Tja hoe deed hij dat?....
Iedereen kan de verwachtingswaarde wel uitrekenen natuurlijk. Neem bijvoorbeeld de zesde dag. Dan zitten er 7 knikkers in de vaas. Die kunnen er op 7! (=5040) manieren. De kans dat je de goede volgorde kiest is dus 1/7!
De prijs is op de zesde dag 6 goudstukken, dus de verwachtingswaarde voor het te winnen bedrag de zesde dag is  6/7!  ( 0,00119) goudstaaf.

Als we alle dagen bij elkaar optellen krijgen we voor het te verwachten aantal goudstaven de volgende som:

Dat is trouwens ongeveer 0,9999999749 als je 't graag wilt weten.

Maar ja:  hoe schrijf je deze som met slechts vier enen?

Dat  gaat op een erg ingenieuze manier als volgt:

En kijk eens aan: als je de haakjes weglaat zie je dat bijna alles elkaar opheft. De tweede en derde term, de vierde en vijfde term, de zesde en zevende term enzovoort.
Het enige dat overblijft zijn de eerste en laatste term: 


Daar zijn de vier enen al!!!!!

Telescoop-sommen

De laatste som hierboven, die waarbij alle termen elkaar opheffen, heet een telescoopsom
Immers hij schuift als het ware uit  van de eerste term naar de laatste, waarbij alle tussenliggende  z in elkaar kunnen klappen: alleen de eerste en de laatste doen er toe. De algemene vorm van een telescoopsom is:


In ons geval was  f(k) = k/(k + 1)!
Deze speciale telescoopsom kunnen we trouwens handig gebruiken om de volgende stelling te bewijzen:

n! kan altijd geschreven worden als de som van n verschillende delers van n!


Zo kun je bijvoorbeeld  7! = 5040 schrijven als 5040 = 2520 + 1680 + 630 + 168 + 35 + 6 + 1  en deze zeven getallen zijn allemaal delers van 5040. Grappig h? Lukt altijd!

Wat heeft dat met bovenstaande telescoopsom te maken? Nou kijk maar:

Stel dat we n getallen hebben gevonden zodat geldt:
Delen door  n!  geeft: 

Dus als we getallen gn kunnen vinden  waarvoor dit laatste geldt hebben we meteen de n delers van n! gevonden. Onze telescoopsom S helemaal boven zegt:


En dat is precies een som zoals we zoeken!
Neem daarom gewoon  g1 = 2! en g2 = 3!/2 en g3 = 4!/3  en  g4 = 5!/4  tot en met  gn-1 = n!/(n-1)
Neem verder gn = n!  en klaar is Kees! We hebben nu n zulke g's gevonden en als we n! door deze g's delen vinden we de gezochte n delers van n!
Deze stelling is trouwens maar een slap aftreksel van een veel sterkere stelling, die zegt:

elk getal niet groter dan n! is te schrijven als som van hoogstens n verschillende delers van n!

Het bewijs daarvan gaat met inductie en staat hier.
Wij gaan intussen terug naar die wonderlijke telescoopsommen, want daar kun je nog veel meer mee:

Ng een gebruik van telescoopsommen....
Laten we de zaak omdraaien.
Bij een bepaalde som kunnen we misschien ook wel zelf een passende telescoopsom fabriceren.

Stel dat we willen uitrekenen:  12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2
Dan gaan we op zoek naar een functie f waarvoor geldt  f(x + 1) - f(x) = x2
Als het ons lukt die te vinden kunnen we immers schrijven:  
12 + 22 + 32 + ....+ n2 = [ f(2) - f(1)]  + [ f(3) - f(2)]  +  [f (4) - f(3)] + .... + [f(n + 1) - f(n)] = f(n + 1) - f(1)
Alles schuift als een telescoop weer in elkaar en er blijven maar twee termen over.

Lukt het om zo'n f te vinden?
Omdat het verschil van  f(x + 1) en f(x) een kwadraat moet zijn proberen we voor f een derdegraads functie:
Stel  f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
f
(x + 1) - f(x) = a(x + 1)3 + b(x + 1)2 + c(x + 1) + d - ax3 - bx2 - cx - d  = 
Haakjes wegwerken en hergroeperen geeft   3ax2 + (3a + 2b) x  + (a + b + c)
Dat moet gelijk zijn aan x2 dus vinden we  a =1/3  en daarna  b = -1/2  en tenslotte  c = 1/6.
conclusie:  als f(x) = 1/3x3 - 1/2x2 + 1/6 dan geldt   f(n + 1) - f(1) = 12 + 22 + 32 + ... + n2

Voor dit laatste kunnen we natuurlijk ook wel even een formule maken:
 f(n + 1) - f(1) = 1/3(n + 1)3 - 1/2(n + 1)2 + 1/6 (n + 1) - 0 = ..... = 1/3n3 + 1/2n2 + 1/6
De echte freaks gaan nog even door natuurlijk:
1/3n3 + 1/2n2 + 1/6n  =  1/6n (2n2 + 3n +1) = 1/6n (n + 1) (2n + 1)
Ja hoor; daar is 't ie dan eindelijk:

12 + 22 + 32 + ....+ n2  = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

Natuurlijk kunnen we nu precies hetzelfde doen voor de som van derdemachten, vierdemachten en ga zo maar door. Die van derdemachten levert nog wat aardigs op:
Probeer  f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Dat  geeft  a = 1/4 en b = -1/2  en c = 1/4 en d = e = 0
Daaruit volgt op den duur:

13 + 23 + 33 + ... + n3 = [1/2 n (n + 1)]2 = (1 + 2 + ... + n)2


Het blijkt dat de som van opeenvolgende derdemachten steeds een kwadraat wordt!
Kijk maar, 't klopt nog ook:

13 = 1
13 + 23 = 9
13 + 23 + 33 = 36
13 + 23 + 33 + 43 = 100
....

Ofwel:  elke derdemacht is als het verschil van twee kwadraten te schrijven.
Zo geeft  n = 12 bijvoorbeeld :  123 = 1728 = 782 -  662
weer wat geleerd.....

Op een erg leuke andere manier kun je ook rijtjes derdemachten die samen een kwadraat vormen maken.
Kies een willekeurig getal....
Wat zeg je?
Ok, zoals je wilt... 54

De delers van 54 zijn {54, 27, 18, 9, 6, 3, 2, 1}
Nu gaan we de delers van deze delers tellen:

54 heeft 8 delers (54, 27, 18, 9, 6, 3, 2, 1)
27 heeft 4 delers (27, 9, 3, 1)
18 heeft 6 delers (18, 9, 6, 3, 2, 1)
9 heeft 3 delers (9, 3, 1)
6 heeft 4 delers (6, 3, 2, 1)
3 heeft 2 delers (3, 1)
2 heeft 2 delers (2,1)
1 heeft 1 deler (1)

En nu geldt  83 + 43 + 63 + 33 + 43 + 23 + 23 + 13 = 900 = (8 + 4 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 + 1)2

Gaaf h?  

2. Nog een telescoopraadseltje dan maar?
Nummer de dagen van het jaar 1 tm 365
Ik ga jou elke dag vragen willekeurig twee dagnummers te noemen van dagen die al zijn geweest
Ik begin daarmee op dag 3 (dus op 3 januari) en eindig op dag 365 (31 december)
Elke keer als jij in dit jaar eerst zegt  "dag 1"  en daarna "dag 2" dan krijg ik 1 euro.
Hoeveel geld zal ik gemiddeld krijgen?

oplossing.
Neem dag n.
De kans dat je dan 1 en 2 noemt is  1/(n - 1) 1/(n - 2)
dan geldt voor het gemiddelde bedrag dat ik zal krijgen:

Die noemers, dat ziet er al aardig "telescopig"  uit, vind je niet?
De clou van dit raadsel is dat geldt:

Dan staat er namelijk:

en dat wordt dus 1 - 1/364 =  363/364 euro