VWO WC, 2014 - II

 

Wikipedia.
       
Wikipedia is een internationale internet-encyclopedie.
In maart 2012 bevatte de Nederlandstalige editie ruim één miljoen artikelen. In de tabel staan gegevens van 2012.
       
datum 22 maart 29 maart 5 april 12 april 19 april
aantal 1033414 1034660 1035882 1037184 1038340
       
Zoals in bovenstaande tabel te zien is, groeit het aantal artikelen flink.
Sommigen beweren dat hier sprake is van lineaire groei, anderen houden het op exponentiële groei.
       
4p. 1. Onderzoek elk van deze beweringen.
     

 

Over een langere periode bleek de groei sterker te worden: in de 23 weken van 19 april tot 27 september 2012 groeide de Nederlandstalige Wikipedia uit tot 1120987 artikelen.
Neem aan dat het aantal artikelen vanaf 19 april exponentieel groeide en in de toekomst met dezelfde factor blijft groeien.
       
4p. 2. Bereken het aantal artikelen op 19 april 2014.
     

 

De relatief grote omvang van de Nederlandstalige Wikipedia is voor een deel te verklaren door het grote aantal door computers gegenereerde artikelen. Het zijn wel echte artikelen maar ze zijn erg kort en geven informatie die niet bijzonder interessant is. Een voorbeeld van zo'n artikel:
       
Miedzianów
Miedzianów is een dorp in de Poolse woiwodschap Groot-Polen. De
plaats maakt deel uit van de gemeente Nowe Skalmierzyce en telt 200
inwoners.
       
Het valt niet op dat er zo veel van deze artikelen zijn. Alleen door in het beginscherm van Wikipedia een willekeurige pagina te vragen, komen deze 'computerartikelen' tevoorschijn.
Er wordt beweerd dat meer dan een derde deel van alle artikelen van de Nederlandstalige Wikipedia uit dergelijke computerartikelen bestaat.

We gaan ervan uit dat in september 2012 inderdaad een derde deel uit computerartikelen bestond. Dus er waren toen ongeveer 747200 gewone artikelen en 373600 computerartikelen. Neem aan dat deze aantallen beide exponentieel groeien. Het aantal gewone artikelen groeide met 3% per half jaar en het aantal computerartikelen met 8% per half jaar.

Dan komt er een moment dat er evenveel computerartikelen zijn als gewone artikelen.
       
4p. 3. Bereken na hoeveel tijd dit het geval zal zijn. Geef je antwoord in maanden nauwkeurig.
     

 

Bij een test in september 2012 werden 50 willekeurige artikelen opgevraagd. Veronderstel dat inderdaad een derde deel van alle artikelen door een computer gegenereerd is.
       
4p. 4. Bereken de kans dat in een steekproef van 50 artikelen er 24 of meer door een computer gegenereerd zijn.
     

 

 

Het getal van Dunbar.
       
Een groep mensen of dieren die op de een of andere manier sociaal contact met elkaar onderhouden, noemt men een sociaal netwerk. Tegenwoordig vind je sociale netwerken bijvoorbeeld op Facebook en ook in vriendengroepen, families en verenigingen.

Een vriendengroep van 17 personen heeft de gewoonte om elkaar met Nieuwjaar wenskaarten te sturen. Ieder lid van de groep stuurt daarbij een wenskaart aan alle medeleden.
       
3p. 5. Bereken hoeveel wenskaarten de leden van deze vriendengroep jaarlijks in totaal aan elkaar sturen met Nieuwjaar.
     

 

De onderzoeker Robin Dunbar bestudeerde de relatie tussen de gemiddelde netwerkgrootte (N) van diverse soorten primaten (apen en mensen) en hun zogeheten neocortexratio (R), een maat voor de omvang van de hersenschors. Zie de figuur.
       

       
In de figuur kun je aflezen dat de gemiddelde netwerkgrootte van mensen ongeveer 150 is. Daarom wordt 150 wel 'het getal van Dunbar' genoemd.
De zwarte stippen horen bij verschillende soorten apen. In de figuur is ook de best passende lijn getekend bij deze gegevens.
Beide assen hebben een logaritmische schaalverdeling.

Voor de mens geeft deze lijn de gemiddelde netwerkgrootte vrij goed aan, maar er zijn apensoorten waarbij er een fors verschil is tussen de werkelijke waarde en de waarde volgens de lijn.

In de figuur zijn 3 apensoorten met de letters A, B en C aangegeven.
       
3p. 6. Onderzoek bij welke van deze soorten het verschil tussen de werkelijke waarde en de waarde volgens de lijn het grootst is.
     

 

In de figuur is bijvoorbeeld voor R = 4 de waarde van N niet precies af te lezen.
Een formule voor de getekende lijn is log(N) = 0,1 + 3,4 • log(R).
       
3p. 7. Bereken met behulp van de formule de waarde van N als R = 4.
     

 

De neocortex is een deel van het brein. De neocortexratio is het volume van de neocortex gedeeld door het volume van de rest van het brein. Bij mensen is het volume van de neocortex gemiddeld 1006,5 cm3 en het totale breinvolume gemiddeld 1251,8 cm3.
       
4p. 8. Toon met behulp van de formule aan dat je met deze gegevens kunt concluderen dat de gemiddelde netwerkgrootte bij mensen inderdaad ongeveer gelijk is aan 150.
     

 

De formule voor de getekende lijn  log(N) = 0,1 + 3,4 • log(R) kun je herschrijven tot de vorm N = c • R3,4.
       
4p. 9. Bepaal c in één decimaal nauwkeurig.  
     

 

Wind mee, wind tegen.
       
Op de site buienradar.nl kun je figuur verschillende weerkaarten bekijken.
De kaarten bevatten actuele weergegevens zoals temperatuur, windkracht en windrichting. In de figuur hiernaast zie je de windkaart van Nederland op maandag 11 maart 2013 om 20:40 uur. Deze kaart is gebaseerd op gegevens van KNMI-meetstations die over Nederland zijn
verspreid. Deze meetstations geven elke 10 minuten een nieuwe waarneming af.

In Nederland zijn er 53 officiële KNMI-meetstations.
     
2p. 10. Bereken hoeveel waarnemingen er elke dag in totaal door de officiële meetstations aan het KNMI worden doorgegeven.
   

 

Als je in de ochtend van huis naar school fietst en in de middag
terugfietst, kan de wind invloed hebben op je totale reistijd. Hoe dat zit,
onderzoeken we in de rest van deze opgave.
       
Sylvia woont 10 km van school. Zij fietst elke schooldag. We gaan ervan uit dat als er geen wind is, haar snelheid constant 20  km/u is. Haar totale reistijd is op zo'n schooldag dus 1 uur.
Meestal waait het echter. We veronderstellen dat Sylvia altijd wind mee heeft op de heenweg en wind tegen op de terugweg en dat de wind de hele dag constant is. Dan is Sylvia's snelheid op de heenweg 20 + w  km/u en op de terugweg 20 - w  km/u. Hierbij geldt 0 ≤ w < 20.

Op een dag geldt w = 5. Sylvia's totale reistijd is die dag langer dan 1 uur.
       
4p. 11. Bereken hoeveel minuten haar totale reistijd die dag langer is dan 1 uur.
     

 

Sylvia's totale reistijd T in uren wordt gegeven door de formule:
   
       
Op een dag is Sylvia's totale reistijd 1 uur en 20 minuten.
       
3p. 12. Bereken de waarde van w op die dag.  
     

 

Met de formule voor Sylvia's totale reistijd kun je zonder te rekenen beredeneren dat haar totale reistijd op een dag met wind groter is dan op een dag zonder wind.
       
3p. 13. Geef zo'n redenering.  
     

 

Als Sylvia onderweg pech heeft en de reparatie 1 uur kost, wordt haar totale reistijd 1 uur langer.
       
3p. 14. Herleid deze formule tot één breuk.
     

 

Vreemde dobbelsteen
       
De investeerder Warren Buffett houdt van dobbelspelletjes met ongebruikelijke dobbelstenen. Hij daagt Bill Gates, de oprichter van Microsoft, uit voor een spelletje waarbij ze allebei een dobbelsteen mogen werpen. Degene met het hoogste ogenaantal wint.
Ze gebruiken drie dobbelstenen: een blauwe, een groene en een rode. De ogenaantallen staan in de volgende tabel.
       
blauw  3 3 3 3 3 6
groen  2 2 2 5 5 5
rood  1 4 4 4 4 4
       
Warren laat Bill als eerste een dobbelsteen kiezen, en nadat Bill de blauwe pakt, kiest Warren de rode dobbelsteen.
       
3p. 15. Bereken de kans dat Warren wint.  
     

 

Even later spelen Warren en Bill weer tegen elkaar, maar de spelregels zijn veranderd. Er zijn nu twee blauwe, twee groene en twee rode dobbelstenen. Warren kiest twee dobbelstenen van gelijke kleur, waarna Bill twee andere dobbelstenen van gelijke kleur moet kiezen. De winnaar is degene met de hoogste som van zijn ogenaantallen.

Warren begint. Hij kiest de twee rode dobbelstenen. De kansverdeling voor de som van zijn ogenaantallen staat in de volgende tabel.
       
som 2 5 8
kans 1/36 10/36 25/36
       
Bill kiest de twee groene dobbelstenen.
       
6p. 16. Bereken de kans dat Bill wint.  
     

 

De dobbelstenen van Sicherman.
Voor twee gewone dobbelstenen kennen we het volgende schema voor de som van de ogen bij één keer werpen met beide dobbelstenen:
       
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
       
Er bestaan twee dobbelstenen waar niet de getallen 1 tot en met 6 op staan, maar die precies even vaak dezelfde uitkomsten voor de som van de ogen geven als twee gewone dobbelstenen met 1 tot en met 6 erop.
Deze dobbelstenen heten de dobbelstenen van Sicherman.
Bij gewone dobbelstenen kun je bijvoorbeeld op 4 manieren de som 5 werpen. Met de twee dobbelstenen van Sicherman kun je dus ook op vier manieren de som 5 werpen. Hetzelfde geldt voor alle andere mogelijke sommen.

Eén van de twee dobbelstenen heeft één 1, tweemaal een 2, tweemaal een 3 en één 4.
       
6p. 17. Onderzoek welke getallen op de andere dobbelsteen staan. Je kunt hierbij gebruikmaken van het volgende schema.
   
+ ... ... ... ... ... ...
1            
2            
2            
3            
3            
4            
     

 

Printerinkt.
       
Sinds 2005 publiceren printerfabrikanten gegevens over de aantallen pagina's die met verschillende printers afgedrukt kunnen worden. De gegevens over de opbrengst van de cartridges, de inktpatronen, zijn gebaseerd op de industriestandaard ISO/IEC 24711.
Dat is erg nuttig, want printers worden elk jaar goedkoper, maar de cartridges blijven erg duur. De kosten van het printen worden voornamelijk bepaald door het aantal pagina's dat je met de cartridges kunt printen.

Van een bepaald type cartridge is de gemiddelde opbrengst 1703 pagina's met een standaardafwijking van 52 pagina's.
We gaan ervan uit dat de paginaopbrengst bij benadering normaal verdeeld is.
       
3p. 18. Bereken de kans dat een cartridge van dit type minstens 1650 pagina's kan printen.
     

 

De door de fabrikant vermelde opbrengst is een stuk lager.
Dat komt doordat de fabrikant moet aangeven hoeveel pagina's er in ten minste 97% van de gevallen geprint kunnen worden.
       
3p. 19. Bereken welke opbrengst de fabrikant vermeld zal hebben voor dit type cartridge. Rond je antwoord af op tientallen pagina's.
     

 

De zwarte cartridges gaan langer mee dan de kleurencartridges. De paginaopbrengst van deze zwarte cartridges is ook normaal verdeeld, met een gemiddelde van 6828 pagina's en een standaardafwijking van 23 pagina's.
       
5p. 20. Bereken in hoeveel procent van de gevallen je met vier willekeurig gekozen zwarte cartridges in totaal meer dan 27250 pagina's kunt printen.
     

 

De testomstandigheden en de berekening van het ISO-paginarendement (ISO-pr) zijn zorgvuldig omschreven. Zo worden er negen gelijksoortige cartridges gebruikt in drie verschillende printers. Van deze negen wordt het aantal geprinte pagina’s vastgesteld: het paginarendement (pr).
Vervolgens worden het gemiddelde en de standaardafwijking van deze negen opbrengsten uitgerekend. Het ISO-pr wordt dan als volgt berekend:
 
       
De gele cartridges hadden een gemiddeld paginarendement van 2107 pagina's. Het ISO-pr was 2046 pagina's.
       
3p. 21. Bereken de standaardafwijking van het paginarendement bij deze test.
     

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. De data nemen regelmatig toe (elke keer +7 dagen)

Als de toename lineair is, dan moeten de waarden elke keer met dezelfde hoeveelheid toenemen.
De toenames zijn:
1034660 - 1033414 = 1246
1035882 - 1034660 = 1222
1037184 - 1035882 = 1302
1038340 - 1037184 = 1156
Dat is steeds verschillend dus de toename is niet lineair.

Als de toename exponentieel is, dan moeten de waarden elke keer met dezelfde factor vermenigvuldigd worden.
1034660/1033414 = 1,0012
1035882/1034660 = 1,0012
1037184/1035882 = 1,0013
1038340/1037184 = 1,0011
Dat is ongeveer gelijk dus de groei is exponentieel.
   
2. Het aantal is gegroeid met factor 1120987/1038340 = 1,0796
Dat is in 23 weken, dus voor de groeifactor per week geldt  g23 = 1,0796
Dan is g = 1,0796(1/23) = 1,0033
Na 52 weken is de hoeveelheid dan  1038340 · 1,003352 = 1234634 artikelen.
   
3. Gewone artikelen:  747200 • 1,03t
Computerartikelen: 373600 • 1,08t 
Y1 = 747200 * 1,03^X  en  Y2 = 373600 * 1,08^X
Intersect geeft X = t = 14,62 halve jaren
dat is na 14,62 • 6 = 88 maanden.
   
4. Het aantal is binomiaal verdeeld.
n = 50
p = 1/3
P(X ≥ 24) = 1 - P(X ≤ 23) = 1 - binomcdf(50, 1/3, 23) = 0,0222
   
5. Er zijn 17 personen, dus ieder stuurt 16 kaarten.
Dan worden er 17 •16 = 272 kaarten verstuurd.
   
6. Bekijk de verticale afstand tussen de punten A, B, C en de getekende lijn.
A:  40 - 7,5 = 32,5
B:  16 - 8 = 8
C:  70 - 20 = 50
Het verschil is bij C het grootst.
   
7. logN = 0,1 + 3,4 • log4
logN = 2,147
N = 102,147 ≈ 140
   
8. de neocortexratio is 1006,5/(1251,8 - 1006,5) = 4,103
logN = 0,1 + 3,4 • log4,103
logN = 2,186
N = 102,185 ≈ 153   en dat is ongeveer gelijk aan 150.
   
9. 10logN = 100,1+ 3,4logR
N = 100,1 • 103,4logR
N = 100,1 • (10logR)3,4
N = 1,259 • R3,4
c = 1,3
   
10. Elk station geeft 24 • 6 = 144 waarnemingen per dag
Dat zijn  144 • 53 = 7632 waarnemingen per dag.
   
11. heenweg:  tijd is  10/(20 + 5) = 0,4 uur
terugweg: tijd is  10/(20 - 5) = 2/3 uur
Samen is dat 16/15 uur en dat is 1 uur en 4 minuten.
Dat is dus 4 minuten langer.
   
12. 1 uur en 20 minuten is 4/3 uur
4/3 = 400/(400 - w²)
4 • (400 - w2) = 1200
1600 - 4w2 = 1200
4w2 = 400
w2 = 100
w = 10
   
13. w2  is altijd groter dan nul,
dan is 400 - w2  kleiner dan 400
dan is  400/(400 - w2)  groter dan 1
dus T > 1 als w > 0
   
14.
   
15. P(Warren wint) = P(4rood-3 blauw) = 5/6 • 5/6 = 25/36
   
16. Bill wint op de volgende manieren:
A. Warren gooit 2
B. Warren gooit 5 en Bill gooit 10 of 7   (dus  W(5) en B(55 of 52))
C. Warren gooit 8 en Bill gooit 10

De kansen daarop zijn
A.  1/36
B.  10/36 • (3/6 • 3/6 + 3/6 • 3/6 • 2) = 5/24
C.  25/36 • 3/6 • 3/6 = 25/144
Samen is dat 59/144
   
17. De kleinste som moet 2 zijn en die moet 1 keer voorkomen. Dat kan alleen met de 1, dus de tweede steen heeft één keer een 1.
Dat geeft de eerste rode kolom.

het grootste getal is 12 en die moet ook 1 keer voorkomen. Dat kan alleen met de 4, dus de tweedesteen heeft één keer een 8.
Dat geeft de laatste blauwe kolom.
+ 1 3 4 5 6 8
1 2 4 5 6 7 9
2 3 5 6 7 8 10
2 3 5 6 7 8 10
3 4 8 7 8 9 11
3 4 8 7 8 9 11
4 5 7 8 9 10 12
  11 moet in totaal 2 keer voorkomen, en die staan er beiden al. De tweede steen kan daarom geen 7 hebben.
10 moet in totaal 3 keer voorkomen. Er staan nu al twee tienen, dus er moet er nog eentje bij. Dat kan alleen samen met de 4, dus de tweede steen heeft één 6. Dat geeft de groene kolom.
3 moet in totaal 2 keer voorkomen, en die staan er al, dus de tweede steen heeft geen 2.
4 moet in totaal 3 keer voorkomen. Er staan al twee vieren, dus er moet er nog eentje bij. Dat kan alleen samen met de 1, dus de tweede steen heeft één 3. Dat geeft de paarse kolom.
er moet nu nog één 5 en één 9 bij, dus dat geeft op de tweede steen een 4 en een 5 (zwarte kolommen)
Daarmee is de tabel klaar.
Op de andere steen staan dus 1, 3, 4, 5, 6, 8
   
18. m = 1703
s = 52
Het aantal is een geheel getal dus je moet de continuïteitscorrectie toepassen.
P(X ≥ 1650) wordt nu  P(X > 1649,5)
Normalcdf(1649.5, 1099, 1703, 52) = 0,8482
   
19. Het gaat om  P(X ≥ G)
Met de continuïteitscorrectiue geeft dat  P(X > G-0,5)
normalcdf(X-0.5, 1099 , 1703, 52) = 0,97
Voer in de GR in Y1 = normalcdf(X - 0.5, 1099, 1703, 52)
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst groter dan 0,97 is.
Dat geeft X = 1605
   
20. Voor de som van 4 cartridges geldt
μ = 4  • 6828 = 27312
σ = 23 • √4 = 46
Het gaat om P(X > 27250)
ook hier moet je weer de continuïteitscorrectie toepassen, want dit aantal is een geheel getal.
dat wordt P(X > 27250,5)
normalcdf(27250.5, 1099 , 27312, 46) = 0,9094
   
21. 2046 = 2107 - 1,86 • σ/3
-61 = -1,86/3 • σ
-61 = -0,62σ
σ = 98,39