VWO WB, 2025 - I

 

Vierdegraadsfunctie.
       
De vierdegraadsfunctie f wordt gegeven door  f(x)= x4 - 30x2 .
De grafiek van f heeft twee buigpunten met dezelfde y-coördinaat.

De y-coördinaat van de buigpunten is -125.
       
4p. 1. Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten -125 is.
     

   
De lijn door de buigpunten B en C snijdt de grafiek van f in twee andere punten, A en D. Zie de figuur.
       

       
4p. 2. Bereken exact de lengte van AD.
     

   
       
Druppel.
       
De kromme K wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
       

       
Deze kromme is weergegeven in de figuur.
       

       
In drie punten van deze kromme loopt de raaklijn aan de kromme verticaal.
       
6p. 3. Bereken exact de coördinaten van deze drie punten.
     

   
Voor de punten op kromme K geldt:

x2 = -y4 + 2y3 - 2y + 1
       
4p. 4. Bewijs dit.
     

   
Kromme K sluit een vlakdeel in dat symmetrisch is in de y-as. Door dit vlakdeel te wentelen om de y-as ontstaat een omwentelingslichaam in de vorm van een druppel.
       
4p. 5. Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.
     

   
Cirkels in een cirkel.
       
Gegeven is de cirkel c1 met middelpunt M en straal 3. Verder zijn gegeven de cirkels c2 , c3 en c4 , zó dat geldt:
  - Cirkels c2 , c3 en c4 raken cirkel c1 .  
  - Cirkel c2 heeft middelpunt N en straal 2.  
  - Cirkel c3 heeft middelpunt P en straal r.  
  - Cirkel c4 heeft middelpunt Q en straal r.  
  - Cirkel c3 en c4 raken elkaar in punt S.  
  - Cirkels c3 en c4 raken c2 .  
Zie de figuur.

       
Er geldt:  MS = Ö(9 - 6r)
       
3p. 6. Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur.
     

   
Er geldt verder dat MN = 1.
       
6p. 7. Bereken exact de waarde van r. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur
     

   
Een wortelfunctie en haar inverse.
       
Voor  x ≥ 0 worden de functies f en g gegeven door    f(x) = Ö(½x2  - 1)  en   g(x) = Ö(2x2 + 2)
De functies f en g zijn elkaars inverse.
       
3p. 8. Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn.
     

   
Lijn k met vergelijking y = -x + a  met a ≥ √2, snijdt de grafiek van f in punt P en de grafiek van g in punt Q.
Zie onderstaande figuur.
       

       
De lengte van lijnstuk PQ is afhankelijk van a.
Er geldt:      PQ =  3aÖ2 - 4Ö(a2 - 1)

Er is een waarde van a waarvoor de lengte van lijnstuk PQ minimaal is.
       
5p. 9. Bereken exact deze waarde van a.
     

   
In de  figuur hieronder zijn opnieuw de grafieken van f , g en k weergegeven, nu voor a = 17 .
Lijn k snijdt de grafiek van f in het punt (10, 7).
Vlakdeel V is het gebied dat begrensd wordt door de grafieken van f en g, de x-as, de y-as en lijn k.
In de figuur is V grijs gemaakt.
       

       
6p. 10. Bereken de oppervlakte van V. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

   
Op en neer.
       
Twee leerlingen doen als volgt een onderzoek voor hun profielwerkstuk:
       
Een metalen blokje hangt aan een lange veer die is bevestigd aan een plafond op een hoogte van 350 cm. Het blokje wordt recht naar beneden getrokken en op t = 0 losgelaten. Het blokje beweegt vervolgens op en neer. Zie de figuur.

De afmetingen van het blokje en de wrijvingskracht worden verwaarloosd.

Zowel het blokje als de veer heeft een zwaartepunt. In deze opgave bekijken we eerst de zwaartepunten van het blokje en de veer apart.
De hoogte van het zwaartepunt van het blokje wordt benaderd door het volgende model:

   Zblokje(t ) = 150 - 100cos(4t)

Hierbij is Zblokje de hoogte van het zwaartepunt van het blokje in cm en t de tijd in seconden.

Het zwaartepunt van de veer bevindt zich op elk moment in het midden van de veer.
       
3p. 11. Laat met behulp van het gegeven model van het blokje en de figuur zien dat voor de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm geldt: de amplitude is 50 en de evenwichtsstand is 250.
     

   
Op het moment dat het blokje in het laagste punt wordt losgelaten, is zijn snelheid 0. Daarna neemt de snelheid toe tot de maximale snelheid, om vervolgens weer af te nemen, totdat in het hoogste punt de snelheid weer 0 is. In de volgende figuur is de grafiek van de snelheid v tijdens de opgaande beweging weergegeven.
       
       
Tijdens de opgaande beweging zijn er twee hoogtes waarop de snelheid van het blokje gelijk is aan 255 cm/seconde.
       
3p. 12. Bereken deze twee hoogtes. Geef je eindantwoord in centimeters nauwkeurig.
     

   
De hoogte van het zwaartepunt van de veer wordt benaderd door het volgende model: 

    Zveer(t) =  250 - 50cos(4t)

Hierbij is veer Z de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm en t de tijd in seconden.

Er kan ook gekeken worden naar het zwaartepunt van het blokje en de veer samen. De massa van de veer is 600 gram en de massa van het blokje is 1000 gram. totaal Z is de hoogte van het zwaartepunt van blokje en veer samen.
       
3p. 13. Stel een formule op van  Ztotaal in de vorm Ztotaal(t) = a + bcos(4t).
Licht je werkwijze toe.
     

   
Een raaklijn met twee cirkels.
       
Gegeven zijn de punten A(-6, -6) en B(-18, -2)
Lijn k is de lijn met vectorvoorstelling:

       
Er bestaan twee cirkels c1 en c2 die voldoen aan de volgende eisen:
  - Punt A en punt B liggen op de cirkel.  
  - De cirkel raakt aan lijn k.  
       
Cirkel c1 heeft middelpunt M1 en raakt aan lijn k in het punt R1 .
Cirkel c2 heeft middelpunt M2 en raakt aan lijn k in het punt R2 .
Zie de figuur. In de figuur is c2 vanwege de grootte slechts gedeeltelijk weergegeven.
Middelpunt M2 valt buiten de figuur.
       

       
Voor een willekeurig punt P op de middelloodlijn van AB geldt: P = (p, 3p + 32)
De loodrechte projectie van punt P op lijn k is P' .
Zie de figuur.
De coördinaten van P' zijn (-p - 6, p + 26).
       
4p. 14. Bewijs dat de coördinaten van P' juist zijn.
     

   
M1 en M2 liggen, net als P, op de middelloodlijn van AB.
Als P samenvalt met M1 , dan geldt dat PP' gelijk is aan de straal van de bijbehorende cirkel en dus ook gelijk aan PB en PA. Met behulp hiervan kunnen de coördinaten van M1 en M2 worden berekend.
       
5p. 15. Bereken exact de coördinaten van M1 en M2 .
     

   
Logaritmische functies.
       
De functie f wordt gegeven door f(x) = | ln(x + 1) |  De functie gp wordt gegeven door gp(x) = ln(px) voor 0 ≤ p  ≤ 1.
De grafiek van gp ligt geheel onder de grafiek van f.
       
In de figuur hiernaast is de grafiek van f weergegeven.
Ook is voor een waarde van p de grafiek van gp weergegeven.

De lijn met vergelijking x =  a (met a > 0) snijdt de grafieken van f en gp in de punten A en B.

Voor  p = 1 is er een waarde van a waarvoor geldt:
OB =  OA + 2
     
4p. 16. Bereken deze waarde van a. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
   

   
Voor een bepaalde waarde van p geldt:
als a onbegrensd toeneemt, nadert de afstand AB tot 1.
       
4p. 17. Bereken exact deze waarde van p.
   

   
De functie hq wordt gegeven door

hq(x) = 1/2ln(-x) + q

In de figuur hiernaast is voor een bepaalde waarde van q de grafiek van hq weergegeven.

Voor deze waarde van q raakt de grafiek van hq de grafiek van f links van de y-as.
     
6p. 18. Bereken algebraïsch deze waarde van q. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
   

   

  
UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. f(x) = x4 - 30x2
f '(x) = 4x3  - 60x
f ''(x) = 12x2  - 60
f ''(x) = 0
12x2 = 60
x2 = 5
x = ±Ö5
y = (±Ö5)4 - 30(±Ö5)2 = 25 - 30·5 = -125
   
2. x4 - 30x2 = -125
noem x2 = p
p2 - 30p + 125 = 0
p = (30 ±Ö400)/2
p = 25  ∨  p = 5
x2 = 25  ∨  x2 = 5
x = 5 ∨ x = -5 ∨ x = Ö5  ∨ x = -Ö5
xA = -5  en xD = 5
AD = 10
   
3. Bij een verticale raaklijn is  x ' = 0
x = sint(cost - 1)
gebruik  de productregel:
x ' = cost(cost - 1) + sint ·-sint
x' = cos2t - cost - sin2t
 cos2t - cost - sin2t = 0
cos2t - cost - (1 - cos2t) = 0
cos2t - cost - 1 + cos2t = 0
2cos2t - cost - 1 = 0
cost = (1 ± Ö9)/4
cost = 1  ∨  cost = -1/2
t = 0  ∨  t = 2p  ∨  t = 2/3p  ∨  t = 4/3p
dat geeft de punten  (0, 1) en (0, 1) en (-3/4Ö3, -1/2) en (3/4Ö3, 1/2)
   
4. x2 =??=  -y4 + 2y3 - 2y + 1
(sint(cost - 1))2 = ?? = -(cost)4 + 2(cost)3 - 2cost + 1
sin2t(cos2t - 2cost + 1) = ?? = cos4t + 2cos3t - 2cost + 1
(1 - cos2t)(cos2t - 2cost + 1) = ?? = -cos4t + 2cos3t - 2cost + 1
cos2t - 2cost + 1 - cos4t + 2cos3t - cos2t = ?? = -cos4t + 2cos3t - 2cost + 1
-cos4t + 2cos3t - 2cost + 1 = ?? = -cos4t + 2cos3t - 2cost + 1

q.e.d.
   
5.
  x = 0
sint(cost - 1) = 0
sint = 0  ∨  cost = 1
t = 0  ∨  t = 2p  ∨  t = p
dat geeft  y = -1  en y = 1
de grenzen zijn -1 en 1
 
  = p((1/5 + 1/2 - 1 - 1) - (-1/5 + 1/2 - 1 + 1))
= p(-1,3 - 0,3)
= -1,6p
   
6. Zie de figuur.

MQ = 3 - r

Pythagoras in MQS:

(3 - r)2 - r2 = MS2
MS2 = 9 - 6r
MS =  Ö(9 - 6r)
 
7. Pythagoras in NPS:
NP = 2 + r
NS = 1 + Ö(9 - 6r)
PS = r
(2 + r)2 = (1 + Ö(9 - 6r))2 + r2
4 + 4r + r2 = 1 + 2Ö(9 - 6r) + 9 - 6r + r2
2Ö(9 - 6r) = 6 - 10r
Ö(9 - 6r) = 3 - 5r
9 - 6r = (3 - 5r)2
9 - 6r = 9 - 30r + 25r2
25r2 - 24r = 0
r(25r - 24) = 0
r = 0  ∨  r = 24/25
de juiste waarde is r = 24/25
   
8. y = Ö(½x2  - 1) heeft als inverse  x = Ö(½y2  - 1)
x2 = 1/2y2 - 1
2x2 = y2 - 2
y2 = 2x2 + 2
y = Ö(2x2 + 2)
   
9. PQ =  3aÖ2 - 4Ö(a2 - 1)   is minimaal als de afgeleide nul is.
PQ ' = 3Ö2 - 4 ·0,5(a2 - 1)-0,5 ·2a = 0
3Ö2 = 4(a2 - 1)-0,5 ·a
3Ö2 · Ö(a2 - 1) = 4a
18(a2 - 1) = 16a2
2a2 = 18
a = ±3  maar alleen   a = 3 voldoet.
   
10. De oppervlakte is een vierkant van 10 bij 10 waar drie stukken afgehaald moeten worden.
Zie de figuur.

Stukken I  en II zijn gelijk (symmetrie)

 f(10) = Ö(½·102  - 1)  = 7
dus Q = (10, 7) en de oppervlakte van III
is  0,5 ·3 · 3 = 41/2

 f(x) = Ö(½x2  - 1)  =  geeft
1/2x2 - 1 = 0
x2 = 2
x = Ö2  dus  P = (Ö2, 0)

 
  Y1 = Ö(0,5x2 - 1)
calc - òf(x)dx  geeft met de grenzen Ö2 en 10  een oppervlakte van  33,13....
de oppervlakte wordt dan  100 - 4,5 - 2 · 33,13... = 29,24
   
11. In het laagste punt geldt  Zblokje = 50  en  Zveer=  200
In het hoogste punt geldt Zblokje = 250  en  Zveer = 300
Het gemiddelde van Zveer is de evenwichtsstand en die is (200 + 300)/2 = 250
De amplitude van Zveer is  300 - 250 = 50
   
12. Zblokje(t ) = 150 - 100cos(4t)
De snelheid is de afgeleide ervan en die moet dus gelijk zijn aan 255.
Z' blokje(t ) = 100sin(4t) · 4 = 255
sin(4t) = 255/400 = 0,6375
4t = sin-1(0,6375) = 0,6912...  ∨  4t = p - 0,6921...
t = 0,1728...  ∨  t = 0.6125...
t = 0,1728...   geeft  Zblokje =  72,95... = 73 cm
t = 0,6125...   geeft  Zblokje = 227,04... = 227 cm
   
13. 1600 · Ztotaal = 1000 · Zblokje + 600 · Zveer
1600 · Ztotaal = 1000(150 - 100cos(4t)) + 600(250 - 50cos(4t))
1600 · Ztotaal = 150000 - 100000cos(4t) + 150000 - 30000cos(4t)
1600 · Ztotaal = 300000 - 130000cos(4t)
Ztotaal = 187,5 - 81,25cos(4t)
   
14. lijn k heeft richtingsvector  (1-1) dus normaalvector  (11)
een vergelijking van k is dan  x + y = c
die moet door (0, 20) gaan dus c = 20
de vergelijking van k is  y = 20 - x

de lijn loodrecht op k  heeft rc 1, dus y = x + b
die moet door P(p, 3p + 32) gaan
dus 3p + 32  = p  + b    ofwel  b = 2p + 32
de liju PP' is dus  y = x + 2p + 32

PP' snijden met k
x + 2p + 32 = 20 - x
2x = -12 - 2p
x = -6 - p

dan is y = 20 - x =  20 - (-6 - p) = 26 + p
   
15. P = (p, 3p + 32)
P' = (-p - 6, p + 26).
B =  (-18, -2)

PP'2 = (2p + 6)2 + (2p + 6)2 = 4p2 + 24p + 36 + 4p2 + 24p + 36 = 8p2 + 48p + 72
PB2 = (p + 18)2  + (3p + 34)2 = p2 + 36p + 324 + 9p2 + 204p + 1156 = 10p2 + 240p + 1480

die moeten gelijk zijn:
8p2 + 48p + 72 = 10p2 + 240p + 1480
0 = 2p2 + 192p + 1408
0 = p2 + 96p + 704
0 = (p + 8)(p + 88)    (het kan ook met de ABC-formule)
p = -8  ∨  p = -88
de coördinaten zijn  (-8, 8)  en  (-88, -232)
   
16. p = 1  geeft  B = (a, ln(a))
A =  (a,  | ln(a + 1) | )  = (a,  ln(a + 1))

OB2 = a2 + ln2(a)
OA2 = a2 + ln2(a + 1)

OB = OA + 2  geeft dan   Ö( a2 + ln2(a)) = Ö( a2 + ln2(a + 1)) + 2

Y1 =   Ö(X2 + ln2(X))
Y2 =   Ö(X2 + ln2(X + 1)) + 2)
intersect geeft  X = a =  0,12
   
17. yA = ln(a + 1)
yB = ln(pa)
AB = ln(a + 1) - ln(pa)  = ln((a + 1)/(pa))
als a naar oneindig gaat, dan gaat dit naar  ln(1/p)
ln(1/p) = 1
1/p = e
p = 1/e
   
18. hq(x) = 1/2ln(-x) + q
f(x) = | ln(x + 1) |  maar links van de x-as geldt   f(x) = -ln(x + 1)  want  ln(x + 1) is negatief

als ze elkaar raken dan moeten twee dingen gelden:  h = f  en  h '= f '
1/2ln(-x) + q =  -ln(x + 1)
1/2 · 1/-x · -1 = -1/(x + 1)

begin met de onderste:   -1/(x + 1) =  1/2x
x + 1 = -2x
dat geeft  x = -1/3

invullen in de eerste vergelijking:   1/2ln(-1/3) + q = -ln(2/3)
q = -ln(2/3) - 1/2ln(-1/3)  en dat is ongeveer 0,95