Piet Mondriaan (1872-1944) was een Nederlandse kunstschilder die algemeen wordt gezien als één van de grondleggers van de abstracte kunst.
Vooral zijn latere werk, schilderijen bestaand uit zwarte lijnen en rode, gele, blauwe en witte vlakken, is wereldberoemd.

Een kunstenaar wil een schilderij maken dat lijkt op een schilderij van Piet Mondriaan. Hij wil daarbij voor de vlakken de drie kleuren rood, blauw en wit gebruiken. De kunstenaar vindt het niet erg als twee naast elkaar liggende vlakken dezelfde kleur hebben.

Het aantal manieren waarop hij zijn schilderij in kan kleuren, het aantal mogelijke kleuringen dus, hangt af van het aantal vlakken waaruit het schilderij bestaat. Het verband tussen het aantal mogelijke kleuringen M en het aantal vlakken V is:
M = 3^V .

De kunstenaar wil minimaal vijf miljoen mogelijkheden hebben om het schilderij in te kleuren.

3p.

1.

Een vriend van de kunstenaar beweert dat, als je in het algemeen het aantal mogelijke kleuringen wilt verdubbelen, je gewoon het aantal vlakken moet verdubbelen.

3p.

2.

Uiteindelijk kiest de kunstenaar voor een schilderij met 17 vlakken, zoals weergegeven in de figuur.

Daarnaast besluit hij, bij nader inzien, toch dat twee aan elkaar grenzende vlakken niet dezelfde kleur mogen hebben.

De kunstenaar begint met vlak nummer 1 rood te kleuren. Tegen zijn vriend zegt hij “Vlak nummer 1 is rood, dus vlak nummer 4 is blauw of wit”.

2p.

3.

Vertaal de uitspraak van de kunstenaar in logische symbolen, gebruik makend van bovenstaande notatie.

•   (R₁ ∧ W₄)  ⇒  B₃
•   B₃  ⇒ (¬ B₅ ∧ ¬ B₂)
•   (R₁ ∧ ¬ B₂)  ⇒  W₂
•  (W₂ ∧ B₃) ⇒ R₆

4p.

4.

Voor de rest van de opgave gaan we ervan uit dat kunstenaar blijft bij bovenstaande keuze.

3p.

5.

Geef een redenering, weergegeven met de hierboven beschreven notatie en logische symbolen, bestaande uit een aantal redeneerstappen, voor vlak nummer 5 en leg daarmee uit waarom de kunstenaar er niet in zal slagen vlak nummer 5 een kleur te geven.

De kunstenaar heeft dus een vierde kleur nodig en kiest ervoor om vlak nummer 5 geel te kleuren. Het is mogelijk om de rest van het kunstwerk in te kleuren zonder een tweede keer de kleur geel in te hoeven zetten. Dat geeft de volgende figuur:

4p.

6.

Geef in deze figuur aan hoe het kunstwerk ingekleurd moet worden, uitgaande van het bovenstaande.

5p.

7.

De magnitude, de kracht van een aardbeving, wordt uitgedrukt in een getal op de schaal van Richter.

Elke stip in deze figuur stelt een aardbeving van een zekere magnitude voor: zo kun je zien dat er vlak voor juli 2009 een aardbeving van magnitude ≥ 3,0 heeft plaatsgevonden: die aardbeving zie je dus ook terug bij de aardbevingen van de klassen ≥ 2,5; ≥ 2,0 en ≥ 1,5.

In het onderzoek werden alleen aardbevingen bekeken die schade zouden kunnen veroorzaken. Omdat aardbevingen met een magnitude van minder dan 1,5 geen schade aanrichten, zijn deze niet in deze figuur opgenomen.

3p.

8.

Het feit dat de grafieken in deze figuur evenwijdige rechte lijnen zijn, betekent dat het aantal aardbevingen van elke klasse exponentieel toeneemt met dezelfde groeifactor. Het totaal aantal aardbevingen An voor magnitudes ≥1,5 tot en met maand n is daardoor te beschrijven als een meetkundige rij.
Uit de figuur kunnen we dan aflezen:  A₀ = 12 en A₂₂₀ = 200 .

4p.

9.

Bij deze grafiek hoort de volgende formule:  N  = 10^{a - M}

Hierbij is M de magnitude en N het percentage van de aardbevingen boven magnitude M.

3p.

10.

In onderstaande figuur zijn de aantallen goudplevieren in Nederland in de jaren 1975 tot en met 2012 weergegeven als groene stippen.

4p.

11.

In onderstaande figuur zie je het resultaat van een onderzoek naar deze gewichtstoename: van een aantal op verschillende tijdstippen gevangen goudplevieren is het gewicht en/of de hoeveelheid vet bepaald. De open stippen horen bij waarnemingen in het najaar en de dichte stippen bij waarnemingen in het voorjaar. Ook zijn de trendlijnen getekend.

4p.

12.

Het vetpercentage van een vogel is de hoeveelheid lichaamsvet als percentage van het totale gewicht van de vogel. Er geldt dus:

Met behulp van de trendlijnen in de figuur is een formule op te stellen voor P_voorjaar , het vetpercentage in het voorjaar. Als je dat doet met de punten (0, 198) en (20, 244) uit de grafiek voor het totale lichaamsgewicht, dan ontstaat de formule

met t de tijd in dagen na het begin van de gewichtstoename.

5p.

13.

Laat zien, gebruikmakend van de grafieken in de figuur en de punten (0, 198) en (20, 244), dat deze formule inderdaad uit de gegevens volgt.

3p.

14.

Beredeneer uitsluitend met behulp van de formule voor P_voorjaar , zonder getallen in te vullen of een schets te maken, of het vetpercentage in het voorjaar toeneemt of juist afneemt.

Als je de grafiek van P_najaar zou tekenen, zou je zien dat deze stijgt. Het is echter vrij moeilijk te zien of dit een toenemende of afnemende stijging is.
Met berekeningen is dit wel te onderzoeken. Je mag er hierbij van uitgaan dat de grafiek of voortdurend toenemend stijgend is of voortdurend afnemend stijgend.

4p.

15.

Onderzoek of de grafiek van P_najaar toenemend stijgend of afnemend stijgend is.

Op de foto staat rechts onderaan de teller van 12 januari 2015, rond vier uur ’s middags: toen was de video ruim 2,2 miljard maal bekeken.

Er wordt veel tijd besteed aan het kijken naar de 4 minuten en 12 seconden durende video. Ga er bij de volgende vraag van uit dat iedereen de video van begin tot einde bekeek.

3p.

16.

Bereken hoeveel tijd in jaren er in totaal tot 12 januari 2015, vier uur ’s middags, al was besteed aan het kijken naar de video. Geef je antwoord in gehele honderdtallen.

Met behulp van de gegevens uit deze figuur zou je ook een totaalgrafiek, een grafiek van het totale aantal views, kunnen maken. De pieken laten we dan voor het gemak buiten beschouwing. Over het stijgen en dalen van de totaalgrafiek worden de volgende beweringen gedaan:

de totaalgrafiek is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend dalend;

de totaalgrafiek is eerst afnemend stijgend en daarna toenemend stijgend.

III.

de totaalgrafiek is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend stijgend.

3p.

17.

In onderstaande figuur staat de grafiek van het dagelijkse aantal views opnieuw. Er is nu ook een trendkromme getekend.

Als we aannemen dat deze afname exponentieel is, dan geldt:   V = 10,4 • 0,96^t 

In deze formule is V het dagelijkse aantal views in miljoenen en t het aantal weken sinds 10 oktober 2012. De groeifactor is hierbij afgerond op twee decimalen

3p.

18.

Bereken de groeifactor per week in drie decimalen.

4p.

19.

Bereken met de formule in welke maand van welk jaar het aantal views per dag onder de 100000 zakte.

Nabij Rushton in Engeland staat een bijzonder gebouw: Triangular Lodge.
Voor de ontwerper van het gebouw had het getal 3 zoveel betekenis dat alles van dit gebouw in het teken staat van 3.

Het grondvlak van het gebouw is een gelijkzijdige driehoek waarvan de zijden 33 feet lang zijn. Eén foot is gelijk aan 30,48 cm.
De oppervlakte van dat grondvlak is 471,55 square feet. Dat is ongeveer 44 m²

4p.

20.

Bereken, uitgaande van een oppervlakte van 471,55 square feet, de oppervlakte in m². Geef je antwoord in één decimaal.

De hoogte aan de buitenkant tot aan de dakrand is 8,22 meter.

4p.

21.

Bereken met behulp van de foto op welke hoogte de fotograaf de foto heeft genomen. Geef je antwoord in gehele cm.

De buitenmuren zijn erg dik. Daardoor is de binnenruimte een gelijkzijdige driehoek met zijden van 8,22 m. Deze ruimte wordt door drie dunnere muren verdeeld in een regelmatige zeshoek en drie gelijkzijdige driehoeken. Zie de figuur.

In de figuur hieronder is het grondvlak van het gebouw, de gelijkzijdige driehoek dus, in perspectief getekend. Je ziet ook de horizon in de tekening.
Een van de zijden is, zoals je ziet, evenwijdig met de horizon getekend.
Wat nog niet getekend is, is de regelmatige zeshoek (de zeshoekige kamer waarvan hierboven sprake was).

5p.

22.

Teken de regelmatige zeshoek in de driehoek. Je mag daarbij de dikte van de muren verwaarlozen. Licht je werkwijze toe.

De helling van de lijn "voorjaar" in de onderste grafiek is nul, dus het vet neemt (gemiddeld) niet toe, dus stelling II is waar.