ∠ACS (omtrekshoeken van AS) Dus is ∠AMN = ∠ACS  (beiden gelijk aan ∠ABN)
6.	fa(x) = a • ex - e2x fa' = aex - 2e2x fa ' = 0 Þ  aex - 2e2x  = 0  ⇒  ex(a - 2ex) = 0  ⇒  a = 2ex  ⇒  ex = 0,5a ⇒  x = ln(0,5a) Dat betekent dat  xU = ln(0,5a) xS = lna xS - xU = lna - ln(0,5a) = lna - ln(0,5) - lna = -ln(0,5) = ln2 Dat is inderdaad onafhankelijk van a
7.	sinα = PS/4  dus  PS = 4sinα Dan is  yP = 2 + 4sinα cosα = RS/4  dus  RS = 4cosα, xP = -RS =  -4cosα
8.	y '(t) = 0 y(t) = -5t2 + 2 + 20t • cosα√(sinα)  + 4sinα Bedenk dat a een constante is, dus daar hoef je niet naar te differentiëren. y' = -10t  + 20cosα√sinα y ' = 0  ⇒  10t = 20cosα√sinα   ⇒  t = 2cosα√sinα invullen in de y-vergelijking: ytop = -5(2cosα√sinα)2 + 2 + 2 • 20 cosα√(sinα) • cosα√(sinα)  + 4sinα ytop = -20cos2αsinα + 2 + 40cos2α + 4sinα ytop = 20cos2αsinα + 2 + 4sinα ytop = 20(1 - sin2α)sinα + 2 + 4sinα    (immers  cos2α + sin2α = 1) ytop = 20sinα - 20sin3α + 2 + 4sinα ytop = 2 + 24sinα - 20sin3α
9.	Plot de grafiek van ytop en bereken met de GR het maximum: Y1 = 2 + 24sinX - 20*(sin(X))^3 calc - maximum geeft  X = α  = 0,685 rad (zet de GR op rad en kies window bijv.  xmin = 0 en xmax = 2) dan is  y =  -5t2 + 2 + 20t • cos0,685√(sin0,685)  + 4sin0,685 y =  -5t2 + 2 + 20t • 0,774 • 0,795 + 4 • 0,633 y = -5t2 + 12,3t + 4,5
10.	De hoogte van de kogel moet minstens gelijk zijn aan 6. y = 6  geeft  -5t2 + 12,3t + 4,5 = 6 ABC-formule (of GR en intersect) levert dan  t = 2,33 Ú t = 0,13 Wat is dan de horizontaal afgelegde afstand van de kogel? x(0,13) = 10,1 • 0,13 - 3,1 = -1,8 meter  en dat kan niet, dan zou de katapult voorbij de muur zijn gereden x(2,33) = 10,1 • 2,33 - 3,1 = 20,4 meter De afstand moet dus  24 - 20,4 = 3,6 meter kleiner worden gemaakt, dus de katapult moet ongeveer 4 meter dichter bij de muur worden gezet.
11.
	PF = PP'   (want P ligt op de parabool) PF = FQ  (straal cirkel) Dus  FQ = PP' ∠FQP  = ∠QPP'   (Z-hoeken) Dus de driehoeken FQP en  P'PQ zijn congruent  (ZHZ) Dan is dus P'Q = FP Maar de middelloodlijn m van PP' is de verzameling van alle punten die even ver van P als van P' af liggen, dus ook geldt  PQ = P'Q, want Q ligt op die middelloodlijn. Dus is PQ = FP
12.	∠CMB = 2 • ∠CAB  (middelpuntshoek en omtrekshoek van koorde CB)  .....(1) ∠CBM = ∠BCM  (gelijkbenige driehoek, want MC en BM zijn beiden de straal van de cirkel) Som van de hoeken in driehoek CMB geeft ∠CMB + 2 • ∠CBM = 180º ∠CBM = 1/2(180 - ∠CMB) met (1) geeft dat: ∠CBM = 1/2(180 - 2∠CAB) ∠CBM = 90 - ∠CAB
13.	∠CQP = 90 + ∠CBM   (buitenhoek van driehoek BQN met het resultaat van vraag 12: ∠CQP = 90 + (90 - ∠CAB) ∠CQP + ∠CAB = 180 Dus is CAPQ een koordenvierhoek.
14.	sint • cost = 1/4 1/2sin2t = 1/4 sin2t = 1/2 2t = 1/6π + k2π  ∨ 2t = 5/6π + k2π t = 1/12π + kπ  ∨   t = 5/12π + kπ in het interval  [0, 2π〉  geeft dat de oplossingen: t =  1/12π ,  5/12π,   13/12π,  17/12π
15.	P gaat door de oorsprong als cost = 0 dus dat is bij t = 1/2π  en t = 3/2π x' = -sint y = 1/2sin2t  dus  y' = cos2t snelheid = √(sin2t + cos22t) x '(1/2p) = 11  en  y'(1/2p) =  -1 snelheid = √((-1)2 + (-1)2) = √2
16.	y2  (?=?)   x2(1 - x2) sin2tcos2t     (?=?)    cos2t • (1 - cos2t) (1 - cos2t) • cos2t  (?=?)     cos2t • (1 - cos2t) qed.
17.