| De
oplossing van Bertrand |
|
|
De oplossing van deze vervelende paradox
heeft te maken met het probleem: hoe geven we de grootte van een
oneindige verzameling aan? Of de grootte van een deelverzameling van een
oneindige verzameling.
De verzameling van alle koorden in een cirkel is immers oneindig groot.
In de drie voorbeelden worden drie verschillende manieren gegeven om de
grootte (de MAAT) van een deel daarvan aan te geven.
|
Kijk naar de twee driehoeken hiernaast. De
grootste heeft tophoek 90º en zijden 12, de kleinste heeft tophoek 45º
en zijden 6.
Hoe groot is de kans dat een willekeurig punt van de grote driehoek ook
in de kleine driehoek ligt? Die kans is natuurlijk gelijk aan de
verhouding van de oppervlaktes van beide driehoeken (en dat is
ongeveer 17%) |
 |
Maar een slimmerik verzint een andere manier om de
grootte van een oppervlakte van een gelijkbenige driehoek aan te geven!
Hij zegt:
|
|
Oppervlakte driehoek =
lengte van been • grootte tophoek, immers als de lengte van een
been of de grootte van een tophoek groter worden, dan wordt ook de
oppervlakte groter.
Met deze nieuwe formule wordt de verhouding van beide driehoeken ineens
25%!
Waarom is de ene maat voor de oppervlakte fout en de andere goed?
Dat zit hem in het volgende: Stel dat we een MAAT voor de
oppervlakte hebben verzonnen. Dan zijn er eigenlijk twee eenvoudige
voorwaarden waaraan zo'n MAAT moet voldoen:
- Als we een figuur in twee delen A en B
verdelen, dan moet gelden: MAAT(A + B) = MAAT(A) +
MAAT(B)
- Als we een figuur verschuiven of draaien dan mag dat
geen invloed op de MAAT hebben.
|
|
De formule van onze "slimmerik"
voldoet niet aan deze basisvoorwaarden! Als we de zwaartelijnen in de
kleine driehoek hierboven tekenen krijgen we drie nieuwe driehoeken. Nu
zou moeten gelden:
6 • 45 = MAAT(A + B + C) = MAAT(A) + MAAT(B) + MAAT(C) = 3,24 •
hoekA + 3,24 • hoekB + 3,24 • hoekC =
3,24 • 180
En dat klopt natuurlijk niet.
Daarom voldoet de formule voor de oppervlakte niet aan basisregel 1
hierboven en is het géén goede formule. |
 |
|
|
Het blijkt, dat onder de twee voorwaarden
hierboven de "echte" oppervlakteformule die wij kennen de
enige goede is (of een veelvoud daarvan).
Terug naar het probleem van de koorden. Bij de oppervlakte van een
driehoek ging het om een verzameling van oneindig veel punten, bij het
probleem van Bertrand gaat het om een verzameling van oneindig veel
koorden. Hoe maken we daar een goede MAAT voor?
In de paradox wordt gewerkt met drie verschillende maten, en daarom
vinden we ook drie verschillende antwoorden:
|
|
| 1e |
De grootte van een verzameling
evenwijdige lijnen is gelijk aan de lengte van het lijnstuk dat
er loodrecht op staat. |
| 2e |
De grootte van een verzameling
lijnen door één punt is gelijk aan de hoek waartussen ze
liggen. |
| 3e |
De grootte van een verzameling
lijnen is gelijk aan de oppervlakte van de figuur die hun
middelpunten omsluit. |
|
|
|
WELK VAN DEZE DRIE IS DE GOEDE?
VERTEL! VERTEL!!!!
Het blijkt dat er ook één goede manier (die aan beide basisvoorwaarden
voldoet) is om de grootte van een verzameling lijnen te meten. Zie
de figuur hieronder |
|
|
 |
|
|
| Een blauwe lijn in het xy-vlak
wordt gekenmerkt door een hoek j
en een afstand r. Als we deze beide
grootheden afzetten langs de assen van een nieuw assenstelsel krijgen we
een blauwe punt. Bij elke lijn hoort op deze manier een punt. Een
verzameling blauwe lijnen in de linkerfiguur geeft zo een verzameling
blauwe punten in de rechter. De grootte (MAAT) van de verzameling lijnen
is nu gelijk aan de oppervlakte van de verzameling punten. |
|
 |
|
|
Alle mogelijke koorden die de cirkel
snijden worden samen een rechthoek van r bij 360.
De koorden die korter zijn dan de ingeschreven driehoek vormen een
rechthoek van 0,5r bij 360.
De kans is dus 1/2.... |
|
|
|