Het eierverfprobleem
In de kansrekening zijn eigenlijk 4 standaard telproblemen te onderscheiden van de variant "kies k elementen uit een verzameling van n".
Je hebt problemen met of zonder terugleggen, en problemen waarin de volgorde wel of niet van belang is (geordend of ongeordend). Zie het schema hiernaast.
Drie van de vier zijn veelbesproken.
De vierde is ons eierverfprobleem.

Het probleem is op verschillende manieren op te lossen:
  zonder
terugleggen		 met
terugleggen
ongeordend combinaties ?
geordend permutaties nk
   
1.  Maak er een rij getallen van.
Zet de vier kleuren verf in bakjes naast elkaar, en gooi de 7 eieren er willekeurig in. Een mogelijkheid staat hiernaast, met het eindresultaat eronder.
Maak er nu een rij enen en nullen van volgens het principe:  een EI is een 0, een schot tussen twee bakjes is een 1.
De tekening hiernaast zou de rij  0010110000 opleveren
Een willekeurige kleuring bestaat uit een rij van 3 enen en 7 nullen.
Dus moeten we 3 plaatsen in een rij van 10 uitzoeken om een 1 neer te zetten. Dat kan op  10 nCr 3 = 120 manieren.

Conclusie: de eieren zijn op 120 verschillende manieren te kleuren.

In het algemeen dus  (n + k - 1) nCr (k  -1)
 
2. Met recursie
Noem f(k, n) het aantal manieren om n eieren met k kleuren verf te kleuren.
We zijn dus op zoek naar f(4, 7)
Splits deze in tweeën:
Het aantal manieren om 7 eieren te kleuren zonder de kleur geel is f(3,7)
Het aantal manieren met minstens één ei geel is  f(4,6):  leg dat ene gele ei apart, en je moet nog 6 andere eieren met 4 kleuren verven.
Conclusie:    f(4, 7) =  f(3,7) +  f(4,6)  ofwel in het algemeen:   f(k, n) = f(k - 1, n) + f(k, n - 1)
Laten we een tabel gaan maken met alle mogelijkheden:
  n 1 2 3 4 5 6 7
k 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 4 5 6 7 8
3 3 6 10 15 21 28 36
4 4 10 20 35 56 84 120
5 5 15 35 70 126 210 330
6 6 21 56 126 252 462 792
7 7 28 84 210 462 924 1716
En daar zien we een oude bekende: de driehoek van Pascal! Het getal 120 is daarin inderdaad gelijk aan 10 nCr 3.
3. Met een voortbrengende functie
Het aantal eieren van elke kleur kan variëren van 0 tot en met 7.
Schrijf daarom de volgende functie uit (voor elke kleur een deel):
f(x) = (1 + x + x2 + ... + x7) • (1 + x + x2 + ... + x7) • (1 + x + x2 + ... + x7) • (1 + x + x2 + ... + x7)


Als je alle haakjes weg zou werken geeft de coëfficiënt van x7 het aantal manieren om de eieren  te kleuren.
Hier zou dat nogal veel werk zijn, maar de aanpak is wél handig als er veel extra voorwaarden zijn. Neem bijvoorbeeld het volgende probleem:

Kleur 7 eieren met 4 kleuren.
Het aantal rode eieren moet oneven zijn
Het aantal groene eieren moet even zijn
Er moeten minstens 2 eieren blauw.
Er mogen hoogstens 3 eieren geel.

Dan zijn voor rood de mogelijkheden  1,3,5,7  en voor groen  0,2,4,6 en voor blauw  2,3,4,5,6,7 en voor groen  0,1,2,3
Dat geeft de voortbrengende functie:

f(x) = (x + x3 + x5 + x7) • (1 + x2 + x4+ x6) • (x2 +x3 + x4 + x5 + x6 + x7) • (1 + x + x2 + x3)


Uitwerken geeft ('t is even een werkje):

f(x) = x3 + 2x4 + 5x5 + 8x6 + 13x7 + 18x8 + 24x9 + 30x10 + 34x11 + 38x12 + 38x13 + 38x14 + 34x15 + 30x16 + 24x17 + 18x18 + 13x19 + 8x20 + 5x21 + 2x22 + x23

En nu zie je in één oogopslag dat 7 eieren op 13 manieren zo geverfd kunnen worden (de coëfficiënt van x13 ) en 14 eieren op 38 manieren.

 

Het zelfde probleem in andere jasjes:

• Bij verkiezingen zijn er 6 kandidaten en 20 stemmers. Hoeveel mogelijke uitslagen zijn er?  (53130)
• Gooi met 10 dobbelstenen, hoeveel mogelijke worpen zijn er?  (3003)
• Op 5 waslijnen moeten 7 identieke shirts gehangen worden. Op hoeveel manieren kan dat?  (330)