Deze paradox had grote gevolgen.....

De paradox lijkt een onschuldig grapje, maar heeft toch ernstige gevolgen gehad. Dat zit hem in het volgende. Zodra we een tegenspraak hebben als "P én niet-P" dan kun je logisch gezien daar elke bewering uit afleiden.
Neem een willekeurige tweede bewering Q, en stel dat de bewering  "P én niet-P"  waar is.

P Þ (P V Q)                                      (Als "P" waar is, dan is "P of Q" ook waar)
(P V Q) én (niet-P) Þ Q                   (Als "P of Q" waar is en "niet-P" ook, dan is Q waar)

Daarmee is Q bewezen. Dus als we in een logisch systeem de bewering "P én niet-P" toelaten, dan is de beer los, het hek van de dam:  we kunnen dan ineens alles bewijzen! En dat is in een formeel logisch systeem natuurlijk volstrekt ontoelaatbaar.

Russell ontdekte de paradox in 1901 en schreef erover aan Frege, die toen bezig was de logica te formaliseren.  Frege stond op het punt zijn  "Grundgesetze der Arithmetik" te publiceren. De paradox toonde aan dat de axioma's die Frege gebruikte inconsistent waren, dus Frege moest haastig een appendix toevoegen waarin hij Russels ontdekking besprak, en waarin hij schreef dat de gevolgen van de paradox niet duidelijk waren.

Theory-of Types Ook Russell zelf zat met zijn ontdekking in zijn maag. Hij begon ook maar een appendix te schrijven voor zijn werk Principia Mathematica dat hij op het punt stond te publiceren. Het werd Appendix B: "The Doctrine of Types", en was een eerste poging de paradox te vermijden. Omdat de paradox ontstaat doordat iets naar zichzelf verwijst besloot Russell dat niet meer toe te laten. Hij rangschikte alle beweringen in verschillende lagen van een hiërarchisch systeem. De onderste laag bestond uit beweringen over individuele dingen. De laag daarboven uit beweringen over verzamelingen van individuele dingen. De laag dáár weer boven uit beweringen over verzamelingen van verzamelingen, enz. Bij elke bewering over objecten mag je het alleen maar hebben over objecten uit dezelfde laag. Dat voorkomt vicieuze cirkels als in de paradox.

Bij elke bewering/functie moet eerst een domein gegeven worden voor je de geldigheid van de bewering/functie kunt bespreken. Dus dat domein kan nooit dingen bevatten die gedefinieerd zijn in termen van de bewering/functie zélf. "X is een priemgetal" kun je alleen bespreken als je vooraf vaststelt dat X een natuurlijk getal moet zijn. "X is onwaar" kun je alleen bespreken als je vooraf vaststelt dat X een bewering  moet  zijn. Maar je moet er bij zeggen wat voor soort bewering. Bijvoorbeeld een bewering over individuele dingen. Maar dan mag X niet zijn "Deze bewering" want dan is X een bewering over een bewering en hoort hij thuis in een hogere laag. Niet in de laag van beweringen over dingen, maar in de laag van van beweringen over beweringen. Dat lost de Russel Paradox op, maar geeft dus wel beperkingen over toegestane beweringen. Helaas....