Nieuwe pagina 1

Lijn door de oorsprong en een cirkel.

Gegeven is cirkel c met middelpunt (1, 7) en straal 5 .

Lijn k snijdt cirkel c in twee punten.

5p.	1.	Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.

Rechts van het snijpunt.

De functies f en g zijn gegeven door: f (x) = 3cos(2x) - √(2x) en g(x) = 3 - √(2x) De grafiek van g snijdt de x-as in punt A. De grafiek van f heeft diverse toppen, alle met een positieve x-coördinaat. Punt B is de derde van deze toppen. Zie de figuur. Er geldt: punt B ligt rechts van punt A.

5p.	2.	Toon dit aan met behulp van de afgeleide van f.

Altijd raak.

Voor p ≥ 1 is de functie f_p gegeven door: f_p (x) = p + √(x - p) In onderstaande figuur is voor enkele waarden van p de grafiek van f_p weergegeven en ook lijn k met vergelijking y = x + ¹/₄



Lijn k raakt de grafiek van f_p voor elke waarde van p ≥ 1.

5p.	3.	Bewijs dit.

Voor p ≥ 1 heeft de grafiek van f_p een randpunt, ook wel beginpunt genoemd. De randpunten van de grafieken in de figuur zijn met een stip aangegeven. Er geldt voor elke p ≥ 1: het randpunt van de grafiek van f_p ligt op de grafiek van f_p_- ₁ .

3p.	4.	Bewijs dat inderdaad voor p ≥ 1 geldt: het randpunt van de grafiek van f_pligt op de grafiek van f_p_{- 1} .

Punt A(1,1) is het randpunt van de grafiek van f₁. Punt B(2, 2) is het randpunt van de grafiek van f₂ . B ligt dus op de grafiek van f₁. Door de punten A en B gaat een lijn l. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn l en de grafiek van f₁. Zie de volgende figuur.



5p.	5.	Bereken exact de oppervlakte van V.

Slingshot.

De Slingshot is een kermisattractie.
Tussen de toppen van twee palen hangt aan twee identieke elastische koorden een capsule die plaats biedt aan twee personen. Zie de foto.

De capsule wordt allereerst omlaag getrokken tot aan de grond. Op dat moment gaan er twee personen in de capsule zitten. Vervolgens wordt de capsule losgelaten. De capsule schiet dan recht omhoog. Daarna valt hij recht omlaag, gaat weer omhoog, enzovoorts. Na enige tijd komt de capsule stil te hangen.

Gegeven is:

De palen staan 14 m uit elkaar.

De palen staan verticaal

De palen zijn 20 m hoog.

Zonder uitrekking heeft elk koord een lengte van 8 m.

Elk koord trekt aan de capsule met een kracht die afhangt van de lengte van het uitgerekte koord. De grootte van deze kracht kan berekend worden met de formule:

F_k = 0,6 • (L - 8)

Hierbij is F_k de grootte van de kracht in kN (kilonewton) en L de lengte van het uitgerekte koord in m (met L ≥ 8).

In de figuur hiernaast is de beginsituatie weergegeven. De capsule is aangegeven met het punt C en de toppen van de palen met A en B.

De capsule bevindt zich op de grond, midden tussen de palen.
Beide koorden, CA en CB, zijn dan flink uitgerekt en staan strak.

3p.

Bereken de grootte van de kracht in kN waarmee een koord in de beginsituatie aan de capsule trekt. Geef je eindantwoord in één decimaal.

De twee krachten kun je weergeven met twee vectoren.
De som van deze twee vectoren is een vector die een verticale kracht weergeeft met grootte F_kv . De grootte van deze kracht kan berekend worden met de volgende formule:

F_kv = 2 • F_k • cos(α)

Hierin is α de hoek tussen een koord en de verticale vector. Zie onderstaande figuur.

Op de capsule, inclusief de twee personen, werkt niet alleen de kracht van beide koorden, maar ook de zwaartekracht F_z, die recht naar beneden is gericht. Zie de figuur rechts. Deze zwaartekracht bedraagt 1,8 kN.
In de figuren is ook het hoogteverschil tussen C en de toppen van de palen met x aangegeven.

Na een aantal keren op en neer te zijn geslingerd, is de capsule tot stilstand gekomen. Op dat moment heft de zwaartekracht de twee krachten op die door de koorden samen worden uitgeoefend.
Er geldt dan dus: F_kv = F_z

De hoogte waarop de capsule tot stilstand komt, is te berekenen door eerst F_kvin x uit te drukken.

6p.

Druk F_kv uit in x en bereken daarmee hoe hoog de capsule boven de grond hangt als hij tot stilstand is gekomen. Geef je eindantwoord in gehele meters.

Een logaritmische functie en haar afgeleide.

De functies f en g worden gegeven door: f (x) = x ln(x) - x + 1 g(x) = f '(x)

5p.	8.	Bereken exact de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g.

Er is één waarde van p waarvoor geldt:


Voor deze waarde van p is de situatie in de figuur geschetst.



7p.	9.	Bereken exact deze waarde van p. Schrijf je eindantwoord in de vorm p = ae , waarbij a een getal is.

Gebroken goniometrische functie.

De functie f is gegeven door:


Lijn k is de lijn met vergelijking y = √2 . Lijn k en de grafiek van f hebben oneindig veel snijpunten. De punten A en B zijn de twee snijpunten met de kleinste positieve x-coördinaten. Deze zijn in de figuur hiernaast aangegeven.

6p.	10.	Bereken exact de x-coördinaten van A en B.

Voor elke waarde van p is de functie f_p gegeven door:


6p.	11.	Onderzoek of er waarden van p zijn waarvoor de grafiek van f_p perforaties heeft.

In de rest van de opgave beperken we ons tot waarden van p waarvoor geldt: p ≠ 0 De punten op de grafiek van f_p met x-coördinaten 0, π en 2π noemen we respectievelijk P, Q en R. In onderstaande figuur is voor een waarde van p de grafiek van f_p weergegeven. Ook zijn de lijnstukken PQ en QR weergegeven.



Er zijn waarden van p waarvoor PQ en QR loodrecht op elkaar staan.

4p.	12.	Bereken exact deze waarden van p.

Driehoek met bewegend hoekpunt.

Lijn k gaat door de punten A(0,10) en B(40, 0) . De baan van een punt P is gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:



De baan van punt P is de lijn m. Zie de figuur.



Bij bijna elke positie van punt P vormen de punten A, B en P een driehoek ABP. Er is één uitzondering.

5p.	13.	Bereken de coördinaten van P zodat A, B en P niet de hoekpunten van een driehoek vormen.

8p.	14.	Onderzoek op algebraïsche wijze of er een positie van P is, zó dat driehoek ABP een rechte hoek heeft bij P én driehoek ABP een gelijkbenige driehoek is.

Afgeknotte paraboloïde.

De functie f is gegeven door f (x) = √x. De grafiek van f is getekend in de figuur linksonder, samen met de lijnen met vergelijkingen x = a en x = b , waarbij 0 < a < b . Midden tussen de punten (a, 0) en (b, 0) ligt het punt (m, 0) . De grafiek van f, de x-as en de twee verticale lijnen sluiten een gebied in. Dit gebied, in de figuur linksonder met groen aangegeven, wordt gewenteld om de x-as. Het omwentelingslichaam is een zogenaamde afgeknotte paraboloïde. Deze is afgebeeld in de figuur rechtsonder.



Bij de omwenteling beschrijft elk punt van de grafiek een cirkel. De oppervlakte van de cirkel die beschreven wordt door het punt (m, m) noemen we A. De cirkelschijf met deze oppervlakte is met donkergroen aangegeven in de rechterfiguur.

In de figuur hiernaast staat de afgeknotte paraboloïde een kwartslag gedraaid. In die figuur is ook de hoogte h van de afgeknotte paraboloïde aangegeven.

Voor de inhoud V van de afgeknotte paraboloïde geldt de formule: V = h • A

7p.	15.	Bewijs dit.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	een punt van de lijn is (t, 2t) de cirkel is (x - 1)² + (y - 7)² = 25 punt invullen: (t - 1)² + (2t - 7)² = 25 t² - 2t + 1 + 4t² - 28t + 49 = 25 5t² - 30t + 25 = 0 t² - 6t + 5 = 0 (t - 1)(t - 5) = 0 t = 1 ∨ t = 5 t = 1 geeft punt (1, 2) t= 5 geeft punt (5, 10)

2.	3 - √(2x) = 0 √(2x) = 3 2x = 9 x = 4,5 dus A = (4.5, 0) f(x) = 3cos(2x) - √(2x) dus f '(x) = -3sin(2x) • 2 - ¹/₂_√(2_x) • 2 -6sin(2x) - ¹/_√(2_x) = 0 Y1 = -6sin(2x) - ¹/_√(2_x) calc - zero bij het derde nul;punt geeft x = 4,7394691.... Dus B ligt rechts van A

3.	Als k f raakt moeten twee dingen gelden: f = k en f ' = 1 f '= ¹/_{2√(x - p)} = 1 geeft 2√(x - p) = 1 √(x - p) = ¹/₂ x - p = ¹/₄ x = p + ¹/₄ Dan moet tegelijk ook gelden p + √(x - p) = x + ¹/₄ x = p + ¹/₄ invullen: p + √(p + ¹/₄ - p) =?= p + ¹/₄ + ¹/₄ p + √¹/₄ =?= p + ¹/₂ p + ¹/₂ =?= p + ¹/₂ dat klopt, dus f raakt k

4.	Het randpunt van f_p ligt bij x = p Dan is y = p + 0 = p dus het randpunt is (p, p) Ligt (p, p) op f_p-₁ ? f_p_{- 1} = p - 1 + √(x - (p - 1)) = p - 1 + √(x - p + 1) (p, p) invullen: p =?= p - 1 + √(p - p + 1) p =?= p - 1 + 1 p =?= p Dat klopt, dus het randpunt van f_p ligt op f_p_{- 1}

5.	l gaat door (1, 1) en (2,2) dus is de lijn y = x

	= (2 + ²/₃ • 1^1,5 - 0,5 • 4) - (1 + 0^1,5 - 0,5 • 1) = ²/₃ - ¹/₂ = ¹/₆

6.	Voor de lengte L van het koord geldt (Pythagoras): L² = 20² + 7² = 449 L = √449 F_k = 0,6 • (√449 - 8) = 7,9 kN

7.	F_kv = 2 • F_k • cos(α) F_kv = 2 • 0,6 • (L - 8) • cos(α) L = √(x² + 49) cos(α) = ^x/_L = ^x/_√(x2_{+ 49)}Samen geeft dat:

	Zet deze formule i n Y1 van de GR Y2 = 1,8 intersect geeft x = 7,25..... de hoogte is dan 20 - x = 13 m.

8.	f (x) = x ln(x) - x + 1 g(x) = f '(x) = 1 • lnx + x •¹/_x - 1 = lnx + 1 - 1 = lnx lnx = xlnx - x + 1 lnxc • (1 - x) = 1 - x lnx = 1 ∨ (1 - x) = 0 x = e ∨ x = 1

9.	f is een primitieve van g, dus:

	2pln(2p) - 2p + 1 - (plnp - p + 1) = 0 2pln(2p) - 2p + 1 - plnp + p - 1 = 0 2pln(2p) - p - plnp = 0 en nu zit in elke term een factor p dus die kan buiten haakjes: p • (2ln(2p) - 1 - lnp) = 0 p = 0 (maar die kan niet) ∨ 2ln(2p) - 1 - lnp = 0 2(ln2 + lnp) - 1 - lnp = 0 2ln2 + lnp - 1 = 0 lnp = 1 - 2ln2 lnp = lne - ln2² lnp = lne - ln4 lnp = ln(^e/₄) p = ¹/₄•e

10.	^cosx/_-sin²_x = √2 cosx = √2 • -sin²x cosx = √2 • (-1 + cos²x) noem nu cosx = p p = √2 • (-1 + p²) -√2 • p² + p + √2 = 0 ABC- formule: p =^{(-1 ± √(1 + 8))}/_-2√2 = ²/_-2√2 of ^-4/_-2√2 Dat geeft cosx = -¹/₂√2 ∨ cosx = √2 (maar dat kan niet) cosx = -¹/₂√2 x = ³/₄π + k2π ∨ x = -³/₄π + k2π Dat geeft de oplossingen x = ³/₄π, ⁵/₄π, ..... en dat zijn de x-coördinaten van A en B

11.	Voor een kans op een perforatie moet er ⁰/₀ staan cosx = 0 en p - sin²x = 0 Als cosx = 0 dan is sinx = ±1 dus staat er in de tweede vergelijking p - 1 = 0 dus p = 1
	Dat geeft:

	Als x nu naar ¹/₂π gaat (dan is cosx = 0) dan gaat f(x) naar ∞ Dat betekent dat er geen perforatie is (maar een verticale asymptoot)

12.	P = (0, ¹/_p) Q = (π, -¹/_p) R = (2π, ¹/_p)

	Voor loodrechte stand moet het inproduct nul zijn: -²/_p • ²/_p + π • π = 0 -⁴/_p_² + π² = 0 ⁴/_p_² = π² p² = ⁴/_π_² p = ²/_π ∨ p = -²/_π

13.	Het is geen driehoek als P op het snijpunt van beide lijnen ligt, want dan liggen de drie punten op één lijn. k gaat door (0, 10) en (40, 0) dus b = 10 en a = -¹/₄ dus k is de lijn y = 10 - ¹/₄x een punt van l is (18 + 5t, 30 - 3t) invullen in k: 30 - 3t = 10 - ¹/₄(18 + 5t) 30 - 3t = 10 - 4,5 - 1,25t 24,5 = 1,75t t = 14 Het snijpunt is P = (88, -12)

14.	A(0, 10) P(18 + 5t, 30 - 3t) B(40, 0)
	de vectoren AP en BP moeten loodrecht op elkaar staan (net zoals in opgave 12!)

	inproduct nul: (18 + 5t)(22 - 5t) + (20 - 3t)(-30 + 3t) = 0 396 - 90t + 110t - 25t² - 600 + 60t + 90t - 9t² = 0 -34t² + 170t - 204 = 0 t = ^{(-170 ± √(1156))}/_-68 = 3 of 2 t = 3 geeft P = (33, 21) en dan is AP = √33² + 11²) = √1210 en BP = √(7² + 21²) = √490 Dan is de driehoek niet gelijkbenig. t = 2 geeft P = (28, 24) en dan is AP = √28² + 14²) = √980 en BP = √(22² + 24²) = √1060 Dan is de driehoek niet gelijkbenig. Er is dus NIET zo'n punt P te vinden.

15.
	m = ¹/₂(a + b) dus A = π(√m)² = πm = ¹/₂π(a + b) h = b - a dus hA = (b - a) • ¹/₂π (a + b) hA = ¹/₂π (ba + b² - a² - ab) hA = ¹/₂π(b² - a²) en dat is inderdaad gelijk aan bovenstaande integraal.

VWO WB, 2019 - I