Nieuwe pagina 1

Minimale lengte.

De functie f wordt gegeven door f (x) = x(x - 3)² + 2. Op de grafiek van f ligt het punt P. Verder is gegeven het punt A = (7, 0) . Zie de figuur. De lengte van lijnstuk AP hangt af van de positie van P. In de figuur is P zó gekozen dat de lengte van lijnstuk AP minimaal is.


4p.	1.	Bereken deze minimale lengte. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Bewegend punt.

De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen:



Op verschillende tijdstippen bevindt P zich op de x-as. Op een van die tijdstippen bevindt P zich links van de y-as. Zie de figuur hiernaast, waarin de positie van P op dit tijdstip is aangegeven.

4p.	2.	Bereken exact de x-coördinaat van P op dit tijdstip.

Op de tijdstippen t = 0 en t = π bevindt P zich in hetzelfde punt. Dit punt is met een stip aangegeven in de figuur hiernaast. Ook zijn de snelheidsvector van P op tijdstip t = 0 en de snelheidsvector van P op tijdstip t = π aangegeven.

6p.	3.	Bereken algebraïsch de hoek in graden tussen deze twee snelheidsvectoren. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Raaklijn in knikpunt.

De functie f wordt gegeven door f (x) = \| x - 2 \| • (¹/₂x + 2) + 1 De grafiek van f heeft een knik in het punt A. Dit punt verdeelt de grafiek in twee delen. De lijn l is de raaklijn in A aan het linkerdeel van de grafiek. Zie de figuur.



5p.	4.	Stel op exacte wijze een vergelijking van lijn l op.

Optimale snijsnelheid.

In de metaalindustrie worden met een boormachine gaten in harde materialen geboord. Zie de foto. De levensduur van een boor is afhankelijk van de (snij)snelheid: dit is de snelheid waarmee de buitenkant van de boor door het metaal snijdt. Bij een hoge snelheid zal de boor snel slijten waardoor de levensduur kort is. Rond 1900 stelde F.W. Taylor het volgende verband vast: V • T^m = C Hierin is:
-	V de (snij)snelheid van de boor (in meter per minuut (m/min)) (V ligt vaak tussen de 5 en 150 m/min),
-	T de levensduur (in minuten),
-	m een constante die afhangt van het materiaal waarvan de boor is gemaakt,
-	C een constante die afhangt van het materiaal waarin wordt geboord.

De waarden van m en C worden experimenteel bepaald. De resultaten van een meting in een bepaalde situatie zijn:
-	Bij een snelheid van 20 m/min is de levensduur 116 minuten.
-	Bij een snelheid van 30 m/min is de levensduur 40 minuten.

4p.	5.	Bereken algebraïsch de waarden van m en C in deze situatie. Geef m in twee decimalen en C als geheel getal.

In een fabriek boort één boormachine 24 uur per dag dezelfde soort gaten. Het is belangrijk de snelheid van de boor goed in te stellen: een hoge snelheid betekent dat het boren van een gat minder tijd kost. Maar daar staat tegenover dat de boor sneller vervangen moet worden. Men wil berekenen bij welke snelheid V het aantal geboorde gaten A per 24 uur maximaal is. Om A uit te kunnen drukken in V doen we de volgende aannames:
a.	Het aantal gaten N dat in één minuut geboord kan worden, is recht evenredig met de snelheid V van de boor. Bij een snelheid van 20 m/min boort deze boor 6 gaten in één minuut.
b.	Met behulp van de formule van Taylor is te berekenen na hoeveel minuten boren de boor vervangen moet worden. Voor het boorproces in deze fabriek geldt C =150 en m = 0,25, dus V • T ^0,25 =150 .
c.	Het vervangen van een boor kost telkens 2 minuten. De boormachine is dus maar een deel van de tijd bezig met boren. Voor dit deel d geldt: d = ^T/_{(T + 2)}
d.	Voor het aantal geboorde gaten A per 24 uur geldt: A = 1440 • N • d

Met de aannames a, b, c en d kun je voor A de volgende formule opstellen:



5p.	6.	Leid deze formule voor A af uit de aannames a, b, c en d.

In de figuur is de grafiek van A weergegeven voor 5 ≤ V ≤ 150 .


Uit de grafiek blijkt dat er een snelheid is waarbij het aantal geboorde gaten per 24 uur maximaal is.

5p.	7.	Bereken algebraïsch deze snelheid in m/min. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Oppervlakte onder een sinusgrafiek.

De functie f met domein [0, π] wordt gegeven door f (x) = 2sin(x). We bekijken het gebied dat begrensd wordt door de grafiek van f, de x-as, de lijn met vergelijking x = p en de lijn met vergelijking x = π - p . Hierin is 0 < p < ¹/₂π In onderstaande figuur is dit gebied groen. De oppervlakte van het gebied is A(p).



Er geldt: A( p) = 4cos(p).

4p.	8.	Bewijs dat deze formule voor A(p) juist is.

De lijn met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in het punt P. De lijn met vergelijking x = π - p snijdt de grafiek van f in het punt Q. De horizontale lijn door P en Q verdeelt het grijze gebied in twee delen. Het deel boven deze lijn is V, het deel onder deze lijn is W. Zie onderstaande figuur.



Er is één waarde van p waarvoor de oppervlakten van V en W aan elkaar gelijk zijn.

4p.	9.	Bereken deze waarde van p. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Horizontale en verticale asymptoot.

De functie f wordt gegeven door:


De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. In de figuur is de grafiek van f met de beide asymptoten weergegeven. De twee asymptoten snijden elkaar in het punt B. Het punt A is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de y-as. Het punt C is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de grafiek van f.



7p.	10.	Bewijs dat B het midden is van lijnstuk AC.

Wind aan zee.

Wind heeft een richting en een snelheid. Daarom kan wind als een vector worden weergegeven. In de figuren bij deze opgave wordt een wind met een snelheid van 1 m/s weergegeven als een vector van 1 cm. Op een warme zomerdag worden aan de kust de windrichting en de windsnelheid door twee processen bepaald:
-	de luchtstroming van een gebied met hoge luchtdruk naar een gebied met lage luchtdruk: dit is wind w_d.
-	de luchtstroming die ontstaat doordat de temperatuur boven zee anders is dan boven land: dit is wind w_z. We gaan er in deze opgave van uit dat deze wind loodrecht op de kustlijn staat en richting het land waait.

In de volgende figuur is een voorbeeldsituatie getekend waarbij wind w_d in westelijke richting waait.



De resulterende wind w_r is de wind zoals die wordt ervaren door iemand die zich aan de kust in punt O bevindt. Er geldt: w_r = w_z + w_d . Hieronder is een deel van een kust getekend. Er geldt:
-	De wind w_z waait met een snelheid van 4 m/s landinwaarts.
-	De wind w_d waait met een snelheid van 6 m/s.
-	De resulterende wind w_r waait evenwijdig met de kustlijn.

Op basis van bovenstaande drie gegevens zijn er twee mogelijkheden voor w_d .



4p.	11.	Teken in de figuur deze twee vectoren w_d. Neem daarbij punt O als beginpunt van w_d. Licht je aanpak toe.

Op een plek langs de Nederlandse kust (in onderstaande figuur het punt O) maakt de kustlijn een hoek van 30° met het noorden. Op zekere dag waait de wind w_d met een snelheid van 5 m/s in zuidwestelijke richting. De wind w_z heeft een snelheid van 3 m/s en staat loodrecht op de kustlijn. In onderstaande figuur zijn de lijn noord-zuid en de lijn oost-west de assen van het assenstelsel. De lijn door O waar vector w_d op ligt, is gestippeld getekend; die maakt dus een hoek van 45° met het noorden.



5p.	12.	Bereken algebraïsch de snelheid in m/s van de resulterende wind. Geef je eindantwoord in één decimaal. Je kunt bij deze vraag de figuur gebruiken

Twee logaritmische functies.

De functies f en g worden gegeven door: f (x) = log(√x) en g(x) = log(x√x) - 1 De lijn met vergelijking y = q snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B. Zie de figuur.



Er zijn waarden van q waarvoor A links van B ligt en de lengte van lijnstuk AB gelijk is aan 3.

4p.	13.	Bereken deze waarden van q. Geef je eindantwoorden in twee decimalen.

Het snijpunt van de twee grafieken ligt bij x = 10. Gegeven is p > 10. De lijn met vergelijking x = p ligt dan rechts van het snijpunt van de twee grafieken. De lijn met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in het punt C, de grafiek van g in het punt D en de x-as in het punt E. Doordat p > 10 , ligt D boven C. Zie onderstaande figuur.



De verhouding tussen de lengte van lijnstuk CD en de lengte van lijnstuk CE hangt af van p. Er geldt:



3p.	14.	Bewijs dat deze formule voor ^CD/_CE juist is.

Als p onbegrensd toeneemt, nadert de verhouding ^CD/_CE tot een grenswaarde.

2p.	15.	Bereken exact deze grenswaarde.

Parabool en cirkel met variabele straal.

Gegeven is de parabool met vergelijking y = x² en een punt M(0, r) op de positieve y-as. We bekijken de cirkel met middelpunt M en straal r. Het punt O(0, 0) ligt op deze cirkel en op de gegeven parabool. Afhankelijk van de waarde van r hebben de cirkel en de parabool één gemeenschappelijk punt of drie gemeenschappelijke punten. In de linksonder figuur is de situatie met r = ⁹/₂₀ getekend, waarbij er één gemeenschappelijk punt is. In de figuur rechtsonder is de situatie met r = 1 getekend, met drie gemeenschappelijke punten.



5p.	16.	Bereken exact voor welke waarden van r de cirkel en de parabool drie gemeenschappelijke punten hebben.

In de rest van deze opgave gaan we uit van de situatie waarin de cirkel en de parabool alleen punt O gemeenschappelijk hebben. De lijn k gaat door M en is evenwijdig aan de x-as. V is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de cirkel, de parabool en lijn k. In onderstaande figuur is dit gebied lichtgrijs gemaakt. W is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de cirkel, de y-as en lijn k. In de figuur is dit gebied donkergrijs gemaakt.



Wanneer de cirkel wordt gewenteld om de y-as, ontstaat een bol met inhoud ⁴/₃πr³ De gebieden V en W worden gewenteld om de y-as. Er is een waarde van r waarvoor de inhoud van de omwentelingslichamen van V en W aan elkaar gelijk zijn.

5p.	17.	Bereken exact deze waarde van r.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Noem de x-coördinaat van punt P gelijk aan p. Voor de lengte geldt (Pythagoras): L = √(7 - p)² + (p(p - 3)² + 2)²) Invoeren in de GR bij Y1 en dan calc - minimum Dat geeft p = 3,25... en L = 4,35

2.	y = 0 sin(2t) - sin(t) = 0 sin(2t) = sin(t) 2t = t + k2π ∨ 2t = π - t + k2π t = 0 + k2π ∨ 3t = π + k2π t = 0 ∨ t = 2π ∨ t = ¹/₃π + k²/₃π t = 0 ∨ t = 2π ∨ t = ¹/₃π ∨ t = π ∨ t = ⁵/₃π Dat geeft respectievelijk x = 1 ∨ x = 1 ∨ x = -¹/₂ - ¹/₂√3 ∨ x = 1 ∨ x = -¹/₂ + ¹/₂√3 Voor punt P is x = -¹/₂ - ¹/₂√3

3.	x = cos(2t) - sin(2t) x '= -2sin(2t) - 2cos(2t) dus x'(0) = -2 en x '(π) = -2 y = sin(2t) - sin(t) y' = 2cos(2t) - cos(t) dus y '(0) = 1 en y '(π) = 3

	α = cos^-1(⁷/_√65) = 29,7°

4.	Splits de formule in twee delen. \|x - 2\| = 0 bij x = 2 x < 2: y = -(x- 2)•(¹/₂x + 2) + 1 = -¹/₂x² - 2x + x + 4 + 1 = -¹/₂x² - x + 5 x > 2 doet er niet toe: het gaat om de raaklijn aan het deel x < 2 y ' = -x - 1 dus x = 2 geeft helling y '= -3 De lijn y = -3x + b moet door het punt (2, 1) gaan 1 = -6 + b geeft b = 7 De raaklijn is de lijn y = -3x + 7

5.	V = 20 en T = 116 geeft 20 • 116^m = C V = 30 en T = 40 geeft 30 • 40^m = C Gelijkstellen: 20 • 116^m = 30 • 40^m (¹¹⁶/₄₀)^m = ³⁰/₂₀ 2,9^m = 1,5 m = ^log1,5/_log2,9 = 0,38 20 • 116^0,38 = C dus C = 122

6.	begin met d: A = 1440 • N • d a zegt dat N = c • V en de gegevens invullen geeft 6 = c • 20 dus c = 0,3 Dat geeft de tussenstand A = 1440 • 0,3 • V • d = 432 • V • d V • T ^0,25 =150 geeft T^0,25 = ¹⁵⁰/_V dus T = (¹⁵⁰/_V)⁴ = 150⁴/V⁴

	Invullen in de A-vergelijking geeft de gezochte vergelijking.

7.
	A'= 0 als de teller nul is noem 432 • ²/₁₅₀⁴ even zolang c, dat schrijft wat makkelijker. Dan staat er cV⁴ + 432 - 4cV⁴ = 0 -3cV⁴ + 432 = 0 3cV⁴ = 432 V⁴ = ⁴³²/_3c V = (⁴³²/_3c)^1/4 = 95,8 m/min.

8.
	cos(π - p) = -cos(p) dat geeft A(p) = - -2cosp + 2cos(p) = 4cos(p)

9.	Als die oppervlakten gelijk zijn, dan is W de helft van A. Dus W = 2cos(p) De breedte van W is π - p - p = π - 2p De hoogte van W is 2sin(p) De oppervlakte van W is dan (π - 2p) • (2sin(p) Dus moet gelden (π - 2p) • (2sin(p) = 2cos(p) Y1 = (π - 2p) • (2sin(p) Y2 = 2cos(p) intersect levert p ≈ 0,41

10.	horizontale asymptoot: als x naar -∞ gaat, dan gaan e^x en e^2xnaar nul, en dan wordt de breuk gelijk aan ^-1000/_-10 = 100 Dus y = 100 is horizontale asymptoot en A = (0, 100) verticale asymptoot de noemer wordt nul als e^x - 10 = 0 dus e^x= 10 en dus x = ln10 De verticale asymptoot is de lijn x = ln10, dus B = (ln10, 100) Dan zou C dus (2ln10, 100) moeten zijn. en dat is (ln100, 100) Klopt dat? Invullen: f(ln100)

	Het klopt, dus B is inderdaad het midden van AC.

11.	w_r = 6 dus ligt het eindpunt van vector w_r op een cirkel met middelpunt O en straal 6. Die cirkel is hiernaast getekend. Omdat w_r evenwijdig aan de kust is, geeft dat de twee groene vectoren hiernaast (van O naar het snijpunt van de cirkel met de kustlijn). w_r is de diagonaal van een parallellogram, waarvan w_z een zijde is. De andere zijde is dus de lijn tussen de eindpunten van w_z en w_r: de blauwe lijn hiernaast. Verplaats die zodat het beginpunt O wordt, en je hebt de twee blauwe vectoren voor w_d.

12.

	De rode hoeken van 15º (45 - 30) zijn overstaande hoeken. w_z staat loodrecht op de kustlijn, dus een hoek van 90º Dat geeft de hoek van 75º in de figuur hierboven. Cosinusregel: w_r² = 5² + 3² - 2 • 5 • 3 • cos(75) = 26,23...w_r ≈ 5,1

13.	Stel x_A = p, dan is x_B = p + 3 Die moeten dezelfde y opleveren Dus log(√p) = log(p + 3)√(p + 3)) - 1 Y1 = log(√X) Y2 = log((X + 3)√(X + 3)) - 1 intersect geeft twee snijpunten: X = 4,8648... en Y = q = 0,34 X = 0,38936... en Y = q = -0,20

14.	DE = log(p√p) - 1 CE = log(√p) CD = DE - CE = log(p√p) - 1 - log(√p) CD = log(p√p) - log10 - log(√p) CD = log(^p√p/₁_√_p) - 1 = log(p) - 1 CE = log(p^0,5) = 0,5logp


15.	Deel teller en noemer door log(p):

	als log(p) naar oneindig gaat, gaat ²/_log(p) naar nul. Dan gaat de breuk naar ²/₁ = 2

16.	De cirkel is x² + (y - r)² = r² De parabool is y = x² Snijden: x² + (x² - r)² = r² x² + x⁴ - 2x²r + r² - r² = 0 x²(1 + x² - 2r) = 0 x = 0 ∨ x² = 2r - 1 Die tweede heeft twee oplossingen als 2r - 1 > 0 Dat is zo als r > ¹/₂.

17.	W wentelen geeft een halve bol, dus als je de parabool wentelt om de y-as moet dat het dubbele opleveren, dus een hele bol.

	Dus ¹/₂πr² = ⁴/₃πr³ ¹/₂ = ⁴/₃r r = π • ¹/₂ = ³/₈

VWO WB, 2019 - II