De zomer van 2013 was een topzomer voor vlinders. Toch gaat het aantal vlinders in Nederland volgens de Vlinderstichting langzaam achteruit. In dagblad Trouw stond in augustus 2013 de grafiek van onderstaande figuur .

In deze figuur is te zien dat het gemiddeld aantal vlinders in de drie beste zomerweken (dit zijn de drie weken met de meeste vlinders) een dalende trend vertoont. Deze trend wordt weergegeven door de gestippelde lijn. In de figuur is te zien dat 1995 zowel als 2013 goede vlinderjaren waren.

4p.

1.

Onderzoek of in 1995 het gemiddeld aantal vlinders in de drie beste zomerweken in procenten meer verschilde van het door de trendlijn voorspelde aantal dan in 2013.

5p.

2.

Stel een formule op voor de trendlijn van de figuur met t in jaren en t = 0 in 1995. Bereken daarmee in welk jaar er volgens deze trendlijn voor het eerst minder dan gemiddeld 60000 vlinders in de drie beste zomerweken zullen zijn.

Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert regelmatig gegevens over de stand van zaken van de natuur in Nederland. In de figuur hieronder zie je een diagram waarin de mate van bedreiging is aangegeven van vlindersoorten in 2010. Uitgangspunt daarbij is het jaar 1950. Men beperkt zich daarbij tot soorten die in 1950 voorkwamen. Er is onderscheid gemaakt tussen soorten dagvlinders en soorten nachtvlinders. Je kunt in deze figuur bijvoorbeeld aflezen dat 24% van het totale aantal soorten dagvlinders sinds 1950 uit Nederland verdwenen is.

Hieronder staan twee mogelijke conclusies:

Er zijn in 2010 meer niet-bedreigde soorten bij de nachtvlinders dan bij de dagvlinders.

Het percentage ernstig bedreigde, bedreigde en kwetsbare soorten samen is in 2010 bij de dagvlinders groter dan bij de nachtvlinders.

3p.

3.

Geef van elk van deze twee conclusies aan of deze volgt uit bovenstaande figuur. Licht je antwoorden toe.

Om de bedreiging van soorten dagvlinders in Nederland te meten, gebruikt het CBS de volgende rekenmethode:

In de tabel staat voor 1995 en 2006 de onderverdeling in de genoemde categorieën voor de soorten dagvlinders die in Nederland in 1950 voorkwamen.

Voor soorten dagvlinders in 1995 resulteert de berekening van het CBS in een totale bedreiging van 154.

3p.

4.

Bereken met hoeveel procent de totale bedreiging voor soorten dagvlinders in 2006 is toegenomen ten opzichte van 1995.

De overheid wil dat de totale bedreiging teruggedrongen wordt. Men streeft ernaar dat voor dagvlinders de totale bedreiging 20% lager wordt dan in 1995.

4p.

5.

Geef een mogelijke verdeling waarbij afgerond de totale bedreiging 20% lager is dan in 1995 van de 71 dagvlindersoorten over de zes categorieën van de tabel. Ga er daarbij van uit dat het aantal verdwenen soorten gelijk gebleven is

Bij de productie van buisfoliezakken voor een bepaalde afnemer is vastgelegd dat het tolerantiegebied het gebied is waar de breedte van de zakken maximaal 1 mm van de streefwaarde van 715 mm afwijkt.

3p.

6.

Bereken het percentage van de partij zakken dat buiten dit tolerantiegebied ligt.

Men vindt het productieproces voor een andere afnemer van buisfoliezakken acceptabel als hoogstens 2,5% van de zakken breder is dan 716 mm. Hiervoor moet de standaardafwijking wel veranderen. Het is mogelijk de machine zo in te stellen dat de gemiddelde breedte niet verandert maar de standaardafwijking wel.

2p.

7.

Beredeneer of de standaardafwijking dan kleiner of groter dan 0,5 moet zijn.

4p.

8.

Bereken de kans dat een productie van 26 000 kg of meer in minstens 21 van de 48 gewone werkweken niet gehaald wordt.

Op basis van eerdere gegevens gaat de leiding ervan uit dat het gewicht in kg van de buisfolie die per week geproduceerd wordt normaal verdeeld is met μ = 28000 en σ = 3300.

3p.

9.

Toon hiermee aan dat de kans dat het bedrijf de weekproductie van 23750 kg niet haalt ongeveer 9,9% is.

Er bestaat dus een kans van 9,9% dat het bedrijf de weekproductie niet haalt. Het bedrijf kan zodoende met 90,1% zekerheid de spoedorder uitvoeren.
Voor die spoedorder van 23750 kg buisfolie wordt een prijs van €2,15 per kg gerekend als deze binnen die week geleverd wordt. Als dit echter niet lukt dan haakt de klant af en kan het bedrijf een boete van €50000,- verwachten. De partij buisfolie kan dan nog wel te zijner tijd afgemaakt worden en aan een andere klant worden verkocht voor €0,50 per kg. Het is nu de taak van het management om de risico’s af te wegen en een keuze te maken of men deze spoedorder al dan niet zal accepteren.

4p.

10.

Bereken de verwachtingswaarde van de opbrengst voor het bedrijf als men deze spoedorder accepteert.

Gemiddeld duurt een zwangerschap bij de mens 38 weken. Een ongeboren kind van 8 weken of ouder wordt een foetus genoemd.
In de volgende tabel staat het (gemiddelde) lichaamsgewicht G in gram van een foetus bij een leeftijd van t weken.

G = b • a^t  met a en b constanten.

Veronderstel dat de groei tussen week 8 en week 10 inderdaad exponentieel verloopt.

3p.

11.

Bereken met hoeveel procent per week het gewicht van de foetus dan toeneemt in die periode.

Exponentiële groei is echter geen goed model voor de groei van de foetus in de gehele periode van 8 tot 38 weken. Dit kun je afleiden uit de tabel.

3p.

12.

Om een beter model voor de groei van de foetus te maken, berekenen we de logaritmes van de getallen in de vorige tabel.
We bekijken dus de waarden van M = log (G) ten opzichte van L = log (t) . Zie de volgende tabel en de bijbehorende punten in de figuur ernaast.

Het gewicht van een foetus van 30 weken kan met deze formule worden berekend: bij t = 30 hoort L = log(30) ≈1,48 . Met de formule kun je de waarde van M en daarna de bijbehorende waarde van G berekenen.
Die waarde wijkt af van de waarde volgens de eerste tabel uit deze opgave.

3p.

13.

Als de parabool van de figuur de groei goed beschrijft, dan zou de grafiek moeten stijgen gedurende de hele zwangerschap.

4p.

14.

Bereken de waarde van t waar de grafiek van M weer gaat dalen en leg uit dat dit voor het model geen bezwaar is.

Halli Galli is een kaartspel. Bij het spel worden 56 kaarten gebruikt waarop vruchten afgebeeld zijn. Er zijn vier soorten vruchten: banaan, aardbei, citroen en pruim. Er zijn veertien bananenkaarten met diverse aantallen bananen. Die zie je in de tabel. De andere drie soorten vruchten hebben dezelfde verdeling van kaarten.

In deze opgave wordt het spel gespeeld met twee spelers, A en B.
Het spel kaarten wordt goed geschud. Vervolgens krijgt eerst speler A 28 kaarten. Daarna krijgt speler B de overige kaarten.

3p.

15.

Bereken de kans dat de eerste vier kaarten van speler A allemaal bananenkaarten zijn.

In werkelijkheid ziet de speler zijn kaarten niet: de speler legt ze dicht (dat wil zeggen: met de afbeelding naar beneden) voor zich neer op een stapel.
Het spel gaat dan als volgt: beide spelers pakken tegelijk de bovenste kaart van hun dichte stapel en leggen die op hun open stapel. Zie foto.

Bij het begin van het spel heeft iedere speler een dichte stapel van 28 kaarten voor zich. Beide spelers draaien hun eerste kaart om. Omdat de kaarten willekeurig verdeeld zijn, mag je voor het berekenen van de kansen uitgaan van één goed geschudde stapel van 56 kaarten waarvan je de twee bovenste omdraait. Je ziet dan een aantal vruchten.

5p.

16.

Heel soms gebeurt het dat speler A een kaart met 5 citroenen boven op zijn eigen stapel legt en speler B een kaart met 5 aardbeien. En het gebeurt ook wel eens precies andersom.

3p.

17.

Bereken op hoeveel manieren er in totaal 10 vruchten tegelijk zichtbaar kunnen zijn tijdens het spel.

A en B spelen dit spel vaker en het is opgevallen dat speler A vaak net wat trager reageert dan speler B. Neem aan dat speler A steeds een kans van 0,4 heeft om als eerste op de bel te drukken.

4p.

18.

Bereken de kans dat als er in een spelletje 20 keer op de bel gedrukt wordt, speler A hierbij hoogstens 6 keer de eerste is.