Nieuwe pagina 1

Elektrische Spanning.

De spanning op elektriciteitsdraden in het Nederlandse spanningsnet is een wisselspanning met formule U(t) = 325sin(100πt) Hierin is U de spanning in volt en t de tijd in seconden. De grafiek van deze wisselspanning is een sinusoïde met amplitude 325. In de figuur is één periode van de grafiek weergegeven. Ook zijn de lijnen met vergelijking U = 230 en U = -230 getekend. De spanning op het stopcontact schommelt tussen –325 volt en +325 volt. Toch zegt men in het algemeen dat de spanning op een stopcontact 230 volt is. Dat komt omdat de zogenaamde effectieve waarde van de wisselspanning (dat is de waarde van een gelijkspanning die evenveel vermogen levert als de wisselspanning) ongeveer 230 volt is.



5p.	2.	Bereken hoeveel procent van de tijd de spanning meer dan 230 volt van 0 afwijkt.

De effectieve waarde van de wisselspanning geven we aan met U_eff. Deze waarde kan worden berekend met de formule:



Hierin is T de periode van de spanning U. Uitgaande van de gegeven formules kun je met de grafische rekenmachine berekenen dat U_eff ongeveer 230 volt is.

3p.	3.	Bereken U_eff in twee decimalen nauwkeurig.

Het Nederlandse spanningsnet maakt gebruik van drie elektriciteitsdraden die fasedraden worden genoemd: de spanningen in deze drie draden hebben namelijk een onderling faseverschil. Voor de spanning in twee van de drie fasedraden geldt:



Voor woonhuizen wordt doorgaans alleen de eerste fasedraad gebruikt met een bijbehorende effectieve waarde van 230 volt. In fabrieken is voor machines vaak een hogere effectieve waarde dan 230 volt nodig. De stroom die hiervoor nodig is, wordt krachtstroom genoemd. Hiervoor wordt gebruikgemaakt van twee van de drie fasedraden. De spanning die een machine dan krijgt, is het spanningsverschil tussen de twee fasedraden, bijvoorbeeld. Dan geldt:

U_kracht(t) = U₁(t) - U₂(t) = 325(sin(100πt) - sin(100πt - ²/₃π))

5p.	4.	Bereken exact de maximale waarde van U_kracht.

Bissectrice en Cirkel.

AB is een koorde van een cirkel met middelpunt M. Op deze koorde is een gelijkbenige, stomphoekige driehoek ABC getekend met C op de cirkel en AC = BC. De raaklijn aan de cirkel in A snijdt lijn BC in punt D . Zie de volgende figuur.



Er geldt: lijn AC is bissectrice van hoek BAD.

3p.	5.	Bewijs dit.

In de volgende figuur is de vorige situatie uitgebreid. Door A, C en D is een gestippelde cirkel getekend. Punt E is zo op lijnstuk AB gekozen, dat lijnstuk EC de gestippelde cirkel in een punt F snijdt. De lijnstukken AC en DF snijden elkaar in punt G



4p.	6.	Bewijs dat G op de cirkel door A, E en F ligt.

Sinus en parabool.

Op het domein [0, 2π] is de functie f gegeven door: f (x) = 3sin(x) − 2sin²(x) De grafiek van f snijdt de x-as in de punten (0, 0) en (π, 0) . Zie de figuur.



De lijn met vergelijking y = 1 raakt de grafiek van f in het punt P(¹/₂π, 1). Deze lijn heeft nog twee andere punten met de grafiek van f gemeenschappelijk.

5p.	8.	Bereken exact de afstand tussen deze twee andere punten.

V is het gebied dat wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f. Zie onderstaande figuur.



5p.	9.	Bereken exact de oppervlakte van V.

Hieronder is opnieuw de grafiek van f getekend. Ook is de parabool door (0, 0) getekend die de grafiek is van een functie g die is gegeven door: g(x) = ax² + bx , waarbij a en b constanten zijn. Deze constanten zijn zo gekozen dat: - het punt (π, 0) op de parabool ligt én - de grafiek van f en de parabool in het punt (0, 0) dezelfde helling hebben én - de grafiek van f en de parabool in het punt (π, 0) dezelfde helling hebben.



6p.	10.	Bereken exact de waarden van a en b.

Brandwerendheid van een deur

De (lucht)temperatuur tijdens een bepaald soort natuurlijke brand kan

worden beschreven met het volgende model:

Hierin is T_nat de temperatuur in °C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in de volgende figuur.

In de figuur is te zien dat de temperatuur bij deze natuurlijke brand een maximum bereikt.

5p.

11.

Bereken exact deze maximale temperatuur.

Deuren worden getest op hun brandwerendheid door ze in een laboratorium aan een brand bloot te stellen.
De temperatuur tijdens zo’n laboratoriumbrand verloopt anders dan bij de natuurlijke brand, namelijk volgens de formule:

T_lab(t) = 20 + 345 • log(8t +1)

Hierin is T_lab de temperatuur in °C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in onderstaande figuur.

Temperaturen onder de 300 °C leveren geen blijvende schade aan de deur op. Pas vanaf een temperatuur van 300 °C heeft een deur onder de brand te lijden. Het tijdstip t waarop deze temperatuur bij de laboratoriumbrand wordt bereikt, is afgerond op twee decimalen 0,69. Zie de figuur hierboven.

4p.

12.

Bereken algebraïsch het tijdstip t waarop de temperatuur bij de laboratoriumbrand de waarde 300 °C bereikt. Rond je antwoord af op drie decimalen.

In de rest van deze opgave bekijken we een deur die wordt blootgesteld aan een laboratoriumbrand. Deze deur blijkt precies 30 minuten stand te houden. Men vraagt zich af hoe berekend kan worden of zo’n deur tijdens de natuurlijke brand óók 30 minuten standhoudt. In onderstaande figuur is het vlakdeel grijs gemaakt dat wordt ingesloten door de grafiek van Tlab , de horizontale lijn met vergelijking T = 300 en de verticale lijn met vergelijking t = 30 .

De Amerikaan Simon Ingber deed in 1928 de volgende veronderstelling:

De deur bezwijkt tijdens de natuurlijke brand op dát tijdstip t_b , waarvoor geldt dat de oppervlakte tussen de grafiek van T_nat , de horizontale lijn met vergelijking T = 300 en de verticale lijn met vergelijking t = t_b gelijk is aan de oppervlakte van het grijze vlakdeel in de figuur.

7p.

13.

Onderzoek of volgens de veronderstelling van Ingber de deur tijdens de natuurlijke brand minstens 30 minuten standhoudt.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Als ze elkaar raken zijn de functies gelijk en de afgeleides ook f ´(x) = ¹/_x g '(x) = ¹/_2e • 2x = ^x/_e ¹/_x = ^x/_e geeft x² = e x = √e (-√e mag niet want dan bestaat lnx niet) f(√e) = ln(√e) = ln(e^0,5) = 0,5 g(√e) = ¹/_2e • (√e)² = 0,5 Die zijn gelijk dus de grafieken raken elkaar.

2.	230 = 325sin(100πt) 0,7077 = sin(100πt) 100πt = 0,7872 + k2π ∨ 100πt = π - 0,7872 + k2π t = 0,0025 + 0,02k ∨ t = 0,0075 + 0,02k Daartussen is de spanning meer dan 230 van 0 af, dus dat is 0,005 seconden De spanning is ook 0,005 seconden minder dan -230V Dus de spanning wijkt tijdens één periode 0,01 seconden meer dan 230 van 0 af. Dat is ^0,01/_0,02 • 100% = 50%

3.	Y1 = (325sin(100π*X))^2 calc 7: ∫f(x)dx lower limit X = 0 upper limit X = 0,02 Dat geeft oppervlakte 1056,25 0,02 • U_eff² = 1056,25 U_eff² = 52812,5 U_eff = 229,81 V

4.	Voor het maximum is U' = 0 U' = 325 * (cos(100πt) • 100π - cos(100πt - ²/₃π) • 100π) cos(100πt) - cos(100πt - ²/₃π) = 0 cos(100πt) = cos(100πt - 2/3π) 100πt = 100πt - ²/₃π + k2π ∨ 100πt = -100πt + ²/₃π + k2π 0 = ²/₃π + k2π ∨ 200πt = ²/₃π + k2π t = ¹/₃₀₀ + 0,01k U(¹/₃₀₀) = 325(sin(¹/₃π) - sin(-¹/₃π)) = 325 • (¹/₂√3 + ¹/₂√3) = 325√3 Volt

5.	∠DAC = ∠CBA (hoek tussen koorde en raaklijn) ∠CAB = ∠CBA (gelijkbenige driehoek) dus ∠DAC = ∠CAB dus AC is de bissectrice van ∠BAD

6.	∠CFD = ∠CAD (constante hoek koorde DC) ∠DFE + ∠CFD = 180º (gestrekte hoek) ∠CAD = ∠CAE (gegeven) Dus ∠DFE + ∠CAE = 180º Dus is GFEA een koordenvierhoek (overstaande hoeken samen 180º)

7.	AB = f(p) - g(p) = ¹/₂sin(2x - ²/₃π) - ¹/₄√3 - sin(x - ²/₃π) Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is: AB' = ¹/₂cos(2p - ²/₃π) • 2 - cos(x - ²/₃π) = 0 cos(2p - ²/₃π) = cos(x - ²/₃π) 2p - ²/₃π = p - ²/₃π + k2π ∨ 2p - ²/₃π = -p + ²/₃π + k2π p = 0 + k2π ∨ 3p = ⁴/₃π + k2π p = 0 + k2π ∨ p = ⁴/₉π + k²/₃π Tussen 0 en ²/₃π geeft dat een maximum bij p = ⁴/₉π

8.	y = 1 geeft 3sinx - 2sin²x = 1 2sin²x - 3sinx + 1 = 0 sinx = ^{(3 ± √1)}/₄ sinx = 1 ∨ sinx = ¹/₂ x = ¹/₂π ∨ x = ¹/₆π *∨ x =* ⁵/₆π A =(¹/₆π, 1) en B = (⁵/₆**π, 1) De afstand daartussen is ²/₃π

9.	cos2x = 1 - 2sin²x dus 2sin²x = 1 - cos2x f(x) = 3sinx - 1 + cos2x Een primitieve is F(x) = -3cosx - x + ¹/₂sin(2x)


10.	f '(x) = 3cosx - 4sinx • cosx f '(0) = 3 Dus moet ook gelden dat g'(0) = 3 g'(x) = 2ax + b dus 2a • 0 + b = 3 dus b = 3 (π, 0) ligt op de parabool: aπ² + bπ = 0 b = 3 geeft dan aπ² = -3π a = -³/_π

11.	T '(t) = e^(blablabla)• (-2ln(t) • ¹/_t + ⁶/_t) Dat is nul als -2ln(t) • ¹/_t + ⁶/_t= 0 1/t • (-2lnt + 6) = 0 -2lnt + 6 = 0 lnt = 3 t = e³ T(e³) = 20 + 1050 • e^{(-9 + 18 - 9)} = 20 + 1050 = 1070 ºC

12.	20 + 345 • log(8t + 1) = 300 345 • log(8t + 1) = 280 log(8t + 1) = 0,81159... 8t + 1 = 10^0,81159... = 6,4802... 8t = 5,4802... t = 0,685 minuten

13.	De oppervlakte van het grijze vlakdeel is ∫(20 + 345 • log(8t + 1) - 300) dt tussen de grenzen t = 0,69 en t = 30 Y1 = 20 + 345 • log(8t + 1) - 300 calc 7: ∫f(x) dx lower limit x = 0,69 upper limit x = 30 Dat geeft oppervlakte 11929 Y1 = 20 + 1050* e ^(-(ln(X))^2 + 6ln(X) - 9) Y2 = 300 intersect geeft t = 6,36 calc: 7: ∫f(x)dx lower limit x = 6,36 upper limit x = 30 Dat geeft oppervlakte 14242 Dat is groter dan 11929 dus de deur houdt tijdens de natuurlijke brand niet minstens 30 minuten stand

14.	Het snijpunt van BD en AC is M. Dat is het midden van BD (eigenschap parallellogram). Dus is ME een zwaartelijn van driehoek EBD. MA = ¹/₂AC = MC (eigenschap parallellogram) dus MC = ¹/₂CE MC : CE = 1 : 2 Dus is C het zwaartepunt want de zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in stukken die zich verhouden als 1 : 2.

Rakende Grafieken.

De functies f en g zijn gegeven door:



5p.	1.	Ga na met exacte berekening of de grafieken van f en g elkaar raken.

Twee sinusoïden.

De functies f en g zijn gegeven door:


In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven op het interval [0, ²/₃π]. Verder is de lijn getekend met vergelijking x = p, met 0 < p < ²/₃π. Deze lijn snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B.



De lengte van lijnstuk AB is afhankelijk van p. Voor een bepaalde waarde van p is deze lengte maximaal.

7p.	7.	Bereken exact voor welke waarde van p de lengte van lijnstuk AB maximaal is.

Parallellogram met verlengde diagonaal.

Gegeven is parallellogram ABCD. Punt E ligt op het verlengde van diagonaal AC zodanig dat CE = AC. Zie de figuur.



Punt C is het snijpunt van de zwaartelijnen van driehoek DBE.

5p.	14.	Bewijs dit.

VWO WB, 2017 - I