VWO WB, 2025 - II

 

Beweging over twee lijnen.
       
Voor  t ≥ 0 beweegt het punt P volgens de bewegingsvergelijkingen:
       

       
Voor t ≥ 0   beweegt tegelijkertijd het punt Q volgens de bewegingsvergelijkingen:
       

       
Hierbij is t de tijd.
Zowel de baan van P als de baan van Q is een deel van een lijn. In onderstaande figuur zijn deze banen weergegeven.
       

       
In deze figuur is de positie van P en van Q voor een waarde van t weergegeven. Er geldt:
  - P ligt onder de x-as en Q ligt boven de x-as én
  - P en Q hebben gelijke afstand tot de x-as.
       
3p. 1. Bereken exact de y-coördinaat van P in dit geval.
     

   
Punt Q beweegt met constante snelheid over zijn baan. De snelheid v(t) waarmee P over zijn baan beweegt, is niet constant. Er geldt: op t = Ö5 is de snelheid van P acht keer zo groot als de snelheid van Q.
       
4p. 2. Bewijs dat op t = Ö5 de snelheid van P inderdaad acht keer zo groot is als de snelheid van Q.
     

   
In onderstaande figuur zijn opnieuw de banen van P en Q weergegeven. Ook is voor t = 1/2 en voor t = 3/2 het lijnstuk PQ weergegeven. De helling van lijnstuk PQ is afhankelijk van t.
       

       
Op een tijdstip t is de helling van lijnstuk PQ gelijk aan 4/3 .
       
4p. 3. Bereken exact de coördinaten van P in dit geval.
     

   
Opbrengst van zonnepanelen.
       
Op het platte dak van de uitbouw van foto een huis aan de Parallelweg 10A worden tien even grote zonnepanelen geïnstalleerd. De panelen worden op een stalen frame gemonteerd dat gekanteld is in de richting van het zuiden. Op het horizontale platte dak worden ze in twee rijen achter elkaar geplaatst. Zie de foto.

Voorafgaand aan de installatie heeft de leverancier een tekening gemaakt van een zijaanzicht van de opstelling van de panelen. Zie onderstaande figuur. In die situatie verwacht de leverancier maximale energieopbrengst.
       

       
van de te gebruiken panelen. In de tekening geldt:
  - de punten P, Q, R en S zijn de hoekpunten van twee panelen; punt P ligt recht boven de linker dakrand en punt S recht boven de rechter dakrand;
  - de panelen maken een hoek van 30° met het dakoppervlak;
  - de lengte van de dakrand is 172 cm;
  - de lengte van PQ en van RS is b cm;
  - b is zo gekozen dat een zonnestraal door Q, die een hoek van 28° met de dakrand maakt, in R terecht komt; in dat geval ligt de achterste rij panelen niet in de schaduw van de voorste rij panelen.
       
De rand en de dikte van de zonnepanelen worden in deze opgave buiten beschouwing gelaten.
       
5p. 4. Bereken algebraïsch de waarde van b die de leverancier heeft berekend. Geef je eindantwoord in gehele centimeters. Je mag hierbij gebruikmaken van de figuur.
     

   
In de volgende  figuur is het door de zonnepanelen geleverde vermogen PA in kW op een zonnige 31 augustus uitgezet tegen de tijd t in uren. Uitgaande van de meetwaarden tussen zonsopkomst en zonsondergang is de blauwe vloeiende kromme getekend.
       

       
De formule bij deze kromme is van de vorm:

       PA = pcos(qt) + sin(2qt)    met  0 < q < 0,4
       
Hierbij is t de tijd in uren met  t = 7 om  7:00 uur
De kromme gaat onder andere door de punten (9; 1,0) en (18 ; 2,9).
       
4p. 5. Bereken met behulp van deze punten de waarde van p en van q. Geef je eindantwoorden in drie decimalen.
     

   
De buren op huisnummer 10B hebben ook zonnepanelen. De energieopbrengst van deze panelen wordt direct gebruikt of direct teruggeleverd aan de energiemaatschappij. Eventueel energieverlies wordt in deze opgave buiten beschouwing gelaten.

De energieopbrengst wordt onder andere gebruikt voor het opladen van een elektrische auto. Alle elektriciteit die tijdens het opladen wordt opgewekt, wordt direct in de accu van de auto opgeslagen. Zo wordt de accu met enkel zonne-energie opgeladen.

Op 31 augustus wordt het geleverde vermogen PB zonsopkomst en zonsondergang van de zonnepanelen op dit adres in een model benaderd met de formule:

     PB = -4,8cos(0,23t)  

Hierbij is t de tijd in uren met t = 7  om 7:00 uur
De grafiek van PB is in onderstaande figuur weergegeven. 
       

       
De energieopbrengst E in kWh tussen twee tijdstippen  t1 en t2 berekenen met de integraal:
       

       
Om 11.00 uur wordt de elektrische auto aan de laadpaal gekoppeld. De accu, met opslagcapaciteit 72 kWh, is op dat tijdstip voor de helft opgeladen. Met behulp van de integraal

kan worden berekend hoe lang het duurt tot de accu voor driekwart is opgeladen met de elektriciteit die door de panelen is opgewekt.
       
5p. 6. Bereken met behulp van primitiveren hoeveel minuten dat duurt. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   
Vierkant en driehoek.
       
De functie f wordt gegeven door  f(x) = ln(3x)
In onderstaande figuur zijn de grafiek van f en het vierkant PQRS weergegeven.
       

       
Voor vierkant PQRS geldt:
  - elke zijde is evenwijdig met de x-as of de y-as;  
  - de hoekpunten P en R liggen op de grafiek van f ;  
  - de x-coördinaat van R is drie keer zo groot als de x-coördinaat p van P.  
       
4p. 7. Bereken algebraïsch de coördinaten van P. Geef je eindantwoorden in twee decimalen.
     

   
De lijn met vergelijking y = a snijdt de y-as in punt A en de grafiek van f in punt B.
De raaklijn in het punt B aan de grafiek van f snijdt de y-as in punt C. Zie onderstaande figuur.
       

       
Er geldt: voor elke waarde van a heeft lijnstuk AC lengte 1.
       
4p. 8. Bewijs dit.
     

   
De lijn door A loodrecht op de raaklijn BC snijdt deze raaklijn in punt D. In de volgende figuur is voor een waarde van a de rechthoekige driehoek ACD geel weergegeven.
       

       
Als a varieert, varieert de lengte van zijde CD. Als L de lengte van zijde CD is, dan geldt voor de oppervlakte van de driehoek:

       
3p. 9. Bewijs dit.
     

   
5p. 10. Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek ACD.
     

   
Twee lijnstukken met eindpunt P.
       
Gegeven zijn de punten A(5,4) en B(8,5). Verder is een punt  P(p , q ) gegeven dat niet samenvalt met A of B. In de figuren hieronder zijn voor twee posities van P de lijnstukken AP en BP getekend.
       

       
Punt P kan zo worden gekozen, dat P op de x-as ligt en AP en BP even lang zijn.
       
3p. 11. Bereken exact de x-coördinaat van P waarbij dit het geval is.
     

   
Vector AP wordt 90° tegen de klok in om A gedraaid. Het resultaat is vector AC
Vector BP wordt 90° met de klok mee om B gedraaid. Het resultaat is vector BD
Punt M is het midden van lijnstuk CD.

In onderstaande figuren zijn voor twee posities van P de vectoren AP, AC, BP en BD  weergegeven.
Ook zijn het lijnstuk CD en punt M weergegeven.
       

       
De coördinaten van M zijn onafhankelijk van de positie van punt P.
       
6p. 12. Bewijs dit.
     

   
 
Wortel en sinus.
       
De functies f en g worden gegeven door  f(x) = Öx  en  g(x) = Ö(x + sin(x))
In onderstaande figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.
       

       
De oorsprong O is een gemeenschappelijk punt van de twee grafieken. Verder snijden de grafieken elkaar achtereenvolgens in de punten S1, S2, S3. ...
       
In de figuur hiernaast is een deel van de bovenstaande figuur rondom snijpunt S1 vergroot weergegeven. In deze figuur zijn de raaklijnen in S2 aan de grafiek van f en de grafiek van g gestippeld weergegeven.

De helling van de grafiek van f in S2  is gelijk aan  1/(2Ö(2p))
De helling van de grafiek van g in S2 is is gelijk aan 1/Ö(2p), dus twee keer zo groot.

Als n een even getal is, geldt: In de snijpunten Sn is de helling van de grafiek van g twee keer zo groot als de helling van de grafiek van f.
       
7p. 13. Bewijs deze eigenschap.
     

   
 
Drie keer over de lijn.
       
Voor  x ≥ 0 en a > 11/2  wordt de functie fa  gegeven door:
       
      fa(x) = | a - x2 | · x + 3x
       
De grafiek van fa heeft een knik met x-coördinaat Öa.
Deze knik verdeelt de grafiek van fa in twee delen. Links van deze knik bevindt zich een top van de grafiek van fa .
De y-coördinaat van deze top is te schrijven als:
       
     ytop = 2 (1/3a + 1)Ö(1/3a + 1)
       
5p. 14. Bewijs dit.
     

   
In de figuur zijn de grafieken van f8 , f20 en f32 en de lijn l met vergelijking y = 16 weergegeven.
       

       
Als a toeneemt, neemt de y-coördinaat   2 (1/3a + 1)Ö(1/3a + 1) van de top toe.
Ook de y-coördinaat  fa(Öa) van de knik neemt dan toe.
Het aantal gemeenschappelijke punten van de grafiek van fa en lijn l hangt af van deze y-coördinaten. Zo snijden de grafiek van f8 en lijn l elkaar in één punt. De grafiek van f20 snijdt lijn l in drie punten en de grafiek van f32 snijdt lijn l in één punt.
De waarden van a waarvoor de grafiek van fa en lijn l drie snijpunten hebben, vormen een interval.
       
5p. 15. Bereken exact dit interval.
     

   
Vlakdeel en rakende cirkel.
       
De functie f wordt gegeven door:

       
In onderstaande figuur is de grafiek van f weergegeven.
       

       
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt D.
De lijn k met vergelijking y = 11/2x + 4 raakt de grafiek van f in D.
D is het enige punt van de grafiek van f dat op k ligt.
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt E.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f , lijn k en de verticale lijn door E.
V wordt om de x-as gewenteld.
       
3p. 16. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als V om de x-as wordt gewenteld. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   
De grafiek van f  heeft twee scheve asymptoten met richtingscoëfficiënt -1. In de volgende figuur is de grafiek van f met deze asymptoten weergegeven.
       

       
Vergelijkingen van de scheve asymptoten zijn  y =  -x - 1 en y = -x + 9.
       
3p. 17. Bewijs dit.  
     

   
In onderstaande figuur zijn de twee scheve asymptoten van de grafiek van f weergegeven. Ook is de cirkel met middelpunt M onder de x-as weergegeven. Deze cirkel raakt aan beide scheve asymptoten en aan de x-as.
       

       
4p. 18. Bereken exact de coördinaten van M.  
     

   

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Als de afstand tot de x-as gelijk is, dan zijn de y-coördinaten van P en Q gelijk.
4 - 4t2 = 4t
t2 + t - 1 = 0
t = 1/2 ± 1/2Ö5
yP = yQ = 4t = 2 ± 2Ö5
omdat P onder de x-as ligt is  yP = 2 - 2Ö5
   
2. v = Ö(x ' 2 + y' 2)
vP = Ö((16t)2 + (-8t)2) = Ö(320t2) = tÖ320  en op t = Ö5 is dat  Ö1600 = 40
vQ = Ö(32 + 42) = 5
dus is inderdaad vP acht keer zo groot als vQ.
   
3. Helling PQ =  Dy/Dy =  (yQ - yP)/(xQ - xP)
(4t - 4 + 4t² )/(1 + 3t - 8t²) = 4/3
3(4t - 4 + 4t2) = 4(1 + 3t - 8t2)
12t - 12 + 12t2 = 4 + 12t - 32t2
44t2 = 16
t2 = 16/44
xP = 8t2 = 128/44 
yP = 4 - 4t2 = 4 - 64/44 = 112/44 
   
4. sinusregel in driehoek PQR:
b/sin28 = PR/sin122
PR =  b  · sin122/sin28
PR = b · 1,806...
noem de projectie van S op de dakrand S'
sos-cas-toa geeft dan  RS' = b · cos30 = 0,866b
de hele dakrand:   PR + RS '= 172
1,806b + 0,866b = 172
dat geeft  b = 64 cm
   
5. PA = pcos(qt) + sin(2qt)
(9; 1,0) en (18 ; 2,9).  invullen:

1,.0 = pcos(9q) + sin(18q)
2,9 = pcos(18q) + sin(36q)

dat is een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

substitutie:
bovenste geeft  p = (1,0 - sin(18q)/cos(9q)   
invullen in de onderste:   2,9 =  (1,0 - sin(18q)/cos(9q) · cos(18q)  + sin(36q)

invoeren:
Y1 = 2,9
Y2 = (1,0 - sin(18q)/cos(9q) · cos(18q)  + sin(36q)
intersect geeft q = 0,231
dan is p =   (1,0 - sin(18q)/cos(9q)  = -3,804
   
6.
  een primitieve is  -4,8sin(0,23t) · 1/0,23 = -20,8696sin(0,23t)
grenzen invullen:
-20,8696sin(0,23t) - -20,8696sin(0,23 · 11) = 18
-20,8696sin(0,23t) + 11,8906... = 18
-20,8696sin(0,23t) = 6,019...
sin(0,23t) = -0,288...
0,23t = -0,292... ∨ 0,23t = 3,43... 
t = -1,26...  ∨  t = 14,93...
t = 14,93... geeft een oplaadtijd van  236 minuten
   
7. stel xP = p    dan is  xR = 3p
dat geeft  yP = ln(3p)  en  yR = ln(9p)
xR - xP = yR - yP  want het is een vierkant.
2p = ln(9r) - ln(3p)
2p = ln(9p/3p)
2p = ln3
p = 1/2ln3 = 0,55
dan is dus xP = 0,55 en yP = 0,50
   
8. y = a  geeft  ln(3x) = a
3x = ea
x = 1/3ea

y ' = 1/3x · 3 = 1/x
y ' (1/3ea) =  3/ea  
de raaklijn is de lijn  y = 3/ea · x + b  en die moet door  (1/3ea, a) gaan
Dat geeft   a = 3/ea ·  1/3ea + b 
a =  1 + b
b = a - 1
Dus is  AC gelijk aan  yA - yC =  1
   
9. Pythagoras in driehoek ACD:
L2 +  AD2  = 12 
dus  AD2 = 1 - L2
AD =  Ö(1 - L2)
de oppervlakte is  0,5 · CD ·  AD = 0,5 · L  · Ö(1 - L2)
Opp = 0,5ÖL2  · Ö(1 - L2)
Opp = 0,5Ö(L2  · (1 - L2))
Opp = 0,5Ö(L2  - L4)
   
10.

De oppervlakte is maximaal als de afgeleide ervan nul is.
Opp = 0,5(L2 - L4)0,5
afgeleide:  0,5(L2 - L4)-0,5 · (2L - 4L3) = 0
dta is nul als het tweede deel tussen haakjes nul is:
2L- 4L3 = 0
2L(1 - 2L2) = 0
L =  0  (valt af)  of  1 - 2L2 = 0
L2 = 1/2
dan is de oppervlakte    0,5(L2 - L4)0,5 = 0,5(0,52 - 0,54) = 0,5Ö(0,l25 - 0,0625) =  0,25
   
11. Stel P = (p, 0)
A = (5, 4) dus  AP2 = (5 - p)2 + 42
B = (8, 5) dus BP2 = (9 - p)2 + 52 
Die moeten gelijk zijn: 
(5 - p)2 + 42 =  (8 - p)2 + 52 
25 - 10p + p2 + 16 = 64 - 16p + p2 + 25
6p = 48
p =  8
   
12.
   
13. Öx  = Ö(x + sin(x))
x = x + sin(x)
dat geeft  sin(x) = 0
x = kp

f(x) = 1/2Öx
f '(kp) = 1/2Ö(kp)

g'(x) = 1/2Ö(x + sin(x)) ·(1  + cos(x))
g'(kp) =  1/2Ö(kp + sin(kp)) ·(1  + cos(kp))
maar  voor k = 2, 4, 6...  is  cos(kp) = 1 en sin(kp) = 0 
dus dat geeft  g'(kp) =  1/2Ö(kp) ·(1  + 1) = 2/2Ö(kp)  
Dat is inderdaad het dubbele van  f '(kp)
   
14.  fa(x) = | a - x2 | · x + 3x
Links van de knik is   0 <  x <Öa  dus is  a - x2  groter dan nul, en kunnen de modulusstrepen weggelaten worden:
fa(x) = (a - x2 ) · x + 3x
fa(x) = ax - x3  + 3x
f a'(x) = a - 3x2 + 3 = 0
3x2 = a + 3
x2 = 1/3(a + 3) = 1/3a + 1
x = ±Ö(1/3a + 3)  maar omdat     0 <  x <Öa   moet gelden  x =  Ö(1/3a + 1)
invullen om ytop te berekenen:
y =  ax - x3  + 3x
y =  a(Ö(1/3a + 1) ) - (Ö(1/3a + 1) )3 + 3(Ö(1/3a + 1) )
y =  a(Ö(1/3a + 1) ) -  (1/3a + 1) Ö(1/3a + 1) + 3(Ö(1/3a + 1) )
y =  Ö(1/3a + 1)  {a -  (1/3a + 1)  + 3}
y =   Ö(1/3a + 1)  {2/3a + 2}
y =   2Ö(1/3a + 1)  {1/3a + 1}
   
15. Er zijn drie snijpunten als  ytop > 16  en tegelijkertijd  yknik < 16
2 (1/3a + 1)Ö(1/3a + 1) = 16
2 (1/3a + 1)1,5 = 16
 (1/3a + 1)1,5 = 8
1/3a + 1 = 4
a = 9
ytop > 16 voor  a > 9

yknik = fa(Öa) = | a - x2 | · x + 3x
yknik = 3Öa
yknik = 16
3Öa = 16
Öa = 16/3
a = 256/9
yknik < 16 voor  a < 256/9

het interval is dus  〈9,  256/9〉 
   
16. Het mag met de GR.

Eerst punt D
Y1 = f
calc - zero geeft  x = 8,99....

Dan de omwentelingsinhoud:
Y1 = p(k2 -  f 2)
calc - òf(x)dx
ondergrens  x = 0,  bovengrens x = 8,99....
Dat geeft inhoud 3212
   
17.
als x naar oneindig gaat, dan gaat  ex naar oneindig
dan gaat de breuk naar 10
dan gaat f naar  y = 10 - x - 1 = 9 - x

als x naar min-oneindig gaat dan gaat  ex  naar nul.
dan gaat de breuk naar 0
dan gaat f naar  y = 0 - x - 1 = -x - 1
   
18. Stel het middelpunt is  (x, y)
Dat ligt op de lijn  y = -x + 4  (midden tussen de andere twee in)
Dus de coördinaten van M zijn (x, -x + 4)

dan is de straal van de cirkel -y = x - 4
dan is de afstand van (x, y) tot de lijn y = -x + 9  gelijk aan x - 4
Dat is de afstand van M tot de lijn  y + x - 9 = 0
gebruik de afstandsformule:
d(M, l) = |-x + 4 + x - 9|/(Ö(12 + 12) = x - 4
x - 4 = 5/Ö2
x = 4 + 5/Ö2 
y = -x + 4 = -5/Ö2