| Elke driehoek is
gelijkbenig ? |
|
|
Wat hier volgt is een beroemd
"bewijs" , het eerst gepubliceerd in 1892 door W.W.
Rouse.
Hij bewijst dat alle driehoeken gelijkbenig zijn.
Teken een driehoek ABC met AC > BC.
Dan gaan we bewijzen dat AC = BC. |
Trek de bissectrice vanuit C en de
middelloodlijn van AB. Deze twee lijnen kunnen niet evenwijdig
zijn, want dan was de driehoek gelijkbenig.
Dus deze twee lijnen snijden elkaar, stel in een punt E.
Voor de plaats van E zijn er drie mogelijkheden: binnen de
driehoek, erbuiten, of op AB. We bekijken deze drie gevallen
apart. Hiernaast is het geval van E binnen de driehoek getekend.
Trek AE en BE.
Teken EF en EG loodrecht op de zijden van de driehoek.
Dan zien we een boel congruente driehoeken waaronder: |
 |
- Driehoeken CEF en CEG zijn congruent (twee hoeken en
een zijde gelijk), dus CF = CG
- Driehoeken AEF en BEG zijn congruent (EA=EB vanwege de
middelloodlijn, rechte hoek, EF = EG vanwege de bissectrice)
dus AF = BG
|
| Daaruit volgt samen AC = AF
+ FC = BG + CG = AB dus de driehoek is gelijkbenig!!!!
De twee andere gevallen gaan precies hetzelfde.
Hieronder staan twee figuren die daarbij horen.
(Bij de tweede vallen E en D samen). |
|
|
 |
 |
|
|
De redeneringen gaan in beide
gevallen gelijk aan de redenering bij de eerste van de drie.
Voer het zelf maar uit.
Kortom:
| Elke driehoek is gelijkbenig!!! |
|
|
|
|
|
| Nou, vooruit dan maar, de
oplossing..... |
 |
|
|