VWO WB, 2016 - I

 

Kettinglijn.
       
De functie f  is gegeven door: 

In de figuur hiernaast is de grafiek van f, een zogenaamde kettinglijn, op het domein [0,6] getekend. Punt T is het laagste punt van de grafiek en punt A is het gemeenschappelijke punt van de grafiek met de y-as.
 
De x-coördinaat van T is ongeveer 1,4.
     
4p.

1.

 Bereken exact de waarde van de x-coördinaat van T.
     

 
Aan twee verticale palen met bevestigingspunten A en B is een flexibele, niet elastische kabel opgehangen. Door het eigen gewicht hangt de kabel in de vorm van een kettinglijn. In de figuur hiernaast is deze situatie in een assenstelsel getekend. De x-as valt samen met de grond.
De getekende kettinglijn is de grafiek van de functie f op het domein [0,6].

De kabel schiet los bij punt A.

     
5p.

2.

 Onderzoek of de loshangende kabel de grond raakt.
     

 
In de figuur hiernaast zijn de grafiek van de functie f en de parabool door A met top T getekend. In deze figuur is te zien dat de parabool de kettinglijn aanvankelijk goed benadert, maar dat voor grotere waarden van x de benadering minder goed wordt.
Van de parabool door A met top T kan een vergelijking van de vorm   y = a(x - b)2 + c  worden opgesteld.

     
6p.

3.

 Bereken de waarde van x waarvoor het (verticale) hoogteverschil tussen de kettinglijn en deze parabool gelijk is aan 1.
Rond je antwoord af op één decimaal.
     

 
Automotor
       
In een automotor wordt de op- en neergaande beweging van een zuiger via een drijfstang omgezet in een draaiende beweging. In de figuur hiernaast zijn twee standen getekend. In de eerste stand beweegt de zuiger omlaag en in de tweede stand omhoog.

In de figuur hieronder zijn vier standen schematisch getekend. A is een vast punt, D beweegt verticaal over AB en C draait over een cirkel met straal 1 en middelpunt A waarbij CD een vaste lengte 4 heeft.

De grootte van hoek CAD (in radialen) noemen we α. Punt E is de loodrechte projectie van C op lijn AD.

       

       

Punt D beweegt op en neer tussen zijn hoogste punt B (α = 0 en α = 2π) en zijn laagste punt O (α = π).

De afstand van D tot B noemen we s.
 s hangt af van α.

       
5p.

4.

Bewijs dit voor de meest linkse van de in de figuur hierboven getekende standen (dus voor  0 < α < 1/2π)
     

 

In de techniek wordt s soms benaderd met behulp van de formule   z = 1 − cos(α) + 1/8sin2(α) .

Om te onderzoeken of de formule z = 1 − cos(α) + 1/8sin2(α)  een goede benadering voor s geeft, wordt het maximale verschil tussen s en z  berekend.
       
3p.

5.

 Bereken in drie decimalen nauwkeurig dit maximale verschil.
     

 
Zowel in B als in O is de snelheid van de zuiger gelijk aan 0.
Tijdens de beweging wordt voor een waarde van α, met 0 < α < π, de maximale zuigersnelheid bereikt.
       
4p.

6.

Stel een formule voor de afgeleide van z op en bereken hiermee de maximale zuigersnelheid. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

  

 

Omgeschreven cirkel.
       

Punt M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de scherphoekige driehoek ABC.

Op deze cirkel ligt punt D zo dat straal MD zijde AB in punt E loodrecht snijdt.

Zie de figuur hiernaast.
     
4p.

7.

Bewijs dat CD de bissectrice van hoek ACB is.
     

 

In de figuur hiernaast is de omgeschreven cirkel getekend van een andere driehoek ABC. Op deze cirkel met middelpunt M liggen de punten H, D en Z.

Voor driehoek ABC geldt:

- D ligt zodanig op de cirkel dat MD loodrecht staat op AB
- H is het snijpunt van het verlengde van de hoogtelijn vanuit C met de cirkel;
- Z is het snijpunt van de lijn door C en het snijpunt E van MD en AB met de cirkel.
     
4p. 8.

Teken driehoek ABC in de figuur hiernaast. Licht je werkwijze toe.
     

  

 

Raaklijn aan twee parabolen.
       

Gegeven zijn de twee parabolen met vergelijkingen y = x2 + 3 en y = −x2 −1.

Er zijn twee lijnen die aan beide parabolen raken. Deze twee raaklijnen snijden elkaar in het punt dat midden tussen de toppen van de beide parabolen ligt. Zie de figuur.
       

 
6p. 9.

Stel met behulp van exacte berekeningen van beide raaklijnen een vergelijking op.
     

  

 

Vierkant bij een grafiek.
       

 

Van vierkant ABCD liggen de hoekpunten A en B op de x-as en het hoekpunt D op de grafiek van f.

Zie de figuur hiernaast.

De x-coördinaten van A en B noemen we respectievelijk a en b,
met 0 < a < b .
De coördinaten van D zijn dan (a, 16/√a)

Voor a = 1 ontstaat het vierkant met zijde 16.
V is het deel van dit vierkant dat zich boven de grafiek bevindt.
Vlakdeel V wordt gewenteld om de x-as.
     
5p. 10 Bereken exact de inhoud van het bijbehorende omwentelingslichaam.
     

 
Hieronder zijn enkele mogelijke situaties voor vierkant ABCD getekend.
       

       

Bij de getekende situaties is de afstand van punt B tot de oorsprong aangegeven. Deze afstand b hangt af van a, de x-coördinaat van A. Als a vanaf 0 toeneemt, neemt b eerst af en vervolgens weer toe. Er is dus een waarde van a waarvoor b minimaal is.
       
5p. 11. Druk b uit in a en bereken vervolgens exact deze minimale waarde van b.
     

 
Snelheid op een baan
       

Voor 0 £ t £ π is de baan van het punt P gegeven door de volgende  bewegingsvergelijkingen:
       

       
In de figuur is de baan van P weergegeven.

Op t = 0 bevindt P zich in het hoogste punt A(0,1) van de baan.
Op t = π bevindt P zich in het laagste punt C(0, −1) van de baan.
Tussen t = 0 en t = π snijdt de baan de y -as één keer in het punt B.
     

     
7p. 12. Bereken exact de snelheid van P in punt B.



 
     

 
Driehoek met dubbele hoek.
       

Gegeven is een driehoek ABC, waarbij hoek B twee keer zo groot is als hoek C. Het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC ligt binnen deze driehoek. Middellijn AE snijdt zijde BC in punt D.
Zie de figuur.
       

       
4p. 13 Bewijs dat driehoek ABD gelijkbenig is.
     

 

In de figuur hieronder is opnieuw de driehoek ABC getekend met zijn omgeschreven cirkel. De lijn door A evenwijdig met zijde BC snijdt de cirkel behalve in A ook in punt F.
Lijn l raakt de cirkel in F. De hoek tussen l en lijnstuk CF is α en de hoek tussen l en lijnstuk AF is β.
       

       
5p. 14. Bewijs dat l evenwijdig is aan AC.  
     

  

 

De kromme van Agnesi.
       

De grafiek van deze functie is onder andere bestudeerd door de Italiaanse wiskundige Maria Agnesi (1718-1799).
In onderstaande figuur is de grafiek van f weergegeven. De top van de grafiek is (0,1) .
Ook is voor een zekere waarde van p, met 0 < p < 1/2 , de lijn met vergelijking y = p weergegeven. Deze lijn snijdt de grafiek van f  in twee punten A en B.
       

       

       
3p. 15. Bewijs dit.

 
       

In onderstaande figuur zijn opnieuw de grafiek van f en de lijn met vergelijking y = p , met 0 < p < 1/2, weergegeven. Ook is de lijn met vergelijking  y = 1 − p weergegeven. Deze lijn snijdt de grafiek van f in twee punten C en D.
       

       
Er geldt:  AB • CD = 4
       
4p. 16. Bewijs dit.  
     

 

De grafiek van fa ontstaat uit de grafiek van f door twee transformaties: een vermenigvuldiging van de grafiek van f ten opzichte van de x-as met een positieve factor a en vervolgens een vermenigvuldiging van de zo verkregen grafiek ten opzichte van de y-as met dezelfde factor a.
       
3p. 17.

Stel een functievoorschrift op voor fa . Schrijf je antwoord als één breuk.
     

 

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1.

 

  ln4  = 1,386... ≈ 1,4
   
2. Voor de lengte van de grafiek geldt: 
 

  Die kun je in de GR invoeren met f ' van vraag 1.

Maar het kan ook zo:
Y1 = 0,5e^(0,5X)+2e^(-0,5X)+1,5
Y2 = nDerive (Y1, X, X)     (Y1 vind je bij vars - Yvars - 1:Function)
Y3 = √(1 + Y2^2)
En dan  calc - 7:∫f(x)dx  met  X= 0 en X = 6
Dat geeft lengte  11.443195....

verder is f(6) = 11,642343....     (calc - value van Y1)
De kabel raakt de grond dus NIET  (de kabel is korter dan de hoogte van ophangpunt B).
   
3. De top is  T = (ln4, 3.5)  dus b = ln4  en  c = 3,5
A = (0, 4)   en dat geeft  a(0 - ln4)2 + 3,5 = 4  en dan is  a = 0,5/ln24 = 0,26017....
Het hoogteverschil is het verschil tussen beide functies.
Y1 = 0,5e^(0,5X)+2e^(-0,5X)+1,5
Y2 = 0,26017(X - ln(4))^2 + 3,5
Y3 = Y1 - Y2   (de kettinglijn ligt boven de parabool)
Y4 = 1
calc - intersect van Y3 en Y4  geeft  X = 5,1236... ≈ 5,1
   
4. CD = 4 en  AC = 1, dus  AB = 5  (zie de meest rechtse figuur)
DB = 5 - AD = 5 - AE - ED    ......(1)
driehoek CEA:    AE = cosα
CE = sinα en dan Pythagoras in driehoek CED geeft  42 = sin2α + ED2   dus  ED = Ö(16 - sin2α)
Dan geeft  (1)  dat  DB = 5 - cosα - Ö(16 - sin2α) 
   
5. Y1 = 5 - cos(X) - √(16 - (sin(X))2)
Y2 = 1 - cos(X) + (sin(X))^2/8
Y3 = Y1 - Y2
calc = maximum van  Y3  voor X tussen 0 en 2π 
window:  Xmin = 0,  Xmax = 2π,  Ymin = -0.005 en Ymax = 0.005
geeft  maximale afwijking  -0,002
   
6.

z = 1 − cos(α) + 1/8sin2(α)
z' = sin(α) + 2 • 1/8 • sinα • cosα = 0

Y1 = sin(X) + 2 • 1/8 • sin(X) • cos(X)
calc - maximum  geeft  z' = 1,03
   
7. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden.
Omdat MD loodrecht op AB staat is MD zo'n middelloodlijn, dus is AE = EB
ED = ED
Dan zijn de driehoeken AED en BED congruent(ZZR)

Omdat de koorden AD en DB gelijk zijn, zijn ook hun omtrekshoeken gelijk.
Die omtrekshoeken zijn ∠ACD en ∠BCD

Omdat ∠ACD = ∠BCD is CD de bissectrice.
 
   
8. CH is hoogtelijn dus staat loodrecht op AB.
MD staat loodrecht op AB
Dus CH // MD.

Teken een lijn door H evenwijdig aan MD. Het snijpunt met de cirkel is C.

Teken CZ.
Het snijpunt met MD is punt E.

Teken AB door E loodrecht op MD.
Snijden met de cirkel geeft A en B.

   
9. y = x2 + 3  heeft top  (0, 3)
y = -x2 - 1  heeft top  (0, -1)
De raaklijnen gaan dus door (0, 1) en hebben vergelijking  y = ax + 1

raken aan de eerste parabool:
ax + 1 = x2 + 3
a = 2x

tweede invullen in de eerste:  2x2 + 1 = x2 + 3
x2 = 2
x = ±√2  en dan is  a = ± 2√2

De vergelijkingen zijn dus  y =  ± 2√2 • x + 1
   
10. Eerst het deel onder de grafiek wentelen om de x-as:
 

  = π(256ln16 - 256ln1) = 256πln16

DC wentelen om de x-as geeft  een cilinder met inhoud  π • 162 • 15 = 3840π

Het gevraagde omwentelingslichaam heeft inhoud  3840π - 256πln16
   
11. AD = 16/√a
b = OA + AB = a + AD = a + 16./√a

b'  =  1 - 8a-1,5 = 0
8a1,5 = 1
a1,5 = 8
a = 81/1,5 = 82/3  = 4
dan is b = 4 + 16/√4 = 12  
   
12. x = 0  geeft  sint + sin2t = 0
sint + 2sintcost = 0
sint(1 + 2cost) = 0
sint = 0  ∨  cost = -1/2
t = 0  ∨  t = π  ∨  t = 2/3π
De laatste is die van  punt B

x '(t) = cost + 2cos2t  dus  x'(2/3π) = -1/2 + 2 • -1/2 = -11/2
y' (t) = -sint  dus  y'(2/3π) = 1/2√3

de snelheid is √((11/2)2 + (1/2√3)2)  = √(9/4 + 3/4) = √(12/4) = √3    
   
13. ∠AEB = γ  (omtrekshoek AB)
∠ABE = 90º  (Thales)
∠BAE = 90 - γ  (hoekensom ABE)

∠ADB = 180 - (90 - γ) - 2γ = 90 - γ

Dus ∠ADB = ∠BAE
Dus driehoek BAD is gelijkbenig (gelijke basishoeken)

   
14. ∠FAC = α  (hoek koorde en raaklijn)
∠FAC = ∠BCA  (Z-hoeken)
Dus α = γ

∠AFC = 180 - 2γ  (koordenvierhoek)
∠AFC = 180 - α - β  (hoekensom AFC)
Dus 2α = α + β  dus  α = β

Dan is l evenwijdig met AC (Z-hoeken)
   
15. 1/(x² + 1) = p
x2 + 1 = 1/p
x2 = 1/p - 1
x = ±√(1/p - 1)
AB  is het verschil tussen deze x-waarden:  AB = √(1/p - 1) - - √(1/p - 1) = 2√(1/p - 1)
   
16. AB = 2√(1/p - 1)  (vraag 15)
vervang nu p door 1 - p .  Dat geeft  CD = 2√(1/(1- p) - 1)
 

 

 
 

   
17. vermenigvuldiging tov x-as met factor a geeft  y = a/(x² + 1)

vermenigvuldiging tov y-as met factor a:  vervang x door x/a: