Het Drie-Deuren Probleem
Dit is een erg beroemd probleem. Een foute redenering gaat meestal ongeveer als volgt:
Er zijn nu nog twee deuren mogelijk. De kans is voor beiden dus 1/2.
Het maakt dus niet uit of we switchen of niet.

Toch is dat zoals gezegd een foute redenering. De kans is niet 1/2 - 1/2  maar  1/3 - 2/3
Dat kun je op veel manieren zien, mar misschien moet je het eerst maar even een poosje zelf naspelen. Dat kan HIER.
De wiskundige oplossingen zijn als volgt:

Gezond-Verstand-Oplossing
De kans was vooraf  1/3 dat we het goede deurtje hadden. Omdat de quizmaster altijd een "lege deur" opent zegt dat niets, en is de kans dat we het goed hadden nog steeds 1/3
Maar dan is de kans op de andere deur dus 2/3.
Gevoelsmatig
Stel dat er 200 deuren waren, en dat je er eentje had gekozen. De quizmaster doet vervolgens 198 andere deuren open en die zijn allemaal leeg. Dan ga je er toch vanuit dat de prijs waarschijnlijk achter de ene deur ligt die hij niet openmaakte.....?
Getallenvoorbeeld.
Stel dat we het spel 1200 keer zouden spelen en steeds kiezen voor deur A.
  • 400 keer hebben we de prijs, en zal de quizmaster willekeurig een deur openen. Dat zal dus 200 keer deur B en 200 keer deur C zijn. 
  • 400 keer ligt de prijs achter deur B en opent de quizmaster dus deur C.
  • 400 keer ligt de prijs achter deur C en opent de quizmaster dus deur B.

Dus van de 600 keer dat de quizmaster deur B opent ligt de prijs 400 keer achter C en 200 keer achter A. Switchen dus!

Met een kansboom
Vooraf ziet de kansboom er uit als hiernaast. Stel dat de quizmaster deur B heeft geopend. Dan is vanaf dat moment alleen het rode gedeelte van de boom nog mogelijk.
Als je moet kiezen uit die twee takken dan heeft de ene gewicht 1/6 en de andere 1/3. Dus relatief is die andere dubbel zo kansrijk.
oplossing: switchen 2/3, blijven 1/3

Stukje Theorie:

Dit probleem is een voorbeeld van wat wiskundigen noemen een Voorwaardelijke kans.
Het gaat namelijk niet om de kans dat de prijs achter jouw deur zit, maar de kans dat de prijs achter jouw deur zit GEGEVEN DAT DE ANDERE DEUR IS OPENGEGAAN. 
We noteren dat als  P(A\B), en daarvoor geldt de volgende "formule van Bayes":


Met  P(A B) betekent hier P(A n B)
P(B) is nu de kans vooraf dat deur B opengemaakt gaat worden.

Ik heb dus deur A gekozen......

Dan  is gebeurtenis A = "de prijs zit achter mijn deur (A)" en B = "De quizmaster opent deur B"
P(A B) = 1/3 1/2 = 1/6

P(B) = P((prijs achter A) (B wordt opengemaakt)) + P((prijs achter C) (B wordt opengemaakt))
= 1/3 1/2 + 1/3 1 = 1/(ervan uitgaande dat de quizmaster willekeurig kiest als hij kn kiezen)

dus P(A\B) =   1/6 / 1/2 = 1/3

Nog een paar problemen in hetzelfde jasje dan maar....

1.  Minstens n meisje

Een gezin bestaat uit twee kinderen.
"Kunt U ons meer informatie geven?" vragen we de vader.
"Ehm, nou vooruit... er is minstens n meisje," zegt de vader.
Hoe groot is de kans dat het gezin uit een meisje en een jongen bestaat?

 

Dit probleem is in principe niet op te lossen!
Dat komt omdat we niet weten wat de vader zegt als zijn gezin uit een meisje n een jongen bestaat.
Laten we aannemen dat hij in dat geval willekeurig zegt "minstens n meisje" of "minstens n jongen", dan is ons probleem wl op te lossen.
Noem:
A = het gezin bestaat uit een jongen n een meisje
B = vader zegt "minstens n meisje"


P(A B) = 1/4   want de helft van de tijd bestaat het gezin uit een jongen n een meisje, en in de helft van die gevallen zegt de vader "minstens n meisje". 
P(B) = 1/2   vanuit symmetrieoogpunt.

Dus de voorwaardelijke kans P(A\B) = 1/2.

Een heel ander verhaal wordt het als de vader alleen maar mag zeggen of er minstens n meisje is of niet.
Dan wordt:

P(A B) = 1/2 immers dan zegt de vader altijd dat er minstens n meisje is.
P(B) = 3/4  want dat zegt de vader altijd, tenzij er 2 jongens zijn.

Dus de voorwaardelijke kans is nu  P(A\B) = 2/3

Het verschil wordt misschien ook duidelijk door de volgende twee gevallen met elkaar te vergelijken.

In het publiek zitten 100 vaders, elk met 2 kinderen.
Geval 1 Geval 2
Elke vader moet zeggen of hij minstens n meisje heeft.
Dat zullen dan 75 vaders zeggen.
Van hen hebben er 50 een jongen n een meisje en 25 twee meisjes.
Dus de kans op een jongen en een meisje is nu
 50/75 = 2/3
Elke vader moet het geslacht van n van zijn kinderen vertellen.
Nu zullen 50 vaders zeggen"een meisje" en 50 vaders "een jongen".
Van de 50 die "een meisje" zeggen zullen er 25 twee meisjes hebben en 25 een jongen en een meisje.
De kans op een jongen n een meisje is dus 1/2
 
2.  De  kans dat de som 7 is.

Je hebt net twee dobbelstenen gegooid, en je moet de kans inschatten dat de som van beide ogenaantallen 7 is.
Makkie: dat is 1/6, immers  (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) is zes van de 36 mogelijkheden, dus 6/36 = 1/6 kans.
7 heeft de grootste kans om gegooid te worden als som van ogen van twee dobbelstenen.
De ziener in Asterix & de Ziener heeft kennelijk niet goed opgelet op de middelbare school.....






Hij probeert zich nog te redden met een stukje logica, maar ja 't zal bij deze Romeinen wel niet baten....

Terug naar ons probleem; de kans op som 7 uitrekenen dat kan bijna iedereen, dat is het probleem niet.

Maar.....
Nu zegt een omstander dat er minstens n van beiden een zes is!
Hoe groot is n de kans dat de som 7 is?

Makkie: nu zijn de mogelijkheden nog  (1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)
Van deze 11 leveren er 2 som zeven, dus de kans is nu  2/11.

Maar ja, als de omstander had gezegd: "Er is minstens n 5" was de kans k 2/11 geworden, en bij "Er is minstens n 4"  k, en....
Als de omstander zegt "minstens n X" dan wordt de kans op zeven al 2/11 in plaats van 1/6.
Maar als dat toch altijd zo is, waarom dan wachten op zijn informatie?
Zo gauw hij ets zegt is de kans al gestegen naar 2/11.....
De kans op som zeven is 1/6, maar zodra een omstander zijn mond opendoet, wordt de kans 2/11....
Paradoxaal, niet?

Met de voorwaardelijke-kans-formule klopt het toch echt:

gebeurtenis A = de som is zeven
gebeurtenis B = minstens n is 6
P(A B) = 2/36
P(B) = 11/36
P(A\B) = 2/36 /11/36 = 2/11