VWO WB, 2016 - II

 

Parabolen met gemeenschappelijke raaklijn.
       

Voor elke waarde van p is de functie fp  gegeven door:   fp (x) = (x - p)2 + 2p

De grafieken van deze functies zijn parabolen.

Twee van deze parabolen gaan door de oorsprong.
       

4p.

1.

 Bereken exact de coördinaten van de toppen van deze twee parabolen.
     

 

Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = 2x −1.

Voor elke waarde van p raakt de lijn k aan de grafiek van fp in het punt  met coördinaten (p + 1; 2p + 1).
       

4p.

2.

 Bewijs dat het punt (p + 1; 2p + 1) inderdaad raakpunt is.
     

 

We bekijken de functies f0 en fp (met p ≠ 0 ).

De lijn k raakt de grafiek van f0 in Q en de grafiek van fp in Rp .

De grafieken van f0 en fp snijden elkaar in Sp . Zie de volgende figuur.
       

       

Er geldt: de x-coördinaat van Sp is het gemiddelde van de x-coördinaten van Q en Rp .
       

5p.

3.

 Bewijs dit.
     

 

De grafieken van f0 en f4 en de gemeenschappelijke raaklijn k sluiten een gebied V in. Zie onderstaande figuur, waarin gebied V met grijs is aangegeven.
       

       

6p.

4.

 Bereken exact de oppervlakte van V.
     

  
Spots
       

Veel industriële en medische processen worden gestuurd door een digitale camera die gekoppeld is aan een computer. Hierbij is een gelijkmatige verlichting van het werkoppervlak van groot belang. Voor de belichting gebruikt men vaak een of meer kleine spots.

Zie figuur 1.

Om de belichting goed te kunnen instellen is de hoogte van de spots boven het werkoppervlak variabel. We bekijken eerst de situatie met één spot S.

Zie figuur 2.

       

De waargenomen verlichtingssterkte E (in lux) in een punt P van een horizontaal oppervlak kan berekend worden met de formule:

Hierin is:
-

Ispot een constante: de door de spot uitgezonden lichtstroom (in microlumen);
- r de afstand (in mm) tot de spot;
-

α de hoek (in radialen) tussen de lichtstraal en de loodlijn in P op het werkoppervlak
       

In figuur 2 is d de horizontale afstand in mm van de spot tot P en x de verticale afstand in mm van de spot tot P. Er geldt:
       

       

4p.

5.

 Bewijs dit.  
       
We kiezen d = 10 . Er is een waarde van x waarvoor E maximaal is.
     

 

7p.

6.

Bereken algebraïsch deze waarde van x. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

 

In de rest van deze opgave bekijken we de situatie met twee identieke spots. Voor elke spot geldt: Ispot = 500.
De spots hebben horizontaal een onderlinge afstand van 40 mm en schijnen recht naar beneden. De verticale afstand van de spots tot het werkoppervlak is 25 mm. Zie figuur 3. Hierin is ook d aangegeven, de horizontale afstand in mm van de linker spot tot P.  De horizontale afstand in mm van de rechter spot tot P is dan 40 − d .
       

       

De totale verlichtingssterkte Etotaal in een punt op het werkoppervlak is de som van de waargenomen verlichtingssterktes in dat punt van beide spots.

Het deel van het werkoppervlak tussen de spots wordt voldoende gelijkmatig belicht als de laagste waarde van Etotaal in dat deel minstens 80% van de hoogste waarde van Etotaal bedraagt.
       

5p.

7.

Onderzoek of bij de ingestelde verticale afstand van 25 mm het deel van het werkoppervlak tussen de spots voldoende gelijkmatig belicht wordt.
     

  

 

Buiten en binnen de cirkel.
       

Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 1.
Buiten de cirkel liggen punten P en Q zo dat M niet op de lijn door P en Q ligt.
Op lijnstuk MP ligt binnen de cirkel het punt P' zo dat MP' · MP = 1.
Op lijnstuk MQ ligt binnen de cirkel het punt Q' zo dat MQ' · MQ = 1.
In de figuur zijn de punten P en Q met de bijbehorende punten P' en Q' getekend.
       

       
De driehoeken MP'Q' en MQP zijn gelijkvormig.
       

4p.

8.

 Bewijs dit.
     

 

In de volgende  figuur zie je opnieuw de cirkel c met middelpunt M en straal 1.
Verder is een lijn l buiten de cirkel getekend.
       

       

Op l ligt het punt A zo dat lijnstuk MA loodrecht op l staat.
Op lijnstuk MA ligt het punt A' zo dat MA' · MA = 1.

In de figuur is ook een punt B op l getekend.
Op lijnstuk MB ligt het punt B' zo dat MB' · MB = 1.
       

3p.

9.

 Bewijs dat B' op de cirkel met middellijn MA' ligt.
     

 

 

Getransformeerde grafiek.
       
De functies f en g worden gegeven door:
       

De grafieken van f en g staan in onderstaande figuur. Ze snijden elkaar in de punten S en T.
       

       

Lijn l met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B. Het punt op lijn l met y-coördinaat 1 noemen we P. In de figuur is de situatie weergegeven waarbij l rechts van T ligt.
       

3p.

10.

 Bewijs dat in deze situatie AP = BP.
     

 

Ook voor waarden van p waarvoor l niet rechts van T ligt, geldt dat AP = BP. Hieruit volgt dat de grafieken van f en g elkaars gespiegelde zijn in de lijn met vergelijking y = 1. Deze lijn is getekend in figuur 2.

In onderstaande figuur is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de y-as, grijsgemaakt.
       

       
Dit gebied wordt gewenteld om de y-as.
       

5p.

11.

 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.
     

 

De grafiek van f  wordt 2 naar rechts verschoven. In de figuur hieronder staan de grafiek van f en de verschoven grafiek.
       

       

Het lijkt of deze grafieken elkaar loodrecht snijden. Dit is zo als in het snijpunt van de grafieken het product van de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan deze grafieken gelijk is aan –1.
       

8p.

12.

 Bewijs dat ze elkaar loodrecht snijden.
     

 

 

Droogligtijd.
       

In de Waddenzee varieert de waterhoogte in de loop van de tijd. Eb en vloed wisselen elkaar voortdurend af in een getijdencyclus met een periode van ongeveer 745 minuten. De waterhoogte in het oostelijke deel van de Waddenzee kan worden benaderd met de formule:

       

Hierbij is h de waterhoogte in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil) en is t de tijd in minuten. Tijdstip t = 0 komt overeen met een moment waarop h = 125 .

In het oostelijk deel van de Waddenzee liggen verschillende zandbanken die gedurende een deel van een getijdencyclus droog komen te liggen.
De droogligtijd D is het aantal minuten per getijdencyclus dat een zandbank niet geheel onder water ligt. De droogligtijd hangt af van de hoogte van de zandbank: de hoogte van het hoogste punt van de zandbank ten opzichte van NAP.

In het oostelijk deel van de Waddenzee bevindt zich een zandbank met een hoogte van 40 cm boven NAP.
In onderstaande figuur is de grafiek van de waterhoogte h getekend. Tevens is de hoogte van deze zandbank weergegeven. Gedurende één periode zijn er twee tijdstippen waarop de waterhoogte h gelijk is aan de hoogte van de zandbank. We noemen deze tijdstippen t1 en t2 . Het verschil tussen t2 en t1 is de droogligtijd D.
       

       

4p.

13.

Bereken de droogligtijd D van deze zandbank. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.
     

 

Op drooggevallen zandbanken kunnen waddenvogels voedsel vinden. Daarom willen natuuronderzoekers het verband weten tussen de hoogte van de zandbanken en de tijd dat ze droog liggen.

Met z duiden we de hoogte in cm van de zandbank aan, ten opzichte van NAP. Er geldt dan:
       

       

5p.

 14. Bewijs dit.  
     

 

In figuur 2 is de grafiek van z getekend voor waarden van D tussen 0 en 745.

Ook kan een grafiek van het verband tussen D en z worden getekend waarbij z op de horizontale as en D op de verticale as wordt gekozen. Zie figuur 3.
       

       

In onderzoeksrapporten wordt, in plaats van de formule die bij figuur 3 hoort, ook wel de volgende derdegraads formule gebruikt:  D = 8 • 10−5 z3 +1,7z + 372,5

De bijbehorende grafiek staat in figuur 4.

De grafieken in figuren 3 en 4 lijken op elkaar. Zo verschillen de hellingen van beide grafieken in het punt (0 ; 372,5) niet veel.
De helling in een punt op de grafiek van figuur 3 kan worden berekend met behulp van de helling in het overeenkomstige punt in figuur 2: er geldt dat het product van deze twee hellingen gelijk is aan 1.
       

5p.

15.

Bereken op algebraïsche wijze bij elk van de figuren 3 en 4 de helling van de grafiek in het punt (0 ; 372,5) . Rond je antwoorden af op één decimaal.
     

  
Driehoek, cirkel en koordenvierhoek.
       

Gegeven is driehoek ABC. Verder is gegeven een cirkel, zo dat

-  de cirkel zijde AB in punt D raakt;
-  de cirkel zijde BC in twee punten E en F snijdt;
-  zijde DE evenwijdig aan zijde AC is.

Zie de figuur.
       

       

4p.

16.

 Bewijs dat vierhoek ADFC een koordenvierhoek is.
     

  

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Door de oorsprong:  (0 - p)2 + 2p = 0
p2 + 2p = 0
p(p + 2) = 0
p = 0  p = -2

f0(x) = x2   en die heeft top  (0, 0)

f-2(x) = (x + 2)2 - 4  en die heeft top  (-2, -4)
   
2. f ' = 2  geeft  2(x - p) = 2  dus  x - p = 1  dus  x = 1 + p
Dan is y = (1 + p - p)2 + 2p  = 1 + 2p
Het raakpunt is dus  (1 + p, 1 + 2p)
   
3. Het raakpunt is  (1 + p, 1 + 2p)  zie vraag 2.
Dus is  Q het punt (1, 1)  en  Rp het punt  (1 + p, 1 + 2p)
Het gemiddelde van de x-coördinaten van Q en Rp is  (1 + p + 1)/2 = 1 + 0,5p

Is dat de x van Sp?
(x - p)2 + 2p = x2
x2 - 2px + p2 + 2p = x2
2px = p2 + 2p
x = 0,5p + 1
JA!!
   
4. S4:
x2 = (x - 4)2 + 8
x2 = x2 - 8x + 16 + 8
8x = 24
x = 3  (het kan natuurlijk ook via de eigenschap van vraag 3)

R4 = (5, 9)  (vraag 2)  en  Q = (1, 1)

Tussen Q en S4:
 

   
  Tussen S4 en R4:
 

   
  samen geeft dat oppervlakte 22/3 + 22/3 = 51/3
   
5. Pythagoras:  r2 = x2 + d2  
cosa =  x/r
invullen in de E-formule:  
 

   
6. De afgeleide moet nul zijn.
Met de quotiëntregel:
 

  Dat is nul als de teller nul is:
(x2 + 100)1,5 - 1,5x(x2 + 100)0,5  • 2x = 0
(x2 + 100)1,5 - 3x2(x2 + 100)0,5 = 0
(x2 + 100)0,5  •  {(x2 + 100) - 3x2} = 0
(x2 + 100)0,5 = 0   ∨   -2x2 + 100 = 0
De eerste geeft geen oplossing. De tweede geeft  x2 = 50  dus  x = √50  (of -√50 maar dat kan niet)
Dus  x = 7,1 mm
   
7. Voor de totale verlichtingssterkte in P moet je de E-waarden van beide spots bij elkaar optellen:
 
  Invoeren in de GR bij Y1   (window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 40,   Ymin = 0,05 en Ymax = 0,08)
en dan calc - maximum en calc - minimum
geeft een maximum van  0,0736  (voor d = 1,92)
geeft een minimum van  0,0606 (voor d  = 20)
het minimum is  0,0606/0,0736 • 100% = 82% van het maximum.
Het werkoppervlak wordt dus voldoende belicht.
   
8. MP' • MP = 1 = MQ'• MQ
Dus  MQ'/MP' = MP/MQ
De hoeken Q'MP' en  QMP zijn gelijk.
Dus zijn de driehoeken gelijkvormig  (zhz)
   
9. De driehoeken MB'Á' en MAB zijn gelijkvormig (zie de vorige vraag)

Dus is ∠MB'A'= ∠MAB = 90º

Dan is MA' middellijn van een cirkel waar ook B' op ligt (stelling van Thales) 
   
10. yA =  ln(p2 + 1)
yP = 1  dus  AP = ln(p2 + 1) - 1

yB = ln(e2/(p2 + 1) = ln(e2 ) - ln(p2 + 1) = 2 - ln(p2 + 1)
yP = 1  dus  BP = 1 - (2 - ln(p2 + 1)) = 1 - 2 + ln(p2 + 1) = ln(p2 + 1) - 1

Die zijn inderdaad gelijk.
   
11. Omdat de grafieken symmetrisch zijn kun je de onderste helft omwentelen en dan je antwoord met twee vermenigvuldigen.
 

  y = ln(x2 + 1) 
ey = x2 + 1
x2 = ey - 1
 
  = 2π {(e - 1) - (1 - 0)} = 2π(e - 2)
   
12. De verschoven grafiek heeft vergelijking  y = ln((x - 2)2 + 1)
snijpunt:   ln(x2 + 1) = ln((x - 2)2 + 1)
x2 + 1 = (x - 2)2 + 1
x2 + 1 = x2 - 4x + 4 + 1
4x = 4
x = 1

oorspronkelijke afgeleide:   f ' =  1/(x² + 1) • 2x   dus  f '(1) = 1
verschoven afgeleide:   f ' =  1/((x - 2)² • 2(x - 2)  dus  f '(1) =  -1
het product van de richtingscoëfficiënten is -1 • 1 = -1  dus de grafieken snijden elkaar loodrecht.     
   
13. 125cos(2π/745 • t) = 40
cos(2π/745 • t) = 0,32
2π/745 • t = 1,245  + k2π   ∨  2π/745 • t  = -1,245 + k2π
t = 147,62 + k • 745  ∨   t = 597,38 + k • 745
Daartussen ligt  D = 450 minuten

(het mag ook met de GR:  Y1 = h en Y2 = 40 en dan intersect)
   
14. z = h(t1) = 125 • cos(2π/745 • t1)
Als de droogligtijd D is, dan blijft er van de periode van 745 minuten nog  (745 - D) minuten over waarin het water hoger staat dan de zandbank.
Uit de symmetrie van de grafiek volgt dat dat er aan beide zijden een stuk van 0,5(745 - D) zit, en dat is gelijk aan t1.
t1 = 0,5(745 - D) invullen in de z-formule:
z = 125 • cos(2π/745 • (0,5 • (745 - D))
z = 125 • cos(π/745 • (745 - D))
z = 125 • cos(π - π/745 • D)
   
15. figuur 3:
bereken de helling van het punt (372.5,  0) in figuur 2
z ' = -125 • sin(π - 0,0042 • D) • -0,0042
z ' = 0,527 • sin(π - 0,0042D)
z '(372,5) = 0,527
Dus de helling in figuur 3 is  1/0,527 ≈ 1,9 

figuur 4:
D '= 3 • 8 • 10-5 • z2 + 1,7
D'(0) = 1,7
   
16.

   
  ∠BDE = ∠BFD  (hoek tussen koorde DE en raaklijn)
∠BDE = ∠BAC  (F-hoeken)
dus  ∠BFD = ∠BAC

omdat ∠BFD + ∠DFC = 180º  (gestrekte hoek)  is ook  ∠BAC + ∠CFD = 180º
Dus is ADFC een koordenvierhoek (overstaande hoeken samen 180º)